2012届高考数学难点突破复习-数列的概念

1、2012届高考数学难点突破复习：数列的概念音美班教学案1数列的概念一、基础知识1. 数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集1 , 2, 3,n的函数f(n).数 列的一般形式为a1, a2,，an，简记为an,其中an是数列an 的第项.2. 数列的通项公式一个数列an的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式 an= f(n)表 示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.3. 在数列an中，前n项和Sn与通项an的关系为：4. 求数列的通项公式的其它方法 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差 (公比)确定的方法. 观察归纳法：先观察哪些

2、因素随项数 n的变化而变化，哪些因素 不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳 法对归纳出的结果加以证明.递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化， 得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公 式二、典型例题 例1根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式. 1, 2, 6, 13, 23, 36,； 1, 1, 2, 2, 3, 3,变式训练1某数列an的前四项为0, 0,则以下各式： an= 1 + ( 1)n an= an=其中可作为an的通项公式的是()A .B .D . 例2已知数列an的前n项和Sn,求通项.(1) Sn=

3、3n 2 Sn= n2+ 3n+ 1变式训练2：已知数列an的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn1) = n,(n N*)，则数列an的通项公式为.例3根据下面数列an的首项和递推关系，探求其通项公式. a1= 1, an= 2an 1+ 1 (n 2) a1= 1, an= (n 2) a1= 1, an= (n 2)变式训练3已知数列an中，a1= 1, an+ 1= (n N*)，求该数列的通项公式.二、后练习1. (2009北京石景)已知数列an的前n项和Sn=n3,贝卩a3+ a6的值为()A . 91 B. 12. 218 D . 2792. 已知数列an对任意的p, q N*满足

4、ap+ q = ap+ aq,且a2= 6,那么a10等于()A . 16 B. 33 . 30 D . 213. 已知数列an的前n项和为Sn,且Sn= 2(an 1),则a2等于()A . 4B . 2 . 1D. 24. 已知数列an中，a1 = 20, an+ 1 = an+2n 1,则数列an的通项公式an=.根据下列条，求数列的通项公式 an(1) 在数列an中，a1= 1, an+ 1 = an+2n;在数列an中，an+ 1= n + 2nan, a1 = 4;在数列an中，a1= 3, an+ 1 = 2an 1;四、归纳小结1 .由Sn求an时，用公式an= Sn Sn 1

5、要注意n2这个条，a1应 由a1 = S1确定，最后看二者能否统一.2. 由递推公式求通项公式的常见形式有：an+ 1 an=f(n), = f(n), an+1 = pan+q,分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法). 音美班教学案2等差数列一、基础知识1. 等差数列的定义：=d (d为常数).2. 等差数列的通项公式： an=a1+ dan=a+ d3. 等差数列的前n项和公式：Sn=.4. 等差中项：如果a、b、成等差数列，贝卩b叫做a与的等差中项， 即b=.数列an是等差数列的两个重要结论： 数列an的通项公式可写成an=pn + q(p, q R) 数列an的前n项和公式可写成 S

6、n=an2+ bn (a, b R)6.等差数列an的两个重要性质：，n, p, q N*，若+ n = p+ q, 则. 数列an的前n项和为Sn, S2nSn, S3n S2n成 数列.二、典型例题例1在等差数列an中，(1) 已知 a1 = 10, a4= 90,求 a60;(2) 已知 S12= 84, S20= 460,求 S28;(3) 已知 a6= 10, S=，求 a8和 S8.变式训练1在等差数列an中，a= 3, a6= 2,贝S a4+a+ a10 例2等差数列an的前项和为30,前2项和为100,则它的前3项和为（）A. 130 B. 170 . 210 D. 260变

7、式训练2.两等差数列an、bn的前n项和的比，则 的值是（）A. B. D.例3在等差数列an中，a1 = 2, S9= S17,问此数列前几项的和最 大？例4已知数列an满足a1 = 2a, an= 2a（n2 .其中a是不为0的常数，令bn=. 求证：数列bn是等差数列.求数列an的通项公式.变式训练2已知公比为3的等比数列 与数列 满足，且，（1）判断是何种数列，并给出证明；（2）若，求数列的前n项和三. 后练习1（2009陕西，13）设等差数列an的前n项和为Sn,若a6=S3= 12,则an的通项 an=2（2009北京宣武）在等差数列an中，a1 + 2a8 + a1 = 96，则

