新人教高考数学总复习专题训练概率统计与排列组合二项式定理

1、2012 年高考数学总复习专题训练概率统计与排列组合二项式定理安徽理（12）设 ( x -1)21=a +a x +a x 2 +l a x21，则 .01221（12) c 11 【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等. 20【解析 】a =101(c0-12)11=，c -a =c11 211 ( -1)10 211=c1121，所以a +a 1=1c -1c 0 =c 1 +.0-11=1011101121212 0202 12 0（20）（本小题满分 13 分）工作人员需进入核电站完成某项具有 高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 10 分钟，如果有

2、一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p , p , p p , p , p，假设123123p , p , p互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.123（）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派 出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q , q , q，其中 q , q , q是123123p , p , p的一个排列，求所需派出人员数 目 x 的分布列和均值（数字期望） ex ；123（）假定 1

3、p p p，试分析以怎样的 先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的123均值（数字期望）达到最小。（20）（本小题满分 13 分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、 均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分 类读者论论思想，应用意识与创新意识.解：（i）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1 -p )(1 -p )(1 -p )1 2 3以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于，所（ii）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 q , q , q1 23时，随机变量 x 的分布列为x

4、 1 2 3p所需派出的人员数目的均值（数学期望）ex 是（iii）（方法一）由（ii）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于 p , p , p1 23的任意排列 q , q , q1 23，都有3 -2 q -q +q q 3 -2 p -p +p p , 1 2 1 2 1 2 1 2（*）事实上， d=(3 -2 q -q +q q ) -(3 -2 p -p +p p )1 2 1 2 1 2 1 2即（*）成立.（方法二）（i）可将（ii）中所求的 ex 改写为 3 -( q +q )

5、+q q -q ,1 2 1 2 1若交换前两人的派出顺序，则变为 3 -( q +q ) +q q -q ,1 2 1 2 1值.由此可见，当 q q2 1时，交换前两人的派出顺序可减小均（ii）也可将（ii）中所求的 ex 改写为 3 -2 q -q +q q1 2 12，或交换后两人的派出顺序，则变为 3 -2 q -q +q q 1 3 1 3.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当 q q32时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.综合（i）（ii）可知，当 ( q , q , q ) =( p , p , p )1 2 3 1 2 3时，ex 达到最小. 即完成任务概率大的人优先派

6、出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.安徽文(9) 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概 率等于（a）110(b)1 1 1(c) (d)8 6 5（9）d【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题.【解析】通过画树状图可知从正六边形的 6 个顶点中随机选 择 4 个顶点，以它们作为顶点的四边形共有 15 个，其中能构成矩形 3 个，所以是矩形的概率为 （20）（本小题满分 10 分）3 1=15 5.故选 d.某地最近十年粮食需求量逐年上升， 下表是部分统计数据： 年份 2002 2004 2006 2008 需求量（

7、万 236 246 257 276 吨）2010286（）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y =bx +a;（）利用（）中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量。温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.（20）（本小题满分 10 分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法， 数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力.解：（i）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为 此对数据预处理如下：年份2006 4 2 需求量257 21 1100219429对预处理后的数据，容易算

8、得由上述计算结果，知所求回归直线方程为即 y =6.5( x -2006) +260.2.（ii）利用直线方程，可预测 2012 年的粮食需求量为6.5(2012 -2006) +260.2 =6.5 6 +260.2 =299.2（万吨）300（万吨）.北京理12.用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作 答)【解析】个数为 24-2 =14。17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示。（1） 如果 x =8 ，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2） 如果 x =9 ，分别从甲、

9、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 y 的分布 列和数学期望。（注：方差 s 2 =1n( x -x ) 2 +( x -x ) 2 + 1 2+( x -x ) 2 n，其中 x为 x1， x2， xn的平均数）（17）（共 13 分）解（1）当 x=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（）当 x=9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的 植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 44=16 种可 能的结果，这两名同学植树总棵数 y 的可能取值为 17，18，19，20

10、，21 事件“y=17”等 价于“甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能的结2 1果，因此 p（y=17）= = .16 81 1 1 1同理可得 p (y =18) = ; p (y =19) = ; p (y =20) = ; p (y =21) = .4 4 4 8所以随机变量 y 的分布列为：yp17 18 19 20 21ey=17p（ y=17 ）+18p（ y=18 ）+19p（ y=19 ）+20p（ y=20 ）+21p（ y=21 ）1=17 +188=191 1 1 1+19 +20 +214 4 4 8北京文7某车间分批生产某种

