专题01数轴的三种常见考法(原卷版+解析)

专题01数轴的三种常见考法【知识点精讲】1.数轴的概念1）数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫作数轴2）三要素：=1\*GB3①原点—参考点，正负数分界点；=2\*GB3②方向—一般选取向右为正方向；=3\*GB3③单位长度—同一条数轴上的单位长度应当一致2.数轴的读数与画法1）数轴的读数：在原点的左边，则为正数，在数轴的右边，则为负数。2）画数轴步骤：a.直线b.确定原点c.选正方向（通常从原点向右或向上定位正方向）d.选取单位长度（选取适当长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，…）e.标数（用实心点标数）.3.数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合）1）数轴上的点并不是都是有理数正方向可以不按照常规方向选取3）a>0，与原点的距离是a，在数轴上可以是a（存在多解的情况）注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向4.数轴与数的大小正方向上，离原点越远，数越大负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。类型一、利用数轴比较大小例．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【变式训练1】已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论的个数有（）个A．4 B．3 C．2 D．1【变式训练2】如图，点、均在数轴上，且点所对应的实数分别为、，若，则下列结论一定正确的是（

）

A． B． C． D．【变式训练3】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．类型二、基本动点问题例．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以．若数轴上的点P满足，则的值是________．例2．如图，已知线段，点O为线段AB上一点，且．动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，运动到点B停止；点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止．设P的运动时间为ts．(1)OA=__________cm，OB=__________cm；(2)当Q从O向A运动时，若，求t的值．(3)当时，直接写出t的值．【变式训练1】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A，再向右爬行了2个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10个单位长度到达点C．(1)画出数轴并标出A，B，C三点在数轴上的位置；(2)写出点A、B、C三点表示的数；(3)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单位长度得到的？【变式训练2】如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动．设运动时间为t（单位：秒）．(1)时点P表示的有理数为___________；(2)求点P是的中点时t的值；(3)请直接写出点P到点A的距离（用含t的代数式表示）；(4)请直接写出点P表示的有理数（用含t的代数式表示）．【变式训练3】一只跳蚤在数轴上从原点开始，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，…依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离原点的距离是________个单位长度．类型三、两点之间的距离例1．在数轴上，到原点的距离等于5个单位长度的点所表示的数是________．【变式训练1】数轴上A、B两点对应的数分别为和，P为数轴上一点，若，则点P表示的数是________．【变式训练2】在数轴上，点表示的数为，点以每秒3个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动经过________秒，点与原点的距离为个单位长度．课后训练1．如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D，若，则（）A． B．小于6 C．等于6 D．大于62．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是和2，C是的中点，则点C所表示的数是（

）

A． B．1 C． D．3．规定向东为正，向西为负，将遥控小汽车两次行驶的情况表示在如图所示的数轴上，则遥控小汽车两次运动后的结果是（

）

A．向东行驶5个单位长度 B．向西行驶3个单位长度 C．向东行驶2个单位长度 D．向西行驶1个单位长度8．如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中，不正确的是（）A． B． C． D．4．有理数m、n在数轴上的位置如图，则下列关系式正确的个数有（

）①；②；③；④；⑤

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．点，在数轴上的位置如图，则______，______

7．如图，把半径为1的圆从数轴上表示的点A开始沿数轴向右滚动一周，圆上的点A到达点，则点表示的数为______．

8．在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________9．A、B两个动点在数轴上同时出发，分别向左、向右做匀速运动，它们的运动时间以及在数轴上的位置记录如下．时（秒）057A点位置19B点位置___1727(1)根据题意，填写表格；(2)A、B两点能否相遇，如果能相遇，求相遇时的时刻及在数轴上的位置；如果不能相遇，请说明理由；(3)A、B两点能否相距9个单位长度，如果能，求相距9个单位长度的时刻；如不能，请说明理由．

