2020-2021学年数学新教材人教A版必修第二册单元质量评估8 第八章　立体几何初步 Word版含解析

1、一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中真命题的个数是(a)a0 b1 c2 d3解析：不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等2以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一

2、边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为(c)a64 cm2 b36 cm2 c64 cm2或36 cm2 d48 cm2解析：分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然c选项正确3梯形abcd中，abcd，ab平面，cd平面，则直线cd与平面内的直线的位置关系只能是(b)a平行 b平行或异面 c平行或相交 d异面或相交解析：由直线与平面平行的判定定理，可知cd，所以cd与平面内的直线没有公共点4如图，l，a，b，c，cl，直线ablm，过a，b，c三点的平面记作，则与的交线必通过(d)a点a b点b c点c但不通过点m d点c和点m解析：通过a，b，

3、c三点的平面，即通过直线ab与点c的平面，因为mab，m，而c，又m，c，和的交线必通过点c和点m.5如图所示，正方形abcd中，e，f分别是ab，ad的中点，将此正方形沿ef折成直二面角后，异面直线af与be所成角的余弦值为(c)a. b. c. d.解析：过点f作fhdc，交bc于h，过点a作agef，交ef于g，连接gh，ah，则afh为异面直线af与be所成的角设正方形abcd的边长为2，在agh中，ah，在afh中，af1，fh2，ah，cosafh.6已知三棱锥sabc中，sababc，sb4，sc2，ab2，bc6，则三棱锥sabc的体积是(c)a4 b6 c4 d6解析：abc

4、，abbc，又ab2，bc6，ac2，sab，abas，又ab2，sb4，as2，再由sc2得ac2as2sc2，acas，as平面abc，as为三棱锥sabc的高，vsabc624，故选c.7正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(a)a. b16 c9 d.解析：如图所示，设球的半径为r，球心为o，正四棱锥的底面中心为o.正四棱锥pabcd中ab2，ao.po4，在rtaoo中，ao2ao2oo2，r2()2(4r)2，解得r，该球的表面积为4r242，故选a.8已知圆锥的高为16 cm，底面积为512 cm2，平行于圆锥底面的截面面积为50 cm2，

5、则截面与底面的距离为(c)a5 cm b10 cm c11 cm d25 cm解析：设截面与底面的距离为h cm，则2，解得h11，故选c.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分9以下关于空间几何体特征性质的描述，错误的是(abc)a以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥b有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱c有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥d两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台解析：以直角三角形的

6、一个直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥，可得a错误；有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体可能是棱台，不一定是棱柱，故b错误；有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故c错误；根据棱台的定义，可得d正确故选abc.10如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，点m，p，q分别为棱ab，cd，bc的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是(acd)aa1md1p ba1mb1qca1m平面dcc1d1 da1m平面d1pqb1解析：连接pm，因为m、p为ab、cd的中点，故pm平行且等于ad.由题意知ad平行且等于a1d

7、1，故pm平行且等于a1d1，所以pma1d1为平行四边形，所以a1md1p.故a正确；显然a1m与b1q为异面直线，故b错误；由a知a1md1p，由于d1p既在平面dcc1d1内，又在平面d1pqb1内，且a1m即不在平面dcc1d1内，又不在平面d1pqb1内，故c、d正确故选acd.11如图，在四面体abcd中，截面pqmn是正方形，则在下列命题中，一定正确的为(abd)aacbd bac截面pqmncacbd d异面直线pm与bd所成的角为45解析：qmpn，qm平面abd，qmbd，同理可得acmn，qmbd，acmn，mnqm，acbd，a正确；acmn，ac截面pqmn，b正确；

8、qmbd，acmn，1，c不一定正确；qmbd，异面直线pm与bd所成的角为pmq45，d正确故选abd.12正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f，g分别为bc，cc1，bb1的中点则(bc)a直线d1d与直线af垂直b直线a1g与平面aef平行c平面aef截正方体所得的截面面积为d点c与点g到平面aef的距离相等解析：取dd1中点m，则am为af在平面aa1d1d上的射影，am与dd1不垂直，af与dd1不垂直，故a选项错误；a1gd1f，a1g平面aefd1，a1g平面aefd1，故b选项正确；平面aef截正方体所得截面为等腰梯形aefd1，易知梯形面积为，故c选项正确；假设c

9、与g到平面aef的距离相等，即平面aef将cg平分，则平面aef必过cg中点，连接cg交ef于h，而h不是cg中点，则假设不成立故d选项错误故选bc.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面上升9厘米，则此球的半径为_12_厘米解析：设球的半径为r，由题意知v球29r3，r12(厘米)14p为abc所在平面外一点，pa，pb，pc与平面abc所成角均相等，又pa与bc垂直，那么abc的形状为_等腰三角形_解析：设点p在底面abc上的射影为o.由pa，pb，pc与平面abc所成角均相等，o点到abc三个顶点的距离相等，

