3导数的应用二

1、最新资料推荐3.3 导数的应用(二)3.3 导数的应用 ( 二) 考情分析 高考中， 重点考查利用导数研究函数最值以解决生活中的优化问题，有时还会在解析几何、不等式、 平面向量等知识交汇处命题，多以解答题的形式出现，属中、高档题目 . 基础知识 1. 函数的导数与最值 (1) 函数在区间a, b 上有最值的条件：一般地， 如果在区间 a, b 上，函数 的图象是一条连 续不断的曲线， 那么它必有最大值和最小值 . (2) 求函数 )(xfy在区间 a, b 上最大值与最小值的步骤：求函数在区间(a, b) 内的极值； 将函数 )(xfy的各个极值与端点处的函数值 f(a) , f(b) 比较，

2、 其中最大的一 个是最大值， 最小的一个是最小值 2. 生活中的优化问题 生活中经 常遇到求利润最大、 用料最省、 效率最高等问题， 这些问题通常 称为优化问题 . 导数在这一类问题中有着重要的应用， 它是求函数 最大(小) 值的强有力的工具 3 利用导数解决生活中的优化问题 的一般步骤 (1) 分析实际问题中各量之间的关系， 列出实际问题的 数学模型， 写出实际问题中变量之间的函数关系式 y f(x) ； (2) 求函数的导数 f (x) ， 解方程 f (x) 0； (3) 比较函数在区间 端点和 f (x) 0 的点的函数值的大小， 最大( 小) 者为最大 (小) 值； (4) 回归实际

3、问题作答 注意事项 1. (1) 注意实际问题中 函数定义域的确定 (2) 在实际问题中， 如果函数在区间内只有一个极值点， 那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较 2. (1) 求函数最值时， 不可想当然 地认为极值点就是最值点， 要通过认真比较才能下结论； 另外注意 函数最值是个整体 概念， 而极值是个局部 概念 (2) f (x0) 0 是 y f(x) 在 x x0 取极值的既不充分也不必要条件如y| x| 在 x 0 处取得极小值， 但在 x 0 处不可导； f(x) x3， f (0) 0， 但 x 0 不是 f(x) x3 的极值点 (3) 若 y

4、 f(x) 可导， 则 f (x0) 0 是 f(x) 在 x x0 处取极值的必要 条件 题型一 函数的极值与导数 【例 1 】 已知偶函数 )(xf 在 R 上的任一取值都有导数 , 且 则曲 线 在 处的切线的斜率( ) A 2 B -2 C 1 D -1 【答案】 D 【 解析】 由 得 可知函数的周期为 4, 又函数 )(xf 为 偶函 数, 所以(2)(2)= (2)f即 函 数 的 对 称 轴 为 所所 以 函 数 在 处 的 切 线 的 斜 率( 5选 D 题型二 函数的最值与导数 【例 2 】 已知函数在点 (3, (3)f处的切线方程为 且对任意的恒成立. ( ) 求函数

5、( )f x 的解析式 ; ( ) 求实数 k 的最小值 ; 解 : ( ) 将 代入直线方程得 联立 , 解得 最新资料推荐 在上恒成立; 即在恒成立;设只需证对于任意的有来源数 理 化网 设当 =1即时在单调递增当即时, 设 12,x x 是方程的两根且由 可知 分析题意可知当 时对任 意有 综上分析, 实数 k 的最小值为 1 【变式 2】 函数 f(x) x3ax2 b 的图象 在点 P(1, 0) 处的切线与直线 3xy0 平行 (1) 求 a， b ； (2) 求函数 f(x) 在0， t(t0) 内的最大值和最小值 解(1) f (x) 3x2 2ax 由已知条件 1 3， f

6、1 0， 即3xab10，2a3 3，解得 2. a 3，(2)由 (1) 知 f(x)x2 2， f (x)3x26x 3x(x2) ，f (x)与 f(x) 随x 变化情况如下：x (0) 0 (0, 2) 2(2 ，) f (x) 0 0 f(x)2 2由 f(x) f(0) 解得 x0，或 x3 因此根据 f(x)的图象 当 0t2 时， f(x) 的最大值为 f(0) 2 最小值为 f(t) t3 3t2 2； 当 2t3 时， f(x) 的最大值为 f(0) 2， 最小值 为 f(2) 2； 当 t3 时， f(x) 的最大值为 f(t) t3 3t2 2， 最小值为 f(2) 2

7、. 题型三 用导数解决生活中的优化问 题 【例 3 】 请你设计一个包装盒 如图所示， ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角 形， 再沿虚线折起， 使得 A， B， C，D 四个点重合于图中的点 P， 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E、 F 在 AB上， 是被切去 的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设 AEFBx(cm) (1) 若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2) 最大， 试问 x 应取何值？ (2) 某厂商要求包装盒的容积 V(cm3) 最大， 试问 x 应取何值？ 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 解 设包装盒的高为 h(

8、cm) ，底面边长为 a(cm) 由已知得 a 2x， h602x22(30 x) ， 0 x 0； 当 x(20, 30) 时， V 0， b0，且函数 f(x) 4x3ax22bx2 在 x1 处有极值， 则 ab 的最大值等于 ( ) A 2 B 3 C 6 D 9 解析 f (x) 12x2 2ax 2b， 由函数 f(x) 在 x 1 处有极值， 可知函数 f(x) 在 x 1 处的导数值为零， 12 2a2b0， 所以 a b6， 由题意知 a ， b 都是正实数， 所以 b229， 当且仅当 a b3 时取到等号 答案 D 2 已知 函数 f(x) 14x4 43x3 2x2，

9、则 f(x) ( ) A 有极大值，无极小值 B 有极大值， 有极小值 C有 极小值， 无极大值 D 无极小值， 无极大值 解析 f (x) x3 4x24xx(x 2)2 f (x) ， f(x) 随 x 变化情况如下 x ( ， 0) 0 (0, 2) 2 (2 ， ) f (x) 0 0 f(x) 0 43 因此有极小值无极大值 答案 C 3 已知某生产厂家的年利润 y( 单位：万元 ) 与年产量 x( 单位：万件 ) 的函数关系式为 y 13x381x234， 则使该生产厂 家获取最大年利润的年产量为 ( ) A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 解析 y x281， 令 y 0 解得 x 9( 9 舍去) 当 0x0；当 x9 时， y 0， 则当 x9 时， y 取得最大值， 故选 C. 答案 C 4函数 f(x) x33x21 在 x处取得极小值 解析 f (x) 3x26x3x(x 2)当 x0，当 0x2 时， f (x)2 时， f (x) 0，故当 x 2 时取得极小值