2020-2021学年高中数学 第三章 不等式 3.4.2 基本不等式的应用同步作业新人教A版必修5

1、2020-2021学年高中数学 第三章 不等式 3.4.2 基本不等式的应用同步作业新人教a版必修52020-2021学年高中数学 第三章 不等式 3.4.2 基本不等式的应用同步作业新人教a版必修5年级：姓名：基本不等式的应用(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若x0,则x+2有()a.最小值6b.最小值8c.最大值8d.最大值3【解析】选b.由x+22+2=8(当且仅当x=,即x=3时,取等号).2.已知f(x)=x+-2(x0),则f(x)有()a.最大值为0b.最小值为0c.最大值为-4d.最小值为-4【解析】选c.因为x0)的最小值是()a.2b.2-1c.2+1

2、d.2-2【解析】选b.因为x0,所以x+10,所以y=+x=+x+1-12-1,当且仅当=x+1,即x=-1时等号成立,所以y=(x0)的最小值是2-1.4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是()a. 6.5 mb. 6.8 mc. 7 md. 7.2 m【解析】选c.设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,所以ab=4,l=a+b+2+=4+26.828(m).因为要求够用且浪费最少,故选c.5.已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为()a.2b.4c.6d.8

3、【解析】选c.方法一:由已知xy=9-(x+3y),即3xy=27-3(x+3y),当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,令x+3y=t,则t0,且t2+12t-1080,得t6.即x+3y6.方法二:因为x+3y=9-xy2,所以()2+2-90,(+3)(-)0,00,xy0,当x+y=2时,不等式+4恒成立,则m的取值范围是()a.b.c.d.【解析】选b.因为m0,xy0,x+y=2,所以+=.因为不等式+4恒成立,所以4,整理得0,解得,即m2.7.(2019台州高一检测)若实数x,y满足x2y2+x2+y2=8,则x2+y2的取值范围为()a.b.c.d.【解析】选a.因为x

4、2y2,所以x2y2+x2+y2=8+(x2+y2)(x2=y2=2时取等号),(x2+y2-4)(x2+y2+8)0,所以x2+y24,又x2y20,所以x2+y28,所以x2+y24,8.二、填空题(每小题5分,共10分)8.关于x的不等式x2-ax+a+30在区间-2,0上恒成立,则实数a的取值范围是_.【解析】由题得a=(x-1)+2,因为-2x0,所以-3x-1-1,所以(x-1)+2=-+2-2+2=-2.当且仅当x=-1时取等号,所以a-2.答案:a-29.已知正数x,y满足x+2y=2,则的最小值为_.【解析】因为=+=(10+2)=9,当且仅当=,即x=,y=时取等号,所以的

5、最小值为9.答案:9三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知a0,b0,直线+=1经过点(1,2).(1)求ab的最小值.(2)求a+2b的最小值.【解析】因为直线+=1过点(1,2),所以+=1.(1)因为a0,b0,所以1=+2,当且仅当=,即a=2,b=4时取等号,从而ab8,即ab的最小值为8.(2)a+2b=(a+2b)=5+5+2=9,当且仅当=,即a=b=3时取等号,从而a+2b的最小值为9.11.(1)已知x0,求函数y=的最小值.(2)已知0x0)的最小值为9.(2)因为0x0.所以y=x(1-3x)=3x(1-3x)=.当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.所以

6、当x=时,函数取得最大值.12.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求:(1)仓库面积s的最大允许值是多少?(2)为使s达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?【解析】(1)设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,而顶部面积为s=xy,由已知,40x+245y+20xy=3 200,由基本不等式得32002+20xy=120+20xy=120+20s.所以s+6-1600,即(-10)(+16)0,所以10,从而s100,所以s的最大允许值是100平方

7、米,(2)取得最大值的条件是40x=90y且xy=100,求得x=15,即铁栅的长是15米.【补偿训练】一批货物随17列货车从a市以v千米/小时匀速直达b市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于千米,那么这批货物全部运到b市,最快需要_小时.【解析】设这批货物从a市全部运到b市的时间为t,则t=+2=8(小时),当且仅当=,即v=100时等号成立,此时t=8小时.答案:8(45分钟85分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知a0,b0,则+2的最小值是()a.2b.2c.4d.5【解析】选c.因为a0,b0,所以+22+24=4,当且仅当即a=b=1时,等号成立.