专题01数轴的三种常见考法【知识点精讲】1.数轴的概念1）数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫作数轴2）三要素：=1\*GB3①原点—参考点，正负数分界点；=2\*GB3②方向—一般选取向右为正方向；=3\*GB3③单位长度—同一条数轴上的单位长度应当一致2.数轴的读数与画法1）数轴的读数：在原点的左边，则为正数，在数轴的右边，则为负数。2）画数轴步骤：a.直线b.确定原点c.选正方向（通常从原点向右或向上定位正方向）d.选取单位长度（选取适当长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，…）e.标数（用实心点标数）.3.数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合）1）数轴上的点并不是都是有理数正方向可以不按照常规方向选取3）a>0，与原点的距离是a，在数轴上可以是a（存在多解的情况）注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向4.数轴与数的大小正方向上，离原点越远，数越大负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。类型一、利用数轴比较大小例．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：根据图示知：，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了数轴的知识以及不等式的基本性质，解题的关键是利用数形结合的思想得出a，b与1，的大小关系．【变式训练1】已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论的个数有（）个A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可判断a，b，c的符号，再根据数轴的位置关系逐一判断即可．【详解】解：由数轴可知：，故①正确；②，②正确；③，③错误；④，④正确；故正确的结论有3个．故选：B．【点睛】本题考查了绝对值的性质及实数如何比较大小，关键在于学生要理解知识并灵活运用．【变式训练2】如图，点、均在数轴上，且点所对应的实数分别为、，若，则下列结论一定正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，可知可能同号，也可能异号，而恒成立，即可求解．【详解】∵，∴，即在数轴上，在的左侧，∴或，∴可能同号，也可能异号，而恒成立，∴一定正确，故选：B．【点睛】本题考查了数轴上点的位置及其大小关系，熟练掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解题的关键．【变式训练3】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据点在数轴上的位置，判断出a、b、、的正负，然后再比较出a、b、、的大小，最后结合选项进行判断即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∴选项A不符合题意；∵，∴，∴，∴选项B不符合题意；∵，∴，∴，∴选项C符合题意；∵，，∴，∴，∴选项D不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查数轴，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．类型二、基本动点问题例．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以．若数轴上的点P满足，则的值是________．【答案】或【分析】首先分类讨论P的位置，然后根据新定义，直接代值求解即可．【详解】因为，所以P在或处，所以，或所以或故答案为：或【点睛】此题考查坐标轴上的动点问题，解题关键是分类讨论可能在的位置．例2．如图，已知线段，点O为线段AB上一点，且．动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，运动到点B停止；点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止．设P的运动时间为ts．(1)OA=__________cm，OB=__________cm；(2)当Q从O向A运动时，若，求t的值．(3)当时，直接写出t的值．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）直接按比例求解即可；（2）根据数量关系列方程即可；（3）分类讨论两点的位置关系，列方程求解即可．【详解】（1），点O为线段AB上一点，且，那么．故答案为：；（2）动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，则，点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止，则从到时，，从到时，．因为当Q从O向A运动时，若，所以，解得．（3）当则从到时，，，可得，解得，从到时，在左侧时，．，可得，解得，从到时，在右侧时，．，可得，解得．综上所述：【点睛】此题考查动点问题，解题关键是找出每段线段的长，用速度表示点的路程，然后找出等量关系列方程．【变式训练1】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A，再向右爬行了2个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10个单位长度到达点C．(1)画出数轴并标出A，B，C三点在数轴上的位置；(2)写出点A、B、C三点表示的数；(3)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单位长度得到的？【答案】(1)见解析(2)A点表示的数是4、B点表示的数是6、C点表示的数是(3)向左爬行4个单位长度【分析】（1）画出数轴并标出A，B，C三点即可求解；（2）根据（1）中所画数轴写出即可；（3）根据正负数在轴上的意义“向右为正，向左为负”来解答．【详解】（1）如图所示：（2）A点表示的数是4、B点表示的数是6、C点表示的数是；（3）∵C点坐标是，∴可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬行4个单位长度得到的．【点睛】本题考查了数轴，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．【变式训练2】如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动．设运动时间为t（单位：秒）．(1)时点P表示的有理数为___________；(2)求点P是的中点时t的值；(3)请直接写出点P到点A的距离（用含t的代数式表示）；(4)请直接写出点P表示的有理数（用含t的代数式表示）．【答案】(1)0(2)2.5或7.5(3)或(4)【分析】（1）当时，点P的路程与的和即为点表示的有理数；（2）求出的长，分两种情况：由A到B方向运动时点P是的中点；由B到A方向运动时点P是的中点；（3）分两种情况：点P由点A到点B的运动过程中，点P到点A的距离即点P的运动路程；点P由点B到点A的运动过程中，点P到点A的距离为与点P运动路程的差；（4）分两种情况：点P由点A到点B的运动过程中；点P由点B到点A的运动过程中；由（3）的结果及两点间的距离即可求得点P表示的有理数．【详解】（1）解：点P表示的有理数为；故答案为：0；（2）解：，，当由A到B方向运动时，，当由B到A方向运动时，．综上，点P是的中点时或；（3）解：当点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离的长度为；当点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离为；（4）解：在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是；在点P由点B到点A的返回过程中，点P表示的有理数是．【点睛】本题考查了数轴上动点问题，两点间距离，数轴上的点表示有理数等知识，注意数形结合．【变式训练3】一只跳蚤在数轴上从原点开始，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，…依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离原点的距离是________个单位长度．【答案】【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律计算即可．【详解】解：；故答案为．【点睛】本题考查了数轴与图形的变化规律，数轴上点的移动规律是“左加右减”，在学习的过程中培养数形结合的思维是解题的关键．类型三、两点之间的距离例1．在数轴上，到原点的距离等于5个单位长度的点所表示的数是________．【答案】5或【分析】根据数轴上两点间的距离的意义解答即可．【详解】解：设这个数为，则，解得．故答案为：5或．【点睛】本题考查数轴上两点距离的意义，还可以根据相反数的特点解答，即在数轴上到原点的距离相等的点有两个，这两个点表示的数互为相反数．【变式训练1】数轴上A、B两点对应的数分别为和，P为数轴上一点，若，则点P表示的数是________．【答案】或【分析】分情况讨论，①当点P在线段上时，设点P表示的数是x，根据数轴上A、B两点对应的数分别为和得，，即可得；②当点P在线段延长线上时，设点P表示的数是x，根据数轴上A、B两点对应的数分别为和得，，即可得；分别计算并检验，即可得．【详解】解：①当点P在线段上时，设点P表示的数是x，∵数轴上A、B两点对应的数分别为和，∴，，∴，经检验，符合题意；②当点P在线段延长线上时，设点P表示的数是x，∵数轴上A、B两点对应的数分别为和，∴，，∴，经检验，符合题意；综上，点P表示的数是或，故答案为：或．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是分情况讨论，正确计算．【变式训练2】在数轴上，点表示的数为，点以每秒3个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动经过________秒，点与原点的距离为个单位长度．【答案】3或7【分析】根据题意可得出点在和的时候与原点的距离为个单位长度，然后利用路程除以速度即可得出时间．【详解】点与原点的距离为个单位长度，点表示的数为在和的时候与原点的距离都为个单位长度，，，，故答案为：或【点睛】此题考查两点间的距离，数轴，解题关键在于得出点的位置．课后训练1．如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D，若，则（）A． B．小于6 C．等于6 D．大于6【答案】D【分析】由，A在D的右边，C在B的右边，利用加数与和的关系可知与6的大小关系．【详解】解：∵A在D的右边，C在B的右边，∴，，∵，∴．故选：D．【点睛】本题考查有理数的混合运算、数轴、有理数的加法，属于中等题型．2．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是和2，C是的中点，则点C所表示的数是（

