线性方程组关于交通流量应用实例分析论文

1、线性方程组关于交通流量的应用实例分析【摘要】通过对福州某地段单行道交通网络实地调查，利用线性方程组分析其交通流量特性，借助matlab计算工具提出了可变车道的设计方案，以求达到缓解该地段交通拥挤状况的目的.【关键词】线性方程组；交通流；matlab 引言线性代数是代数的一个主要分支，以向量空间与线性变换为研究对象，就其在数学、物理学以及经济学等分支的应用来说，线性代数的离化思想具有非常特殊的作用，为此也成为作为大学生的我们必修的公共基础课之一. 在现代大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组. 因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展

2、. 现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位. 因此如何去解线性方程组，怎么去运用线性方程组成为了我们线性代数的学习基础. 科学在发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具，就线性代数的思想而言，也十分适应于计算机的编程等方面，就产生了用matlab来解决线性代数问题的思想，它与线性代数有着紧密的联系.线性方程组是线性代数最基本的内容之一，而经常见到的就是求解线性方程组，早在中国古代的数学著作九章算术 方程章中已作了比较完整的论述.

3、 其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法. 在西方，线性方程组的研究是在 17 世纪后期由莱布尼茨开创的.他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组. 麦克劳林在 18 世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果. 克莱姆不久也发表了这个法则. 18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了 元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零； 19 世纪，英国数学家史密斯 (h.smith) 和道奇森 (c-l.dodgson) 继续研究线性方程组理论，前者引进了方程

4、组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了个未知数个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同，这正是现代方程组理论中的重要结果之一. 6在行车道上经常会出现塞车的现象，在城市的车流高峰期尤为常见. 以单行道为例，在得知交通网络的车辆流向的前提下，经过对交通网络各个路口的交通流量的实际交通调查，统计出主要进出口的车辆总数大致相同的情况下，可以得出交通网络的平衡方程组，通过对线性方程组的解得分析，得出该交通网络的交通网络在某一段时间的车况受哪些车道路况影响，本文在以上条件下，提供了一种利用线性方程组来研究单行道路况的方法，也就是在列出交通网络的平衡方程通时，基于matlab计算工具分

5、析网络平衡方程的解，在得出问题车道后，提出了在拥堵的车道设计可控制的变向车道，以求缓解交通拥挤的状况，虽然未经实践实用，但具有一定的应用价值. 1.基本概念与结论本节主要介绍线性方程组的一些基本概念与结论，以便后文使用. 定理1.13 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的秩且其通解式中带有个任意参数; 只有零解的充分必要条件是.定理1.23 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是；它只有零解的充分必要条件是.定理1.33 元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是其系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.定理1.41 对于元非齐次线性方程组有如下结论： (1) 当时，方程组有解.这时，若，则

6、方程组有唯一解若，则方程组有无限多个解，且其通解式中带有个任意参数.(2) 当时，方程组无解. 由于下文用到matlab来解线性方程组的，有必要说明一下几个命令：（1） 计算矩阵的秩命令：rank（矩阵）；（2） 化矩阵为行阶梯形求解线性方程组命令：rref（矩阵） 例 求解线性方程组具体操作： a=1 -1 -1 1;1 -1 1 -3;1 -1 -2 3a = 1 -1 -1 1 1 -1 1 -3 1 -1 -2 3 rref(a)ans = 1 -1 0 -1 0 0 1 -2 0 0 0 0即得与原方程组同解的方程组：令，可得通解为 其中为任意常数2. 交通流量应用分析 汽车在道路上

7、连续行驶形成的车流，我们称之为交通流.广义上还包括其他车辆的车流和人流. 在某段时间内，在不受横向交叉影响的路段上，交通流呈连续流状态；在遇到路口信号灯管制时，呈断续流状态. 城市道路网中每条路、每个交叉路口的车流量调查是分析、评价及改善城市交通状况的基础. 根据实际车流量的信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间堵车. 2.1 问题提出据悉福州市在公路、铁路、港口等方面都将有大投资，其中拟投资约140亿元规划建设长约150公里的高速公路，许多市内单行车道面临整改，市民出行将更加便捷，是否可以在原有的单行车道基础上做适当改造也能达到相应的效果呢？以下是福州某路段简易单行线

8、如图(1)所示，箭头方向表示车流的方向，适当收集一些数据后我们是否可以得出关于这个交通网的一些结论.图（1）2.2模型分析 为了便于接下来的分析，我们对车流图做如图(2)处理:图（2）其中表示各相交道路的进口交通量，表示各相交道路的出口交通量，表示通过图示各交通干道的车辆数.2.3 数据收集 由于工具有限，我们只对进出口交通量（即和）进行实时统计，统计图表如下：表1 进口交通流量路口时间路口路口路口路口总计9:109:159:159:209:209:259:259:309:309:359:359:4032294535403548352042362818612817812715517252747

9、8884485318266321292275320总计（辆）平均（辆）2163620933946157421701792299表2 出口交通流量路口时间路口路口路口总计9:109:159:159:209:209:259:259:309:309:359:359:4015916715616315513278655970819065547967729302286294296308238总计（辆）平均（辆）932155443743465817242902.4数据分析 从表1和表2中可以看出在观察的时间段内各个进口的交通流量之和与各个出口的交通流量之和大致相同，即，为了便于分析我们把进出口的交通流量按平

