2020-2021学年数学高中人教A版选修2-1课后习题：模块综合测评（A） 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩模块综合测评(a）(时间：120分钟满分:150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分)1。已知命题p:xr,x1,则命题p为（）a.xr，x1b.x0r，x01c.xr，x-1d.x0r,x0-1解析全称命题的否定是特称命题。答案b2.设向量a=(2，2，0),b=cos ，-12，1（0180）,若ab，则角=（）a.30b。60c.120d。150解析ab=2cos +2-12+01=0得cos =12，因为00,cos 0，且sin cos ，即2kb+d,q：ab且cdb。p:a1，b1,q:f(x）=ax-b(a0且a1）的图象不过第二象限

2、c。p:x=1,q:x2=xd。p:a1，q:f(x)=logax（a0且a1）在（0,+）内为增函数解析由于ab,cda+cb+d,而a+cb+d却不一定推出ab,且cd，故a中p是q的必要不充分条件；b中,当a1，b1时,函数f（x)=ax-b不过第二象限,当f(x）=axb不过第二象限时,有a1，b1,故b中p是q的充分不必要条件；c中,因为当x=1时有x2=x,但当x2=x时不一定有x=1，故c中p是q的充分不必要条件;d中,p是q的充要条件.答案a6。已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）,m为椭圆上一动点，f1为椭圆的左焦点，则线段mf1的中点p的轨迹是(）a。椭圆b。圆c.双曲

3、线的一支d.线段解析p为mf1中点,o为f1f2的中点,其中f2为椭圆的右焦点,op=12mf2.又mf1+mf2=2a，pf1+po=12mf1+12mf2=a.p的轨迹是以f1，o为焦点的椭圆。答案a7。在空间四面体o-abc中,m，n分别是oa，bc的中点，p是mn的三等分点（靠近n）,若oa=a,ob=b，oc=c，则op=（）a.13a+16b+16cb.16a+13b+13cc.12a+16b+13cd.16a+12b+13c解析由题意可得：an=12(ab+ac）=12（ob-oa）+（oc-oa)=12(b+c)a，mn=ma+an=12a+12（b+c）-a=12(b+ca)

4、，op=om+23mn=12a+13（b+c-a)=16a+13b+13c.故选b.答案b8。经过点（3，-2）的双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0），其一条渐近线方程为y=33x,该双曲线的焦距为()a.2b。2c.22d.4解析点（3,2）在双曲线x2a2-y2b2=1上,可得9a2-2b2=1.又渐近线方程为y=bax，一条渐近线方程为y=33x，可得ba=33，解得a=3,b=1。所以c=a2+b2=2,焦距为2c=4.故选d。答案d9。已知向量a=（2,1,0），b=（-1，1，1),且a+b与ka-b互相垂直，则k的值是（）a。1b.12c。-1d.13解析因为向量a=(2,

5、1，0),b=(-1,1，1），所以a+b=(1，2,1)，ka-b=（2k+1,k1，-1），又a+b与kab互相垂直，所以(a+b)（kab)=0，即1（2k+1）+2（k1）+1(1）=0，解得k=12.故选b。答案b10.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（)a。3b。2c.6d.5解析双曲线的一条渐近线为y=bax，由y=bax,y=x2+1,消y得x2-bax+1=0.由题意，知=-ba24=0,b2=4a2.又c2=a2+b2,c2=a2+4a2=5a2。ca=5.答案d11.如图,在直三棱柱abc-a1b1c1中

6、，bac=90,ab=ac=2,aa1=6,则aa1与平面ab1c1所成的角为（）a.6b。4c。3d.2解析在直三棱柱abca1b1c1中,bac=90，ab=ac=2，aa1=6，建立以a为坐标原点,直线ac,ab，aa1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图。则a1（0,0，6)，a(0，0,0）,b1(0，2,6),c1（2，0,6),则ab1=(0，2，6），ac1=(2，0,6)，设平面ab1c1的法向量为m=(x,y,z),aa1=（0,0,6)，则mab1=2y+6z=0,mac1=2x+6z=0，令z=1,则x=-62，y=-62，即m=-62,-62,1，则aa1与平面ab

7、1c1所成的角满足sin =cosaa1,m=66-622+-622+1=12,则=6，故选a.答案a12.已知点p1,32是椭圆x24+y23=1上一点，点a,b是椭圆上两个动点,满足pa+pb=3po,则直线ab的斜率为(）a.-12b。-22c。12d.22解析设a(x1，y1)，b（x2,y2)。pa+pb=3po,点p1,32，x1-1,y1-32+x2-1,y2-32=3-1,-32.x1+x2=-1，y1+y2=-32。把a，b代入椭圆方程,得3x12+4y12=12,3x22+4y22=12,两式相减,得3（x1+x2）（x1-x2)+4（y1+y2)（y1-y2）=0，y1-

8、y2x1-x2=3(x1+x2)4(y1+y2).x1+x2=-1，y1+y2=-32，kab=y1-y2x1-x2=3(x1+x2)4(y1+y2)=-12。故选a.答案a二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分）13。双曲线x2m2+12-y24-m2=1的焦距是。解析依题意a2=m2+12，b2=4m2，所以c2=a2+b2=16，c=4，2c=8.答案814.设p：xx-20,q：0xm,若p是q成立的充分不必要条件,则m的取值范围是。解析不等式xx-20可得:0x2,因为p是q成立的充分不必要条件,所以集合x|0x2是集合x|0x0)。(1)若m=2,且pq为真,求实数x的取

