(微专题)双重最值

1、2 22 22 2=23 33 323 323 33 3+y)1 22-+1,b=lgx +lg(xyz+1),c=lgy+lg(xyz)-1-1-1-1b( a b )a +4ba +4ba +4b双重最值母题(11-23):(选修 4-5(不等式选讲)(人教 a 版)p10)已知 a0,b0,且 h=mina,b(minaa2+b2表示集合中最小数),求证:h22.解析:由 h=mina,ba +b0h a,00,s(x,y)=minx,y,x2,y2,则 s(x,y) 的最x +yx +y大值为 .解析:设 s(x,y)=t,则 tx,ty,txx +y,tyx +yt4( xx y3

2、3 2(x=y= )4 2t22s(x,y)的最大值为 .2注 : 本题中 ,利用等价命题和同向不等式的可乘性 ,构造一边为变量的齐次分式的不等式是构造不等式的一个重要技 巧,在解决含分式的此类问题中经常使用 .子题(3):(1997 年全国高中数学联赛试题)设 a=lgz+lgx(yz)1 1 1+1,记a,b,c 中最大数为 m,则 m 的最小值为 .解析:由 a=lg(xy-1+z),b=lg(yz+x ),c=lg(xz) +y.设 xy-1+z,yz+x ,(xz) +y 中的最大数为 t,则 m=lgt.t2(xy-1+z)(xz)-1+y=(yz)-1+yz+(x+x-1)2+2

3、=4. 所以,t2,当且仅当 x=y=z=1 时,t=2,故 m 的最小值为 lg2.注 : 本题中 ,利用其中的两个不等式 ,并根据同向不等式的可乘性 ,构造一边可进一步放小 (或放大 ),进而解决问题的 技巧,值得深思和参悟.子题系列:1.(2013 年浙江高考试题)设 a,br,定义运算“”和“”如下:a b=a( a b ) b(a b ),ab= .若正数 a、b、c、d a(a b )满足 ab 4,c+d4,则( )(a)ab2,cd2 (b)a b2,cd2 (c)a b2,cd2 (d)a b2,cd22.(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设 a,b 为正实数,记

4、m= 4ab, ab 2 24 4 , ab 2 2 22,则 m 的最大值是 .2 21 11 1+1 1 1a +b2 2m ab22 22 2ab2 22 2 21 12 2, ,a +b =m,则 m ,m ,m a +bm 2 mminmax , ,a +b =32 22 232 2+ab+ab1 1ab222-,y= ,z=0 时,m= .yx, , ,a+b +c ,则 0t ,0t ,00,b0,若 x 表示 1,a 及 的最大值为 .ba +b这三个数中的最小者 ,当 a,b 变化时,x4.(2011 年清华大学自主招生试题)minmaxx,|x-6|= .5.(2002 年

5、北京市中学生数学竞赛初赛高一年级试题 )用 maxx ,x ,x 表记实数 x ,x ,x 中的最大值,用 minx ,x ,1 2 n 1 2 n 1 2,x 表记实数 x ,x ,x 中的最小值,对任意的 a0,b0,minmax n 1 2 n, ,a2+b 2= . a b6.(2013 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若 a0,b0,则 minmaxa,b, + = .a2b27.(1984 年全国高中数学联赛上海初赛试题)当 x,y(0,1)时,min2x,2xy,2y1的最大值为_ _. 8.(2005 年全国高中数学联赛上海初赛试题 )实数 x、y、z 满足 x+y+z=0,且

6、 x2+y2+z2=1,记 m 为 x2、y2、z2 的最小值为_.9.(2006 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设 x1,y1,s=minlog 2,log y,log (8x2),则 s 的最大值为x 2 y中最大者,则 m10.(2006 年全国高中数学联赛浙江初赛试题 )max min a , b , cr, , ,a+b2+c3= . a b 2 c3子题详解:1.解:由 ab 2 a+b4 maxa,b2 ab2;又由 c+d4 minc,d 2 cd2.故选(c).22.解:由 mab,m4a +4b1 1 ab ab=1m 的最大值是 1.3.解:由 x=min1,a,ba

7、+b,则 0x1,0xa,x ba +bx2 a +b12x ,当且仅当 a=b= 时,x= . 2 2 24.解:设 m=maxx,|x-6|,则 m x,m|x-6|m2x,若 x6m x=6;若 0x6m2+m6m2minmaxx,|x-6|=2.5.解:设 max1 1 a +b 1 1 2 a b a b ab a b32.6.解:设 maxa,b,1 12 2=m,则 ma,mb,m1 12 2m2m2m32(a=b=32)minmaxa,b, + =2 232. 7.解:设 a=log 2-x=-x,b=log 2x-y=x-y,c=log 2y-1=y-1,t=mina,b,c t-x,tx-y,ty-1 3t(-x)+(x-y)+(y-1)=-1 t-13min2x,2xy,2y1的最大值为213. 8.解: 由 mx2,my2,mz22mx2+y2=1-z2=1 m12.当且仅当 x=-2212229.解:由 slog (8x2)=y3 +2 loglog22 3 +s2ss2.10.解:设 t=min1 1 1 1 1 1 1 1