11、产品，每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 ，每批应生产产品ba60 件 b80 件 c100 件 d120 件16（本小题共 13 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认， 在图中以 x 表示.（1） 如果 x=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2） 如果 x=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的 概率.（注：方差 s2=1n( x -x ) 12+( x -x )22+l(

12、 x -x ) n2, 其中 x 为 x , x , l , x 的平均数）1 2 n（16）（共 13 分）解（1）当 x=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为x =8 +8 +9 +10 35 1 35 35 35 11= ; 方差为 s 2 = (8 - ) 2 +(9 - ) 2 +(10 - ) 2 = . 4 4 4 4 4 4 16（）记甲组四名同学为 a ，a ，a ，a ，他们植树的棵数依次为 9，9，11，11；乙组四1 2 3 4名同学为 b ，b ，b ，b ，他们植树的棵数依次为 9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机 1 2

13、 3 4选取一名同学，所有可能的结果有 16 个，它们是：（a ，b ），（a，b ），（a，b ），（a，b ），1 1 1 2 1 3 1 4（a ，b ），（a，b ），（a，b ），（a，b ），2 1 2 2 2 3 2 4（a ，b ），（a，b ），（a，b ），（a，b ），3 1 2 2 3 3 1 4（a ，b ），（a，b ），（a，b ），（a，b ），4 1 4 2 4 3 4 4用 c 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件，则 c 中的结果有 4 个，它们是：（a ，b ），（a，b ），（a，b ），（a，b ），故所求概率为 p(c ) = 1

14、4 2 4 3 2 4 24 1= .16 4福建理 6（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于ba80b40 c20 d1013盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个。若从中随机取出 2个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_。 19（本小题满分 13 分）35某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 x 依次为 1,2，8，其中 x5 为标 准 a，x为标准 b，已知甲厂执行标准 a 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标 准 b 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 （i）已知甲厂产品

15、的等级系数 x 的概率分布列如下所示：15 6 7 8p 04 a b 01且 x 的数字期望 ex =6，求 a，b 的值；1 1（ii）为分析乙厂产品的等级系数 x ，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组2成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 x 的数学期望2（iii）在（i）、（ii）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买 性？说明理由注：（1）产品的“性价比”=产品的等级系数的数学 期望

16、 产品的零售价；（2）“性价比”大的产品更具可购买性19本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查 函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分 13 分。解：（i）因为 ex =6, 所以5 0.4 +6 a +7 b +8 0.1 =6, 即6 a +7 b =3.2.1又由 x 的概率分布列得 0.4 +a +b +0.1 =1,即a +b =0.5.1由6 a +7b =3.2, a =0.3, 解得a +b =0.5. b =0.2.（ii）由已知得，样本的频率分布表如下：3 4 5 6 7 803 02 02 01 01 01用这个样

17、本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 x 的概率分布列如下：23 4 5 6 7 8p 03 02 02 01 01 01所以即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8.（iii）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：6因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于 6，价格为 6 元/件，所以其性价比为 =1.6因为乙厂产吕的等级系数的期望等于 4.8，价格为 4 元/件，所以其性价比为 据此，乙厂的产品更具可购买性。4.84=1.2.福建文 4某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名。现用分层抽样的 方法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学

18、生中抽取了 6 名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为ba6b8 c10 d127如图，矩形 abcd 中，点 e 为边 cd 的中点。若在矩形 abcd 内部随机取一个点 q，则点 q 取自abe 内部的概率等于1 1 1 2 a b c d4 3 2 3c19（本小题满分 12 分）d e ca b某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 x 依次为 1、2、3、4、5。现从一批该 日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：x1 2 3 4 5fa 0.20.45b c（）若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰

19、有 2 件；求 a、b、c 的值。（）在（）的条件下，将等级系数为 4 的 3 件记为 x 、x 、x ，等级系数为 5 的 2 件记为1 2 3y 、y 。现从这五件日用品中任取 2 件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结 1 2果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。19本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查 函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想，满分 12 分。解：（i）由频率分布表得 a +0.2 +0.45 +b +c =1,即a+b+c=0.35因为抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件

20、，所以 b =，320=0.15,等级系数为 5 的恰有 2 件，所以 c =220=0.1，从而 a =0.35 -b -c =0.1所以 a =0.1,b =0.15, c =0.1.（ii）从日用品 x , x , y , y1 2 12中任取两件，所有可能的结果为：x , x , x , x , x , y , x , y , x , x , x , y , x , y , x , y , x , y , y , y 1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2，设事件 a 表示“从日用品 x , x , x , y , y1 2 3 1为：2中任取两