9、值范围；(2）若p是q的充分条件,求实数m的取值范围。解(1）由x2-6x+50,得1x5,p：1x5.当m=2时,q：-1x3.若pq为真,p，q同时为真命题，则1x5,-1x3,即1x3。实数x的取值范围为1,3。(2)由x2-2x+1m20,得q：1mx1+m.p是q的充分条件，m0,1-m1,1+m5,解得m4。实数m的取值范围为4,+）。18。(本小题满分12分)如图,在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,e,f，g分别是a1d1，d1d，d1c1的中点。（1）求证：egac；（2)求证：平面efg平面ab1c.证明把aa1,ab,ad作为空间的一个基底。（1)因为eg=ed1+

10、d1g=12ad+12ab,ac=ab+ad,所以ac=2eg。所以egac.（2）由(1)知egac，又ac平面ab1c,eg平面ab1c,所以eg平面ab1c.因为fg=fd1+d1g=12aa1+12ab,ab1=ab+aa1,所以ab1=2fg.所以fgab1.又ab1平面ab1c，fg平面ab1c，所以fg平面ab1c。又egfg=g,所以平面efg平面ab1c。19。(本小题满分12分）设命题p：函数f(x）=lgax2-x+a16的定义域为r；命题q:不等式3x9xa对一切正实数x均成立.(1)如果p是真命题，求实数a的取值范围；(2）如果“pq”为真命题，且“pq”为假命题,求

11、实数a的取值范围.解(1)若命题p是真命题，则：当a=0时，定义域为xx0,1-4aa160,a2或a2,ab0）的左、右焦点分别为f1,f2，短轴两个端点为a，b，且四边形f1af2b是边长为2的正方形.（1)求椭圆的方程;(2)若c,d分别是椭圆的左、右端点，动点m满足mdcd,连接cm,交椭圆于点p.证明:omop为定值。(3）在(2）的条件下，试问x轴上是否存在异于点c的定点q,使得以mp为直径的圆恒过直线dp，mq的交点？若存在,求出点q的坐标；若不存在，请说明理由。（1）解a=2,b=c,a2=b2+c2,b2=2.椭圆方程为x24+y22=1.（2）证明c(-2，0），d（2,0

12、)，设m(2，y0)，p（x1,y1）,则op=(x1,y1)，om=（2,y0).直线cm：y=y04(x+2），即y=y04x+12y0，代入椭圆方程x2+2y2=4,得1+y028x2+12y02x+12y02-4=0。x1=-124(y02-8)y02+8，x1=-2(y02-8)y02+8,y1=8y0y02+8.op=-2(y02-8)y02+8,8y0y02+8。opom=4(y02-8)y02+8+8y02y02+8=4y02+32y02+8=4（定值）。(3）解设存在q（m,0）满足条件，则mqdp.mq=(m-2，y0）,dp=-4y02y02+8,8y0y02+8,则由m

13、qdp=0得-4y02y02+8(m2）-8y02y02+8=0，从而得m=0。存在q(0，0）满足条件.21.(本小题满分12分)如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，pa=ad=2,ab=2，m是棱pd上一点,且dm=dp,01。（1）当=13时，求直线am与pc所成角的余弦值；（2）当cmbd时，求二面角m-ac-b的大小.解（1)以a为原点，ab，ad,ap所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则a（0，0，0)，b（2,0,0），c(2,2,0），d(0,2,0),p(0，0，2），设m（x,y,z），则dm=dp=（0，2,2)(01)，am

14、=ad+dm=（0,22,2)，当=13时,am=0,43,23,pc=(2,2,2)，cosam,pc=ampc|am|pc|=25，直线am与pc所成角的余弦值为25.(2）bd=(-2，2,0)，cm=cd+dm=(-2,2，2)，当cmbd时,cmbd=2-4=0，解得=12,此时，am=(0,1，1），ac=(2,2，0）,设平面mac的一个法向量n=（x,y，z），则nam=y+z=0,nac=2x+2y=0,取z=1，得n=(2,-1,1），又平面bac的一个法向量ap=(0，0，2）,cosn,ap=nap|n|ap|=222=12，由图象得，二面角m-ac-b是钝二面角,二面

15、角m-ac-b的大小为120。22.（本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xoy中，焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1（b0）的右顶点和上顶点分别为a,b，m为线段ab的中点，且omab=32b2.(1）求椭圆的离心率;（2）四边形abcd内接于椭圆，abcd.记直线ad，bc的斜率分别为k1、k2，求证：k1k2为定值。解(1）a（2，0）,b（0，b），线段ab的中点m1,b2.ab=（2，b），om=1，b2.omab=-32b2,2+b22=32b2，解得a=2，b=1.c=a2-b2=3,椭圆的离心率e=ca=32.（2）证明：由（1）得椭圆的标准方程为x24+y2=1,a(2,0）,b（0,1），直线bc的方程为y=k2x+1，联立y=k2x+1,x24+y2=1,得（1+4k22)x2+8k2x=0,解得xc=-8k21+4k22，yc=1-4k221+4k22，即c-8k21+4k22,1-4k221+4k22