）

A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根据A，B两点所表示的数分别是和2，利用中点公式求出线段的中点所表示的数即可．【详解】解：∵A，B两点所表示的数分别是和2，∴线段的中点所表示的数．即点C所表示的数是．故选：A．【点睛】本题考查数轴，熟记中点公式是解题的关键．3．规定向东为正，向西为负，将遥控小汽车两次行驶的情况表示在如图所示的数轴上，则遥控小汽车两次运动后的结果是（

）

A．向东行驶5个单位长度 B．向西行驶3个单位长度 C．向东行驶2个单位长度 D．向西行驶1个单位长度【答案】C【分析】根据图象得最后停在的位置，起始位置为，然后即可得出结果．【详解】解：根据图象得最后停在的位置，起始位置为，∴两次运动后的结果是向东行驶2个单位长度，故选：C．【点睛】题目主要考查数轴上点的运动，理解题意是解题关键．8．如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中，不正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用a，b的位置，进而得出：，，即可分析得出答案．【详解】解：如图所示：，，A、，正确，不合题意；B、，正确，不合题意；C、，故此选项错误，符合题意；D、，正确，不合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了数轴以及有理数混合运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．4．有理数m、n在数轴上的位置如图，则下列关系式正确的个数有（

）①；②；③；④；⑤

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据数轴判断m与n与0的大小关系，进而逐一判断即可．【详解】解：根据数轴可得且，∴，，即①正确，②错误；∵，∴，∴，即③正确；∵且，∴∴，即④正确；∵∴，即⑤正确；∴①③④⑤正确，正确的个数为4个，故选：D．【点睛】本题考查了数轴的应用，解决本题的关键是将m与n与0的大小关系判断出来．5．点，在数轴上的位置如图，则______，______

【答案】【分析】根据数轴上点的位置判断出与的正负即可．【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且，则，，故答案为：；．【点睛】本题主要考查了数轴，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．7．如图，把半径为1的圆从数轴上表示的点A开始沿数轴向右滚动一周，圆上的点A到达点，则点表示的数为______．

【答案】【分析】由圆的周长为，再结合数轴上两点之间的距离可得答案．【详解】解：∵圆的周长为，∴点表示的数为，故答案为：【点睛】