8、2a9 a10=().20B. 223. 在等差数列an中，a3= 9, a9= 3,贝S a12=（）A . 0 B . 3 . 6 D . 34（2009北京朝阳）在等差数列an中，设Sn为其前n项和， 已知 a2aA 13,则 S4S等于（）A81 B40121 162 D7（2009海南海口）设an是公差为2的等差数列，如果a1 + a4 + a7= 0,则 a6+a9+ a12= （）A . 40 B . 30 . 20 D . 106（2010福建省六校联考试题）已知等差数列an的前n项和为Sn,a1 + a= 12S,且 a9=20，则 S11 = （ ）A . 260 B .

9、220 . 130 D . 110 7（2011 原创题）等差数列an中，Sn是其前n项和，a1 = 2010, S20072007 S200200= 2,则 S2010 的值为（ ）A . 2009 B . 2009 . 2010 D. 20108（2009全国I, 14）设等差数列an的前n项和为Sn若S9=72,贝卩 a2+a4+ a9=9 .若an是等差数列，首项 a1 0 , a2003 + a2004 0 , a2003a20040成立的最大自然数 n是四、归纳小结1 .欲证an为等差数列，最常见的做法是证明：an+ 1 an= d（d是 一个与n无关的常数）.2 . a1, d是

10、等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1, d,再求其他的量，但有时运算较繁.3. 高考中对性质的考察及等差数列基本公式考察较多，同学们要熟记。音美班教学案3等比数列一、基础知识1. 等比数列的定义：=q （q为不等于零的常数）.2. 等比数列的通项公式： an= alqn 1an= aqn3 .等比数列的前n项和公式：Sn=4. 等比中项：如果a, b,成等比数列，那么b叫做a与的等比中项， 即 b2=（或 b=）.等比数列an的几个重要性质：,n, p, q N*，若+ n= p+ q,贝S .Sn是等比数列an的前n项和且Sn0,则Sn, S2nSn, S3n S2n成数列. 若等比数

11、列an的前n项和Sn满足Sn是等差数列，则an的公 比q=.二、典型例题例1已知等比数列an , a2= 8, a= 12（1）求an的通项公式；令bn= lg2an,求数列bn的前n项和Sn变式训练1已知等比数列an前n项和Sn=2n 1 ,an2前n项和为Tn,求Tn的表达式例2 . （2009辽宁，6）设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3= 3,贝卩 S9S6=（）A . 2 B73 83 D. 3变式训练2 （2009全国H, 13）设等比数列an的前n项和为Sn 若 a1 = 1, S6= 4S3，贝卩 a4=例 3 已知等比数列an中，a1 + an= 66, a2an 1=

12、 128, Sn= 126, 求项数n和公比q的值.变式训练3已知等比数列an中，a1a9= 64, a3+ a7= 20, 则 a11 =例 4（2009陕西，21）已知数列an满足 a1 = 1, a2= 2, an+ 2=an+ an+ 12, n N*（1）令bn=an+ 1 an,证明：bn是等比数列；求an的通项公式.变式训练 4 在数列an中，a1=2, an+ 1 = 4 an3n+ 1, n N*（1）证明数列 an n是等比数列；求数列 an 的前n项和Sn;三、后练习1、（2009北京西城）若数列an是公比为4的等比数列，且a1 = 2,则 数列lg2an是（ ）A .公

13、差为2的等差数列B.公差为lg 2的等差 数列.公比为2的等比数列D .公比为lg 2的等比数列2、（2009河南实验中学）设各项都为正数的等比数列an中，若第五项与第六项的积为81 ,则Ig3a1 + lg3a2 + lg3a10的值是 （ ）A. B. 10. 20 D. 403、（2009河南六市）设各项均为实数的等比数列an的前n项和为Sn,若 S10=10, S30= 70,则 S40= （ ）A . 10 B. 200 . 10 或200 D . 400 或04、由正数组成的等比数列an中，a1 = 13, a2a4= 9,贝U a=SA四、归纳小结1 .在等比数列的求和公式中，当