10、即o是abc的外心，po底面abc，pobc，又pabc，popap，bc平面pao，oabc，abac，abc一定为等腰三角形15如图所示，abcda1b1c1d1是长方体，aa1a，bab1b1a1c130，则ab与a1c1所成的角为_30_，aa1与b1c所成的角为_45_.解析：长方体abcda1b1c1d1中，bab1b1a1c130，aba1b1，a1b1与a1c1所成的角，就是ab与a1c1所成的角，ab与a1c1所成的角为30，aa1bb1，bb1与b1c所成的角就是aa1与b1c所成的角，连接ac，则aca1c1，bac30，aa1a，bab130，aba，bca，bb1c4

11、5，aa1与b1c所成的角为45，故答案为30，45.16如图，边长为a的等边三角形abc的中线af与中位线de交于点g，已知ade(a平面abc)是ade绕de旋转过程中的一个图形，有下列命题：平面afg平面abc；bc平面ade；三棱锥adef的体积的最大值为a3；动点a在平面abc上的射影在线段af上；直线df与直线ae可能共面其中正确的命题是_(写出所有正确命题的编号)解析：由已知可得四边形adfe是菱形，则dega，degf，所以de平面afg，所以平面afg平面abc，正确；因为bcde，所以bc平面ade，正确；当平面ade平面abc时，三棱锥adef的体积达到最大值，最大值为a

12、3，故正确；由知动点a在平面abc上的射影在线段af上，故正确；ade在旋转过程中，直线df与直线ae始终异面，故错误四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题10分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥pefgh，下半部分是长方体abcdefgh.长方体的长、宽、高分别是40 cm、40 cm、20 cm，正四棱锥pefgh的高为60 cm.题图答图(1)求该安全标识墩的体积；(2)求该安全标识墩的侧面积解：(1)该安全标识墩的体积vvpefghvabcdefgh402604022064 000(cm3)(2)如图，连接

13、eg，hf交于点o，连接po，结合三视图可知op60 cm，ogeg20 cm，可得pg20(cm)于是四棱锥pefgh的侧面积s14401 600(cm2)，四棱柱efghabcd的侧面积s2440203 200(cm2)，故该安全标识墩的侧面积ss1s21 600(2)(cm2)18(本小题12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由解：不会溢出杯子理由如下：由题图可知半球的半径为4 cm，所以v半球r343(cm3)，v圆锥r2h421264(cm3)因为v半球v圆锥，所以如果冰淇淋融化了，不会溢出杯子19(本小

14、题12分)如图所示，在四棱锥pabcd中，侧面pad底面abcd，侧棱papd，底面abcd是直角梯形，其中bcad，bad90，ad3bc，o是ad上一点(1)若cd平面pbo，试指出点o的位置；(2)求证：平面pab平面pcd.解：(1)cd平面pbo，cd平面abcd，且平面abcd平面pbobo，bocd.又bcad，四边形bcdo为平行四边形，则bcdo，而ad3bc，ad3od，即点o是靠近点d的线段ad的一个三等分点(2)证明：侧面pad底面abcd，平面pad平面abcdad，ab底面abcd，且abad，ab平面pad.又pd平面pad，abpd.又papd，abpaa，ab

15、，pa平面pab，pd平面pab.又pd平面pcd，平面pab平面pcd.20(本小题12分)在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，abcd，pad是等边三角形，已知ad2，bd2，ab2cd4.题图答图(1)设m是pc上一点，求证：平面mbd平面pad；(2)求四棱锥pabcd的体积解：(1)证明：在三角形abd中，ad2，bd2，ab4，由勾股定理可得adbd.又平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，所以bd平面pad，又bd平面bdm，所以平面mbd平面pad.(2)如图，取ad的中点o，连接po，则po是四棱锥pabcd的高，易得po，底面四边形abcd的面积是三

16、角形abd面积的倍，即为3，所以四棱锥pabcd的体积为33.21(本小题12分)如图所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为a的正方形，o是正方形的中心，po底面abcd，e是pc的中点(1)求证：pa平面bde，平面pac平面bde；(2)若二面角ebdc为30，求四棱锥pabcd的体积 题图答图解：(1)证明：连接oe，如图所示o，e分别为ac，pc的中点，oepa.oe平面bde，pa平面bde，pa平面bde.po平面abcd，pobd.在正方形abcd中，bdac，又poaco，po，ac平面pac，bd平面pac.bd平面bde，平面pac平面bde.(2)由(1)知，b

17、d平面pac，bdoc，bdoe，eoc为二面角ebdc的平面角，eoc30.在rtopc中，oca，ecoeoc30，poa，v四棱锥pabcda2aa3.22(本小题12分)如图，已知aa1平面abc，bb1aa1，abac3，bc2，aa1，bb12，点e和f分别为bc和a1c的中点(1)求证：ef平面a1b1ba；(2)求证：平面aea1平面bcb1；(3)求直线a1b1与平面bcb1所成角的大小题图答图解：(1)证明：如图，连接a1b.在a1bc中，因为e和f分别是bc和a1c的中点，所以efba1.又ef平面a1b1ba，ba1平面a1b1ba, 所以ef平面a1b1ba.(2)证明：因为abac，e为bc的中点，所以aebc.因为aa1平面abc，bb1aa1，所以bb1平面abc，从而bb1ae.又bcbb1b，所以ae平面bcb1，又ae平面aea1，所以平面aea1平面bcb1.(3)取bb1的中点m和b1c的中点n，连接a1m，a1n，ne