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文档简介
1、4.2对数4.2.1对数的概念学 习 目 标核 心 素 养1理解对数的概念(重点)2能熟练地进行指数式与对数式的互化(重点)3掌握常用对数与自然对数的定义通过学习本节内容,培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养若某物质最初的质量为1,每经过1年,这种物质剩留的质量是原来的84%,则经过x年,该物质的剩留量y084x由此,知道了经过的时间x,就能求出该物质的剩留量y;反过来,知道了该物质的剩留量y,怎样求出所经过的时间x呢?1对数一般地,如果abn(a0,a1),那么就称b是以a为底n的对数,记作loganb,其中,a叫作对数的底数,n叫作真数2常用对数通常将以10为底的对数称为常用对数,为了方
2、便起见,对数log10n简记为lg n3自然对数以e为底的对数称为自然对数其中e2718 28是一个无理数,正数n的自然对数logen一般简记为ln n4几个特殊对数值(1)loga10,logaa1,loga1(其中a0且a1)(2)对数恒等式:an(a0,a1,n0)(3)零和负数没有对数1思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)因为(2)416,所以log(2)164()(2)对数式log32与log23的意义一样()(3)对数的运算实质是求幂指数()(4)等式loga10对于任意实数a恒成立()(5)lg 10ln e1()提示(1)2不能作底数;(2)log2 3与log3 2底
3、数和真数均不同,意义不一样;(4)a0且a1答案(1)(2)(3)(4)(5)2计算:log3 9,223log3 92,233(1)已知log4x,求x;(2)已知log2(log3x)1,求x;(3)求log1(32)解(1)log4x,x423(2)log2(log3x)1,log3x212,x329(3)设y (32),则(1)y32(1)2(1)2,则y2,即 (32)2对数的概念【例1】使对数log2a2(104a)有意义的a的取值范围是思路点拨根据对数中底数和真数的取值范围求解要使log2a2(104a)有意义,则1a或a根据对数的定义,应满足底数大于0且不为1,真数大于0,列不
4、等式组即可.1(1)使loga (3a2)有意义的a的取值范围是(2)使 (3x6)有意义的x的取值范围是(1)(2)x|x且a1(2)令x0且a1)进行互化解(1)2416log216433log335a20log520a045log045b(2)1627128102001e2303101并非所有指数式都可以直接化为对数式,如(3)29就不能直接写成log(3)92,只有a0,a1,n0时,才有axnxlogan2对数式loganb是由指数式abn变化得来的,两式底数相同,对数式中的真数n就是指数式中的幂的值,而对数值b是指数式中的幂指数,对数式与指数式的关系如图:2下列指数式与对数式的互化
5、正确的序号是na2与logna2;4与()44;64与log64;z与xzyna2loga n2(a0且a1);64log 6433设alog3 7,blog3 28,则32ab由题知3a7,3b28,32ab解指数、对数方程探究问题1方程x42,x33的解是什么?如何解xab型的方程?提示x4216,x3327,解xab时按幂的运算法则计算即可2方程x24(x0),x364的解是什么?如何解xkb(kz)?提示x24,x2,x364,x4,xkb,x即可通过开方运算求解3方程2x8的解是什么?2x7呢?如何解axb(a0,a1)?提示238,2x8的解为x3,2x7,xlog2 7,axb,
6、xloga b,即将指数式化为对数式,将问题转化为计算对数值【例3】解方程:(1)9x27;(2)exe2;(3)525;(4)log2(log3(log4x)0;(5)logx164;(6)xln e3思路点拨利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解解(1)9x27,(32)x33,即32x33,2x3,x(2)exe2,x2(3)52x125,x13(4)log2(log3(log4 x)0,log3(log4 x)201,log4 x313,x4364(5)x416,1624,2,x又x0,x(6)xln e3,xln e3,exe3,x3,x3解指数、对数方程时的注意点(1)将对数式
7、转化为指数式,构建方程转化为指数问题(2)利用幂的运算性质和指数的性质计算求解(3)x的取值范围是否在指数、对数式的互化中发生了改变4求下列各式中的x值(1) )(3x22x1)1;(2)lg 0001x;(3)logx83;(4)2解(1)由题知2x213x22x1,得x0或x2,当x0时,2x2110,且a1,n0),据此可得两个常用恒等式:(1)logaabb;(2)an2在关系式axn中,已知a和x求n的运算称为求幂运算,而如果已知a和n求x的运算就是对数运算,两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算1有下列说法:零和负数没有对数;任何一个指数式都可以化成对数式;以10为底的对数叫做常用对数;以e为底的对数叫做自然对数其中正确命题的个数为()a1 b2 c3 d4c正确,不正确,只有a0,且a1时,axn才能化为
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