10、均值折算为每小时的车流量，补正取结果如下：进口交通流量：（辆/小时） （辆/小时）（辆/小时） （辆/小时）进入网络的车的总量(辆/小时)：出口交通流量：（辆/小时） （辆/小时）（辆/小时）离开交通网络的车总量（辆/小时）：从交通流量平衡条件，对于每一个道路交叉点我们都可以写出一个流量平衡方程：a路口：b路口：c路口：d路口：e路口：从而我们可以得到一个反应网络交通流量的线性代数方程：化简得：写成矩阵形式为：，增广矩阵由于，故方程组有无穷多个解，且其参数中带有2个任意参数运用matlab求解可得方程组的通解,求解步骤如下： b=0 0 0 1 0 1 828; 0 0 -1 0 1 1 18

11、60; -1 0 0 0 1 0 36; -1 1 1 0 0 0 888; 0 1 0 -1 0 0 1884b = 0 0 0 1 0 1 828 0 0 -1 0 1 1 1860 -1 0 0 0 1 0 36 -1 1 1 0 0 0 888 0 1 0 -1 0 0 1884 rank(b)ans = 4 rref(b)ans = 1 0 0 0 -1 0 -36 0 1 0 0 0 1 2712 0 0 1 0 -1 -1 -1860 0 0 0 1 0 1 828 0 0 0 0 0 0 0即等价的原方程组的通解： ，其中可以取任意实数，方程组有无限多个解.是不是真的是无穷多个

12、解呢？答案是否定的，注意到我们研究的是实际车道上的车流量，是不存在负数的，因此以上变量还需满足： 即：，其中为整数也就是说：i只要追加统计出中任意2个数值的，就可以求出其他未知量数值.ii该交通网络中，若每小时通过段的车辆不超过36辆、通过ab与cb段的车辆总数之和不超过1860辆、通过ab段的车辆多于828辆三种情况中出现一种整个网络平衡就会被破坏，即出现塞车的现象.2.5模型改进根据上述分析，上述的交通网络中若出现网络平衡被破坏了，我们可以采取合适的方法进行改进，使得网络重新回归平衡.交通网络还是图（1）网络.若这是造成网络失去平衡的一种情况：依据线性方程组，我们可以得出 即：每小时通过e

13、d，ad段的车流量出现负值的现象，现在做如变动，进出口的交通流量与之前一致变化如图（3）所示：图（3）变动说明：即把ed、ea段的车流方向改为与原来方向相反. 此时交通网络是否恢复了平衡了呢？若平衡，依据前文计算方法可得平衡线性方程组：即 化简后可得通解： 其中为满足假设的正整数不难发现： 均为正实数， 即现在网络是平衡的交通网络. 这是造成网络失去平衡的情况中的一种， 其他情况研究的方法类似在此就不一一列举. 我们可以得出这样一个结论，在已知进出口车流总量的单行车道中当网络出现平衡被破坏时，也就是车道上的车流量出现负值时，可以把该干道车流方向变更为之前方向相反例如:在“ab”的车流量超过了2

14、712，“cb”段的车流量超过36, 若按之前平衡方程进行分析，“ed”、“ae”流向车流量出现了负值现象，若要使网络恢复平衡，更改这两个车流方向即可，即：“ed”车流向变更为“de”“ae” 车流向变更为“ea”网络就可恢复平衡，也就是各个交通要道车流量恢复了正值.在实际行车中，可以对经常出现交通紧张的车道进行可变车道改造，改造设计如图（4）所示：图（4）改造说明：将车道变更如图所示，道路进出口处标示“可变车道”，并设制正反向通行指示灯，需要注意的是此车道为单行车道同一时间段只允许一个方向的车通行. 可变车道的正反向的启动时间可根据电子监测设备采集的交通实时数据进行动态调整，也可引进相应的交

15、通控制软件进行动态控制.2.6模型缺点（1） 城市交通路口的交通状况十分复杂，交通量尤其是高峰小时期的交通量很大，调查员在进行实际调查有一定的困难.（2） 对于各交通路口同一时段的车流量的即时统计存在一定的困难，需借助一定的测流工具，工具存在一定的误差，而且此次观察时间较短.（3） 该模型需要满足进出口的交通流量总量大致一致，要求比较苛刻（4） 该模型只适用于单车道模型，对于现在交通干道普遍存在的双车道的模型不适用.（5） 后文提到的解决单行车道道路堵塞问题存在可行性,但未进行实践应用，未能看出其实用价值.3. 结语本文主要通过一个简易的交通流量图，介绍了线性方程组的思想在交通流量方面的应用，

16、提供了一种运用线性方程的思想去分析城市单行车道的交通状况的方法，并提出了一种解决交通堵塞的方法，其实线性方程组解决交通实际交通问题已经不是少见的事了，在统计城市三路交叉口、四路交叉口等等都会用到线性方程组的方法. 在科学、工程、化学、交通等各个领域中包含的众多数学问题中都，大都会遇到解线性方程组的问题，可见线性方程组的应用之广泛.参考文献1 丘维声.高等代数（上册）m. 北京：高等教育出版社，2007，90-97. 2 王坤，周岩. 线性代数及其应用m. 北京：机械工业出版社，2007，125-127.3 刘剑平，施劲松，钱夕元. 线性代数及其应用m. 上海：华东理工大学出版社，2005，63

17、-69.4 王亮，冯国臣，王兵团. 基于matlab的线性代数实用教程m. 北京：科学出版社，2008，63-89.5 david c. linear algebra and its applications,third editionm. 北京：机械工业出版社，2005，59-88.6 徐品芳. 数学简明史m. 北京：学苑出版社，1992，63-72.7 姚喜研，王济荣. 线性代数m. 北京：北京大学出版社，2009，64-102.8 王建军. 线性代数及其应用m. 上海：上海交通大学出版社，2005，80-88.applications of linear equationsto analyse practical examples on traffic flowhongdehuo 105012007003 advisor:zhou dexumajor in pure and applied mathematics college of mathematics and computer science【abstract】by surveying one-way traffic network on t