21、件，其等级系数相等”，则 a 包含的基本事件x , x , x , x , x , x , y , y 1 2 1 3 2 3 1 2共 4 个 ， 又 基 本 事 件 的 总 数 为 10 ， 故 所 求 的 概 率p ( a) =410=0.4.广东理 6 甲、乙两队进行排球决赛现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局 才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为a.1 3 2 3b. c. d.2 5 3 41 0.2 x( x - )x7的展开式中， x 4的系数是_ (用数 字作答).13.某数学老师身高 176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173

22、cm、170cm、和 182cm.因儿子的 身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.父亲的身高(x) 173 170 176 儿子的身高(y) 170 176 18217.（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽 样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数 据：编号 1 2 3 4 5n6nn（1） x 169 178 166 175 180 已 知 y 75 80 77 70 81 甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；（1） 当产品中的微量元素x

23、，y满足x175且y75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂 生产的优等品的数量；（3） 从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随即抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数 x的分布列及 其均值（即数学期望）.0 1 2p广东文 7正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么 一 个 正 五 棱 柱 对 角 线 的 条 数 共 有 aa20 b15 c12 d1013为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1 号到 5 号每天打篮球时间 x（单位：小时）与当天投篮命中率 y 之间的关系：时间 x1 2 3 4 5命中率 04

24、 05 06 06 04小李这 5 天的平均投篮命中率为_;用线性回归分析的方法，预测小李每月 6 号打篮球 6 小时的投篮命中率为_0.5，0.5317（本小题满分 13 分）在某次测验中，有 6 位同学的平均成绩为 75 分。用 x 表示编号为 n（n=1,2,6）的同学所n得成绩，且前 5 位同学的成绩如下：编号 n 1 2 3 4 5成绩 xn70 76 72 70 72（1）求第 6 位同学的成绩 x ，及这 6 位同学成绩的标准差 s;6（2）从前 5 位同学中，随机地选 2 位同学，求恰有 1 位同学成绩在区间（68，75）中的概率。 17（本小题满分 13 分）解：（1）1 6

25、 5x = x =75 , x =6 x - x =6 75 -70 -76 -72 -70 -72 =90, 6n =1 n =1s21 6= ( x -x ) 6n =121= (562+12+32+52+32+152) =49 ， s =7.（2）从 5 位同学中随机选取 2 位同学，共有如下 10 种不同的取法：1，2，1，3，1，4，1，5，2，3，2，4，2，5，3，4，3，5，4，5， 选出的 2 位同学中，恰有 1 位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下 4 种取法： 1，2，2，3，2，4，2，5，2故所求概率为 .5湖北理 5.已知随机变量 x 服从正态分布 n (2

26、,s2)，且p(x4)=0.8，则p(0x2)=a.0.6b.0.4c.0.3d.0.2【答案】c 解析：yo 2 4 xa()()2r1 rr 18225如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线 x =2 对称，所以 p (x2)=0.5，并且则 p (0x2)=p(x4)-p(x6.635，而 p ( k26.635) =0.010，故由独立性检验的意义可知选 a.10已知某试验范围为10，90，若用分数法进行 4 次优选试验，则第二次试点可以是 答案：40 或 60（只填一个也正确）5解析：有区间长度为 80，可以将其等分 8 段，利用分数法选取试点： x =10 + (90 -

27、10) =608，x =10 +90 -60 =40 2，由对称性可知，第二次试点可以是 40 或 60。16、给定 k n*，设函数 f : n * n * 满足：对于任意大于 k的正整数 n， f ( n) =n -k（1）设 k =1，则其中一个函数 f在 n =1处的函数值为 ；（2）设 k =4，且当 n 4时， 2 f ( n) 3，则不同的函数 f的个数为 。答案：（1） a ( a为正整数)，（2）16解析：（ 1 ）由题可知 f ( n ) n * ，而 k =1 时， n 1 则 f ( n ) =n -1n * ，故只须 f (1)n * ，故f (1) =a (a为正整

28、数 )。（2）由题可知 k =4， n 4则 f ( n ) =n -4 n * ，而 n 4时， 2 f (n ) 3即 f ( n ) 2,3，即n 1,2,3, 4， f ( n) 2,3，由乘法原理可知，不同的函数 f的个数为 24 =16。18（本题满分 12 分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的 降雨量 x（单位：毫米）有关据统计，当 x=70 时，y=460；x 每增加 10，y 增加 5；已知近 20 年x 的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，