8、【误区警示】多次使用不等式,要注意等号是否同时取到.若等号不能同时取到,则代数式取不到最值.2.若实数x,y满足2x+2y=1,则x+y的最大值是()a.-4b.-2c.2d.4【解析】选b.由题得2x+2y2=2,(当且仅当x=y=-1时取等号)所以12,所以2x+y,所以2-22x+y,所以x+y-2.所以x+y的最大值为-2.【补偿训练】设x,y是满足2x+y=20的正数,则lg x+lg y的最大值是()a.1+lg 5b.2c.50d.1【解析】选a.根据基本不等式,2x+y2,解得xy50,所以xy的最大值是50,而lg x+lg y=lg(xy),所以原式的最大值是lg 50=1

9、+lg 5.3.若直线l:ax-by+2=0(a0,b0)过点(-1,2),当+取最小值时直线l的斜率为()a.2b.c.d.2【解析】选a.因为直线l过点(-1,2),所以-a-2b+2=0,即=1,所以+=4+=4,当且仅当=,即a=2b时取等号,所以斜率=2.4.(2019深圳高一检测)已知正实数x,y满足log2(x+7y)=0,则能使得不等式log2x+log2ym恒成立的整数m的最小值为()a.0b.-1c.-3d.-4【解析】选d.正实数x,y满足log2(x+7y)=0,所以x+7y=1,所以12,即:xy,当且仅当x=7,y=时取等号,则不等式log2x+log2ym恒成立,

10、化为:2m(xy)max,所以2m,所以能使得不等式log2x+log2ym恒成立的整数m的最小值为-4.5.设ab0,则a2+的最小值是()a.1b.2c.3d.4【解析】选d.a2+=a2+a2+4,当且仅当b=a-b且a2=,即a=,b=时等号都成立,故原式的最小值为4.二、填空题(每小题5分,共20分)6.若正数a,b满足a+b=1,则+的最小值为_.【解析】由a+b=1知+=,又ab=(当且仅当a=b=时等号成立),所以9ab+10,.答案:7.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量f(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,

11、单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为f=. (1)如果l=6.05,则最大车流量为_辆/小时.(2)如果l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时.【解析】(1)当l=6.05时,则f=1 900,当且仅当v=,即v=11(米/秒)时取等号.(2)当l=5时,则f=2 000,当且仅当v=,即v=10(米/秒)时取等号,此时最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.答案:(1)1 900(2)1008.若两个正实数x,y满足+=1,且存在这样的x,y使不等式x+m2+3m有解,则实数m的取值范围是_.【解析】因为不等式x+m2+3m有解,所以0,y0

12、,且+=1,所以x+=+22+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时取“=”,所以=4,故m2+3m4,即(m-1)(m+4)0,解得m1,所以实数m的取值范围是(-,-4)(1,+).答案:(-,-4)(1,+)9.已知关于x的不等式x2-5ax+2a20,故一元二次方程x2-5ax+2a2=0的判别式:=25a2-42a2=17a20,由根与系数的关系有:,则:x1+x2+=5a+=5a+2=,当且仅当5a=,a=时等号成立.综上可得:x1+x2+的最小值是.答案:三、解答题(每小题10分,共40分)10.已知ab0,求a2+的最小值.【解析】因为ab0,所以a-b0,a2+a2+=a2+

13、2=4,当且仅当b=a-b,a2=2,ab0,即a=,b=时取等号,所以a2+的最小值是4.11.已知lg(3x)+lg y=lg(x+y+1).(1)求xy的最小值.(2)求x+y的最小值.【解析】由lg(3x)+lg y=lg(x+y+1),得(1)因为x0,y0,所以3xy=x+y+12+1,3xy-2-10,即3()2-2-10,所以(3+1)(-1)0,1,xy1,当且仅当x=y=1时,等号成立.所以xy的最小值为1.(2)因为x0,y0,所以x+y+1=3xy3,3(x+y)2-4(x+y)-40,3(x+y)+2(x+y)-20,所以x+y2,当且仅当x=y=1时取等号,所以x+

14、y的最小值为2.12.(1)若x0,求函数y=x+的最小值,并求此时x的值.(2)设0x2,求x+的最小值.(4)已知x0,y0,且+=1,求x+y的最小值.【解析】(1)当x0时,x+2=4,当且仅当x=,即x2=4,x=2时取等号.所以函数y=x+(x0)在x=2时取得最小值4.(2)因为0x0,所以y=4x(3-2x)=22x(3-2x)2=.当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.因为.所以函数y=4x(3-2x)的最大值为.(3)因为x2,所以x-20,所以x+=x-2+22+2=6,当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立.所以x+的最小值为6.(4)方法一:因为x0,y0,+=

15、1,所以x+y=(x+y)=+106+10=16,当且仅当=,又+=1,即x=4,y=12时,上式取等号.故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.方法二:由+=1,得(x-1)(y-9)=9(定值).可知x1,y9,所以x+y=(x-1)+(y-9)+102+10=16,当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时上式取等号,故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.13.某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1 800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?(2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于210吨时,其价格可享受9折优惠(即原价的90%),问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.【解析】(1)设该厂每x天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为y元.所以购买面粉的费用为61 800x=10 800x元,保管等其他费用为3(6+12+6x)=9x(x+1).所以y=10 809+910 809+92=10 989.当x=,即x=10时,y有最小值10 989.所以该厂每10天购买一次面粉,才能使平均每天支付的总费用最少.(2)因为不少于210吨,每天用面粉6吨,所以至少每隔35天购