§1.柯西函数方程

1、 1.柯西函数方程 考虑二元函数方程：f ：RR f(x y) f(x) f(y)(1) 通常这类函数方程的解不是唯一的，为了使 (1)的解是唯一，我们大多给予 一些附加条件。例如，要求该函数是“连续的 ”，或者必须是“在定义域中每一 个有限区间内为有界的”，或是“单调”函数等。 解方程式(1)的步骤是：依次求出独立变量取正整数值、整数值、有理数值， 直至所有实数值，而得到函数方程的解。下面我们在f(x)的不同附加条件下来解 函数方程(1)。 Example 1:设函数f(x)在整个实数域上连续，求函数方程式(1)的解？ 【解】因为 f(x y) f(x) f(y)(1) 由数学归纳法易知，对

2、任意的实数X1,X2, ,Xn有 f (x1 x2 Xn) f(xj f (: X2 ) f (Xn) 特别当X1 X2 Xn X 时， f(nx) nf(x) 取x 1，可得 f(n) nf(1) 在式中取X y 0 f(0)f(0) f(0: )f(0) 0 0 f(1) 因此，在(1)式中取X 1,y1， 可得 f(0)f(1) f( 1) 0 f( 1) f(1) 在(2)式中取x 1， 则可得 f( n) nf( 1) nf 所以对任意的整 数m Z ， f(m) mf 在(2)式中取x m (m, n为正整 数)， 有 n f(nm) nf(m) nn 但 f(m) mf(1)nf

3、(-m) mf(1)f(m)m f(l) nn n 在于(1)式中取x m, y m，贝U可得 nn 0 f(0) f(m m) f(m) f( m) n nnn mmm f( ) f( )f(1) nnn 所以对任意的有理数r, f(r) rf (1) 因为有理数是实数的稠密子集，且f为连续函数，所以 Q。 (A) f(a) af (1) a R 故是在C(R)中唯一的解。 Example 2：若函数f(x)在某一充分小的区间(a,b)内为有界，求(1)的解。 【解】：在上例中，我们已证明在给定 f(1) c之條件下，f(r) cr r 令 g(x)f (x) cx x R,则当 x r Q

4、 时， g (r)f (r) cr cr cr 0 且对任意的实数x, y, g(x y) f (x y) c(x y) f (x) f (y) cx cy g(x) g(y) 所以g(x)也满足方程式(1)。 对任意的实数x,取r (x b,x a) Q 贝 U x b r x a。 令x1 x r，贝U ax-i b (ie,x1 (a,b)， g(x) g(X1 r) g(xj g(r) g(xj 此即是说，对任意的x R，存在X1(a,b)，使得g(x) g(xj 由假设条件知，f(x)在(a, b)内有界， g(x) f (x) cx 在(a,b)內有界 所以由严)知，g在整个实数上

5、都有界。 又由(A)知 g(r) 0 r Q 若存在一个无理数xo，使得g(xo) d 0 贝U g(n) ng(x)nd , as n，矛盾。 所以 g(x) 0 x R 因此，f(x) cx x R。 Example 3:设f (x)在某个足够小的区间(a,b)内是单调函数，求(1)的解？ 【解】 我们利用Example2的结果来证明f(x)在单调函数下(1)之解仍为 f (x) cx。 任取，a1,b1 (a,b)，使得a a1 D b。因为f(x)为单调函数 ，所以f(x) f(ajf(bi), x (a1,bi) 所以f(x)在(ai,bj)内有界；因此由例2可知f(x) ex 2、

6、几个重要的二元函数方程 在本节中所有的f (x)均假设是连续的。 (1) Example1 :设f (x)在R上是连续的且不恒等于 0，求出函数方程 f(x y) f (x)f (y) 的解。 f(x1 x2 【解】由数学归纳法易知 Xn) f(xj f(X2)f (xn) 特别，取xi x2 xn x， 则可得 f(nx) f(x) n 在上式中取x 1，可得f (n) f(1)n 于式中，取y 0，可得 f(x 0) f(x) f(x)f(0) 因为我们假设f (x)不恒为0，所以f (0)1. 取x m 在(2)式中, f(-) m n f(-) m f(x) f(0) 0. (m为正整

7、数)，则可得 f(丄) m f(m) m 在(1)式中, 取 x ,y m 卫，则可得 m 1 f()f(m)f( f(m) n f(1)- 所以，对任意的有理数r， f(r) f(1) 又因有理数是实数的稠密子集，且f(x)在R上连续，所以 f(x) f (1) x, x R. 若 f (1) a，则 f (x) axx R. Example 2：设f (x)在正实数域上有定义，连续且不恒等于 f(xy) f(x) f(y) 的解。 0,试求函数方程 特别，取x 1 x2 xn x时，可知 f(xn) n f(x) 在(5)式中， 取x 1,n2，可得 f(1) 2f (1) f(1) 0

8、由(5)式也可知， 1 1 f(x) f (xm)m)mf(x巧 f(xi x2 L xn) f(xj f(X2) L f (Xn) f(x 吊)f(x) m 【解】：由数学归纳法易知，对所有的正实数， lOg a x。 将此代入(衣)，则可得 f (x) f (a ) f(a) f(a) log a x。 1 令b尸，则九l0gab 1 lOg a b f (a)。 f(x) f (a) loga x log a X log a b logb x 这是函数方程（* ）在整个正实数上连续时，唯一的解 Example 3:设f(x)在实数上都有定义，连续且不恒为 0,求方程式 f(xy) f(x

9、)f(y) 的解？ 【解】：任取b 1，对任意的x,y R，存在u,v R 使得 x bu， y bv(可取 u logb x， v log b y) 将此代入(7)式可得 f(bubv)f(bu)f(bv) 令 g(x) f (bx) x R，贝U g(u v) f (bu v)f(bubv) f(bu)f(bv) (8) g(u)g(v) 因为f在R上连续 g在R上连续。 故由Example 1可知，(8)有唯一的解 g(u) cu，(c是一个唯一固定的常数)，u R。 f(x) f(bu) g(u) cu clo9bx xlo9bc。 logb clo9bx (log bx)(log bC) logb xlogbC c