2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第3章 3.2　3.2.1　双曲线及其标准方程 Word版含解析

1、3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(重点)2掌握双曲线的标准方程及其求法(重点)3会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题(难点)1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养2通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养.做下面一个实验(1)取一条拉链，拉开一部分(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点f1，f2上(3)把笔尖放在m处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线试观察这是一条什么样的曲线？点m在运动过程中满足什么几何条件？1双曲线

2、的定义文字语言平面内与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|f1f2|)的点的轨迹.符号语言|pf1|pf2|常数(常数|f1f2|)焦点定点f1，f2焦距两焦点间的距离思考：(1)双曲线定义中，将“小于|f1f2|”改为“等于|f1f2|”或“大于|f1f2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，f1、f2分别为双曲线的左、右焦点，若|mf1|mf2|2a(常数)，且2a0)，把点a的坐标代入，得b20)，把a点的坐标代入，得b29.故所求双曲线的标准方程为1.(2)法一：焦点相同，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，c216420，即a2b2

3、20.双曲线经过点(3，2)，1.由得a212，b28，双曲线的标准方程为1.法二：设所求双曲线的方程为1(416)双曲线过点(3，2)，1，解得4或14(舍去)双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线的方程为ax2by21，ab0.点p，q在双曲线上，解得双曲线的标准方程为1.1求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解2双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程

4、1或1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，注意标明条件mn0.跟进训练1根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)焦距为2，经过点(5,2)，且焦点在x轴上；(3)焦点为(0，6)，(0,6)，且过点a(5,6)解(1)依题意，得双曲线的焦点在x轴上，且a，c2，所以b2c2a25.所以双曲线的标准方程为1.(2)因为焦点在x轴上，且c，所以设双曲线的标准方程为1,0a26.又因为过点(5,2)，所以1，解得a25或a230(舍去)所以双曲线的标准方程为

5、y21.(3)法一：由已知得c6，且焦点在y轴上因为点a(5，6)在双曲线上，所以2a|135|8，则a4，b2c2a2624220.所以所求双曲线的标准方程是1.法二：因为焦点在y轴上，所以双曲线方程可以设为1.由题意知解得a216，b220.所以所求的双曲线的标准方程为1.双曲线定义的应用探究问题1双曲线的定义中为什么要加条件“常数2a小于|f1f2|”？提示把常数记为2a，只有当2a|f1f2|时，其轨迹是双曲线；当2a|f1f2|时，其轨迹是分别以f1，f2为端点的两条射线；当2a|f1f2|时，其轨迹不存在若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段f1f2的垂直平分线2双曲线定义中

6、为什么“距离的差”要加“绝对值”？提示距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支若f1，f2分别表示双曲线的左、右焦点，且点p满足|pf1|pf2|2a，则点p在右支上；若点p满足|pf2|pf1|2a，则点p在左支上【例2】(1)abc中，a(5,0)，b(5,0)，点c在双曲线1上，则()abcd(2)已知f1，f2分别是双曲线1的左、右焦点，若p是双曲线左支上的点，且|pf1|pf2|32.试求f1pf2的面积思路探究(1)结合三角形中正弦定理及双曲线的定义解题，但要注意|ca|cb|2a.(2)结合焦点三角形中余弦定理和双曲线的定义，以及三角形面积公式解题(1)d在abc中，sin a，

7、sin b，sin c(其中r为abc外接圆的半径).又|bc|ac|8，.(2)解因为p是双曲线左支上的点，所以|pf2|pf1|6，两边平方得|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|36，所以|pf1|2|pf2|2362|pf1|pf2|36232100.在f1pf2中，由余弦定理，得cosf1pf20，所以f1pf290，所以s|pf1|pf2|3216.1变条件，变设问若本例(2)中双曲线的标准方程不变，且其上一点p到焦点f1的距离为10.求点p到f2的距离解由双曲线的标准方程1，得a3，b4，c5.由双曲线定义得|pf1|pf2|2a6，|10|pf2|6，解得|pf2|4或|

8、pf2|16.2变条件若本例(2)条件“|pf1|pf2|32”改成“|pf1|pf2|25”其他条件不变，求f1pf2的面积解由|pf1|pf2|25，|pf2|pf1|6，可知|pf2|10，|pf1|4，s448.3变条件本例(2)中，将条件“|pf1|pf2|32”改为“f1pf260”，其他条件不变，求f1pf2的面积解由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|pf1|pf2|6，|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60，102(|pf1|pf2|)2|pf1|pf2|，|pf1|pf2|64，s|pf1|pf2|sin f1pf26416.求双曲线

9、中的焦点pf1f2面积的方法(1)根据双曲线的定义求出|pf1|pf2|2a；利用余弦定理表示出|pf1|、|pf2|、|f1f2|之间满足的关系式；通过配方，整体的思想求出|pf1|pf2|的值；利用公式s|pf1|pf2|sinf1pf2求得面积(2)利用公式s|f1f2|yp|求得面积与双曲线有关的轨迹问题【例3】如图所示，在abc中，已知|ab|4，且三个内角a，b，c满足2sin asin c2sin b，建立适当的坐标系，求顶点c的轨迹方程思路探究解以ab边所在的直线为x轴，ab的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则a(2，0)，b(2，0)由正弦定理，得sin a，

10、sin b，sin c(r为abc的外接圆半径)2sin asin c2sin b，2|bc|ab|2|ac|，即|ac|bc|2a)，a，c2，b2c2a26.即所求轨迹方程为1(x)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支跟进训练2.如图所示，已知定圆f1：x2y210x240，定圆f2：x2y210x90，动圆m与定圆f1，f2都外切，求动圆圆心m的轨迹方程解圆f1：(x5)2y2

11、1，圆心f1(5,0)，半径r11.圆f2：(x5)2y242，圆心f2(5,0)，半径r24.设动圆m的半径为r，则有|mf1|r1，|mf2|r4，|mf2|mf1|310|f1f2|.点m的轨迹是以f1，f2为焦点的双曲线的左支，且a，c5，于是b2c2a2.故动圆圆心m的轨迹方程为1.1双曲线与椭圆的比较曲线椭圆双曲线定义|pf1|pf2|2a(|f1f2|2c,2a2c)|pf1|pf2|2a(|f1f2|2c,2a2c)标准方程1或1(ab0)1或1(a0，b0)图形特征封闭的连续曲线分两支，不封闭，不连续根据标准方程确定a，b的方法以大小分a，b(如1中，94，则,a29，b24

12、)以正负分a，b (如1中，a29，b24)a，b，c的关系a2b2c2(a最大)a2b2c2(c最大)2.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解1动点p到点m(1,0)的距离与点n(3,0)的距离之差为2，则点p的轨迹是()a双曲线b双曲线的一支c两条射线d一条射线d由已知|pm|pn|2|mn|，所以点p的轨迹是一条以n为端点的射线2已知m，nr，则“mn0”是“方程1表示双曲线”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件c方程1表示双曲线，必有mn0；当mn0时，方程1表示双曲线，所以“mn0”是“方程1表示双曲线”的充要条件3已知双曲线方程为2x2y2k，焦距为6，则k的值为_6若焦点在x轴上，则方程可化为1，所以k32，解得k6；若焦点在y轴上，则方程可化为1，所以k32，即k6.综上所述，k的值为6或6.4已知f1，f2分别为双曲线c：x2y21的左、右焦点，点p在c上，f1pf260，则|pf1|pf2|等于_4在pf1f2中，|f1f2