14、公比 qzl时，适用公式Sn=;当q=1时，适用公式Sn= nal;若q的范围未确定时，应对q= 1和ql讨论求和.2. 在等比数列中，若公比q > 0且ql时，可以用指数函数的单 调性确定数列的最大项或最小项.3. 若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为x d, x, x + d,再依题意列出方程求x、d即可.4. al与q是等比数列an中最活跃的两个基本量.音美班教学案4等差数列和等比数列的综合应用一、基础知识1. 等差数列的常用性质：，n, p, r N*，若+n=p+r,则有.an是等差数列，则an （ N* ,为常数）

15、是 数列. Sn, S2nSn, S3n S2n 构成 数列.2. 在等差数列中，求Sn的最大（小）值，关键是找出某一项，使这一 项及它前面的项皆取正（负）值或0,而它后面的各项皆取负（正）值.a1> 0, d <0时，解不等式组 可解得Sn达到最 值时n的值.a1<0 , d>0时，解不等式组 可解得Sn达到最小值时n的值.3. 等比数列的常用性质：，n, p, r N*，若+n=p+r,则有.a n是等比数列，则a 、 是数列. 若 SnM0,则 Sn, S2nSn, S3n S2n 构成 数列.二、典型例题例1.已知等比数列an , a2= 8, a= 12(1)

16、求an的通项公式；令bn= Ig2an,求数列bn的前n项和Sn例2.已知实数列an是等比数列，其中a7= 1,且a4, a+ 1, a6成 等差数列.(1)求数列an的通项公式；数列an的前n项和记为Sn,证明：Snv 128(n= 1,2,3,).变式训练1已知MB中，三内角A、B、的度数成等差数列，边a、b、依次成等比数列.求证：KB是等边三角形.变式训练2若互不相等的实数、成等差数列，、成等比数 歹y,且，则二()A4 B2 -2 D-4例 3 数列an的前 n 项和 Sn,且 a1= 1, an+ 1 = Sn, n= 1,2,3求：a2、a3、a4的值及an的通项公式； a2+a4

17、+a6+ a2n 的值二、后练习1、（2010甘肃省会宁五中期中考试）等差数列an中，已知a+ a7= 10, Sn是数列an的前n项和，则S11 =（）A. 4 B. 0 . D. 602、 若a、b、是互不相等的实数，且a、b、成等差数列，、a、b成等 比数列，贝S a b等于（）A. （-2）:1： 4 B. 1: 2: 3 . 2: 3: 4 D. （ 1）: 1: 33、在MB中，tanA是第3项为一4,第7项为4的等差数列的公差，tanB是第3项为13,第6项为9的等比数列的公比，则MB是（）A .等腰三角形B .锐角三角形.直角三角形 D .钝角三角形4、 （2009重庆，）设a

18、n是公差不为0的等差数列，a1 = 2且 a1, a3, a6成等比数列，贝卩an的前n项和Sn=（）An24 + 7n4 Bn23+ n3 n22+ 3n4 D. n2+ n、（2010广东湛江高三月考试题）设MB的三内角 A、B、成 等差数列，sinA、sinB、sin成等比数列，则这个三角形的形状为（）A .等腰直角三角形 B .等边三角形.直角三角形 D .钝角三角形6、（2009浙江温州）已知等差数列an中，a3= 7，a6= 16， 将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：则此数阵中第 20行从左 到右的第10个数是.7 (2009安徽卷理)已知 为等差数列，+ + =10, =99

19、,以 表示 的 前项和，则使得达到最大值的是()A21 B20 19 D 18&已知a1 = 2,点(an, an+1)在函数f(x) = x2+ 2x的图象上，其中n=123,(1)证明数列lg(1 +an)是等比数列；设Tn = (1 + a1)(1 + a2)(1+ an),求Tn及数列an的通项.9、(2009辽宁，17)(本小题满分12分)等比数列an的前n项和为Sn已知S1, S3, S2成等差数列.(1)求an的公比q;若 a1 a3= 3,求 Sn四、归纳小结1. 在三个数成等差(或等比)时，可用等差(或等比)中项公式；在三个以上的数成等差(或等比)时，可用性质：、n、p、r