29、140，110， 160，220，140，160（i）完成如下的频率分布表：近 20 年六月份降雨量频率分布表降雨量 70 110 140 160 200 220频率（ii）假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率， 求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千瓦时）或超过 530（万千瓦时）的概率 解：（i）在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200 毫米的有 3 个，故近 20 年六月份降雨量频率分布表为降雨量 70 110 140 160 200 220频率p (发电量低于490万千瓦时或超过

30、530万千瓦时)（ii） =p(y530)=p(x210)=1 3 2 3+ + =20 20 20 103故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千瓦时）或超过 530（万千瓦时）的概率为10江苏5.从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_答案：13解析：从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共 61种. 其中符合条件的有 2 种,所以概率为 .也可以由 1 -34 1=6 3得到.本题主要考查随机事件与概率,古典概型的概率计算，互斥事件及其发生的概率.容易题.

31、6.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10，6，8，5，6，则该组数据的方差 s 2 =_.答案：165.解析：五个数的平均数是 7,方差为 s2=(10 -7)2+(6 -7)2+(8 -7) 2 +(5 -7) 2 +(6 -7) 2 16=5 5还可以先把这组数都减去 6 再求方差，165.本题主要考查总体分布的估计,总体特征数的估计,平均数方差的计算，考查数据处理能力,容易题. 附加：23（本小题满分 10 分）设整数 n 4， p ( a , b)是平面直角坐标系 xoy中的点，其中 a, b 1,2,3, , n，a b（1）记 a 为满足 a -b =3 的点 p 的个数，

32、求 a ； n nnmmn 1（2）记 b 为满足 ( a -b )3是整数的点 p 的个数，求 b n解：（1）点 p 的坐标满足条件：1 b =a -3 n -3, 所以 a =n -3.n（2）设 k为正整数，记 f ( k )n为满足题设条件以及 a -b =3k的点 p 的个数，只要讨论 f ( k ) 1n的情形，由 1 b =a -3k n -3k知 f ( k ) =n -3k .且k nn -13.设 n -1 =3m +r , 其中 m n*, r | 0,1,2 |, 则k m.所以 b =nk =1f ( k ) =(n -3k ) =mn - nk =13m ( m

33、+1) m(2 n -3m -3)=2 2.将 m =n -1 -r ( n -1)(n -2) r ( r -1) 代入上式，化简得 b = -3 6 6n( n -3) n, 是整数, 6 3所以 b =n ( n -1)(n -2) n, 不是整数. 6 3江西理 6. 变量 x 与 y相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量 u 与 v 相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1）， r 表示1变量 y与 x 之间的线性相关系数， r2表示变量 v 与 u 之间的线性相

34、关系数，则a.r r 0 2 1b.0 r r 2 1c.r 0 0 r 0 r 2 1，选 c12. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机的往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离1 1大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球；否则，在家看书.则小 2 4波周末不在家看书的概率为 .【答案】13161 1【解析】 p =1 -( ) 2 +( ) 2 =2 416.（本小题满分 12 分）3 1 13+ =4 16 16某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别 .公司准备了两种不同nx -x y -y()n2的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且

35、其中 4 杯为 a 饮料，另外 4 杯为 b 饮料.公司要求此员 工一一品尝后，从 8 杯饮料中选出 4 杯 a 饮料.若 4 杯都选对，则月工资定为 3500 元；若 4 杯 选对 3 杯，则月工资定为 2800 元；否则月工资定为 2100 元.令 x 表示此人选对 a 饮料的杯数. 假设此人对 a 和 b 两种饮料没有鉴别能力.（1） 求 x 的分布列；（2） 求此员工月工资的期望.【解析】（1） x 的所有可能取值为：0, 1, 2, 3, 4即0 1 2 3 4（2）令 y 表示新录用员工的月工资，则 y 的所有可能取值为 2100,2800,3500y 的分布列为：所以新录用员工月工资的期望 为江 西2100 2800 35002280 元.文 7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为 m ，众数为 m ，平均值为 xe o，则（ ）a.m =m =x e ob.m =m x e oc.m m x e od.m m x o e答案：d 计算可以得知，中位数为 5.5，众数为 5 所以选 d8.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父子的身高数据如下： 父亲身高 x（cm） 174 176 176 1