20、N*，若+ n=p+ r,贝卩 a+an=ap+a(或 aan= apar)进行解2. 若a、b、成等差(或等比)数列，则有 2b= a+ (或b2= a).3. 在涉及an与Sn相关式子中用Sn1和Sn的关系表示an时应该 注意“n这个特点.音美班教学案数列求和一、基础知识求数列的前n项和，一般有下列几种方法：1. 等差数列的前n项和公式：Sn=.2. 等比数列的前n项和公式： 当q= 1时，Sn=.当ql时，Sn=.3. 倒序相加法：将一个数列倒过排列与原数列相加.主要用于倒序 相加后对应项之和有公因子可提的数列求和.4. 错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构 成的数列

21、求和.裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列.二、典型例题例1已知数列：1,，求它的前n项的和Sn.变式训 练1数列前n项的和为 （）A. B. D.例2求Sn= 1 + + + 变式训练2：数列an的通项公式是an=，若前n项之和为10,则 项数n为()A. 11 B. 99 . 120 D. 121例3设等差数列an的前n项和为Sn,且Sn= , bn=an2n, 求数列bn的前n项和Tn .变式训练3设数列an的前n项和为Sn=2n2, bn为等比数列，且a1 = b1, b2(a2- a1)= b1 求数列an和bn通项公式.设n=，求数列n前n项和Tn .三、后练习1. 若数

22、列an的通项公式为an=2n + 2n 1,则数列an的前n项和 为()A. 2n+n2 1 B. 2n+ 1 + n2 1 . 2n+ 1 + n2 2 D. 2n+n 22. 数列 1,1 + 2,1 + 2 + 4,，1 + 2 + 22+ +2n 1,的前 n 项和Sn 1020，那么n的最小值是()A. 7 B . 8. 9 D . 103 .(教材改编题)1 4+ 9 16+ ( 1)n+1n2等于()An(n + 1)2 B. n(n+ 1)2 . ( 1)n+1n(n+ 1)2 D.以上答案均不对4. 给出集合序列,2,3 , 4,6 , 7,8,9,10,，设Sn是第n个集合

23、中元素之和，则S21为()A. 1113 B. 4641 . 082 D. 336.(2009黄冈综合测试)an为等差数列，若 a11a10< 1,且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n =()A. 11 B. 17 . 20 D. 216.在正项等比数列an中，a3a7= 4,则数列lg2an的前9项之和为7.已知数列an的前n项和Sn=2n1,贝卩a21 + a22 + a2n=& (热点预测题)设函数f(x) = x + ax的导数为f (x)2x + 1,则数列1f(n)(n N*)的前 n 项和为.9.已知数列an满足a1 = 76, Sn是an的前n项和，点

24、(2Sn+an, Sn+1)在 f(x) = 12x + 13 的图象上.(1)求数列an的通项公式；若n = (an 23)n, Tn为n的前n项和，n N*，求Tn四、归纳小结1 .求和的基本思想是 转化”.其一是转化为等差、等比数列的求和， 或者转化为求自然数的方幕和，从而可用基本求和公式；其二是消项， 把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和.2. 对通项中含有(1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇 偶性.3. 倒序相加和错位相减法是本中分别推导等差、等比数列前n项和 用到的方法，在复习中应给予重视.音美班教学案6数列极限一、基础知识1、 数列极限的定义：设是一个无穷数列，A是

25、一个常数，如果对于 预先给定的任意小的正数 ，总存在正整数N，使得只要正整数n N, 就有| -A| V召那么就说数列 以A为极限(或A是数列的极限)，记 作=A。2、数列极限的运算法则如果=A , =B，那么(1) ( ) =A 3; (2) ( )= =AB(3) (4)( ) = =A (为常数)极限运算法则中的各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的 情况，不能推广到无限个。在商的运算法则中，要注意对式子的恒等 变形，有些题目分母不能直接求极限。3、特殊数列的极限(1)=(为常数)(2) 0 (|a| 1或a=-1）=0（ 0的常数）（当二时）=0 （当v时不存在（当时）二、典型例题例1、求下列极限：（1）lin（1112M + + 1n（n+ 2）;lin2n23n2+2n;（3）li n tx +n3n n2 + 4n）变式练习（2008陕西卷13），则例2、. (2009东北四市一模)已知等差数列an的公差d>0 且a2, a满足a2+ a= 12, a2a= 27,数列bn的前n项和为Sn,且 Sn= 1