北师大版八年级(下)数学知识点归纳总结

1、八年级下册第一章三角形的证明第 1 节等腰三角形一、全等三角形的性质与判定1、全等三角形的性质定理 1全等三角形的对应边相等。定理 2全等三角形的对应角相等。推论 1全等三角形的面积相等。推论 2全等三角形的周长相等。2、全等三角形的判定公理 1两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）公理 2两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）公理 3三边对应相等的两个三角形全等（SSS）定理 1两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）定理 2斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（ HL ）二、等腰三角形的性质与判定1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等。 （等边

2、对等角 ）推论 1等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。（三线合一 ）推论 2 等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两个底角的平分线都相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等。【说明】 等腰直角三角形的两个底角相等且等于45 。 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，但顶角可为钝角或直角。 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，周长为C，则 b a C22 等腰三角形的三角关系：设顶角为 C，底角为 A、 B，则 C 180 2 A 180 2 B， A B 180A22、等腰三角形的判定定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。定理：有两个角相等的三角形是等

3、腰三角形。（等角对等边）三、等边三角形的性质与判定1、等边三角形的性质定理 1等边三角形的三条边都相等。定理 2等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60。推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对直角边等于斜边一半。2、等边三角形的判定定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。- 77 -四、反证法小明认为， 在一个三角形中，如果两个角不相等， 那么这两个角所对的边也不相等。你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？小明是这样想的：你能理解他的推理过程吗？小明在证明时，先假设命题

4、的结论不成立，然后由此推导出了与定义、基本事实、 已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法叫做反证法 。第 2 节直角三角形一、直角三角形的性质与判定1、直角三角形的性质定理 1：直角三角形的两个锐角互余。（角的特征）定理 2：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理）（边的特征）2、直角三角形的判定定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。定理 1：有两个角互余的三角形是直角三角形。定理 2：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。二、已知一条直角边和斜边作直角三角形1、尺规作图已知：如图1-2-16 所示，线段a

5、， c（ a c），直角 求作： Rt ABC ，使 C ， BC a， AB c作法：- 78 -2、直角三角形全等的判定定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（ HL ）三、互逆命题与互逆定理在两个命题中， 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。相对于逆命题来说，另一个命题就为原命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们称它们为互逆定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理。相对于逆定理来说，另一个命题就为原定理。第 3 节线段的垂直平分线一、线段的垂直平分线1、性质定理线段

6、垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、判定定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、三角形三条边的中垂线性质定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。二、已知底边及底边上的高作等腰三角形已知：如图1-3-11（ 1）所示，线段a、h求作： ABC ，使 AB AC ， BC a，高 AD h作法： 作线段 BC a； 作线段 BC 的垂直平分线MN 交 BC 于 D 点； 在 MN 上截取线段DA ，使 DA h； 连接 AB 、 AC ，则 ABC 就是所求作的三角形（如图1-3-11（ 2）所示）- 79 -三、过一点作已知

7、直线的垂线1、过直线上一点作已知直线的垂线已知：直线l 和 l 上一点 P，求作：直线l 的垂线，使它经过点P作法： 以点 P 为圆心，以任意长为半径作弧，交直线 l 于点 A 和点 B；作线段AB 的垂直平分线MN ，则直线MN垂直于直线l ，且经过点P。（如图 1-3-12 所示）2、过直线外一点作已知直线的垂线已知：直线l 和直线 l 外一点 P求作：直线l 的垂线，使它经过点P作法： 任取一点 K ，使点 K 与点 P 分居直线 l 的两侧； 以点 P 为圆心， PK 长为半径作弧， 交直线 l 于点A 和点 B ； 作线段 AB 的垂直平分线MN ，则直线MN 垂直于直线 l ，且经

8、过点P。（如图 1-3-13 所示）第 4 节角平分线一、角平分线1、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2、判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、三角形三个内角的平分线性质定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。【说明】列表比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三角形的分类三边垂直平分线三个内角平分线锐角三角形交于三角形内一点三角形直角三角形交于三角形外一点交于三角形内一点钝角三角形交于斜边的中点交点性质到三个顶点的距离相等到三条边的距离相等二、用尺规作一个角的平分线（回顾）已知： AOB求作：射线OC，使

9、 AOC BOC作法： 以点 O 为圆心， 以任意长为半径作弧，交 OA- 80 -于点 D，交 OB 于点 E ；分别以点D、 E 为圆心，以大于1 DE 的长为半径作弧，两弧在 AOB 的内2部交于点 P；过点 P 作射线 OC，则 AOC BOC ，即 OC 是 AOB 的平分线第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第 1 节不等关系一、不等式的概念一般地，用符号“” （或“”），“”（或“”）连接的式子叫做 不等式 。需要说明的是，用“”连接的式子也是 不等式 。【说明】“不大于”指的是“等于或小于”，通常用符号“ ”表示；“不小于”指的是“等于或大于”，通常用符号“”表示。二、不等式

10、的分类1、绝对不等式：在任何条件下都成立的不等式。如5 3， x2 0， |y| 1 等。2、矛盾不等式：在任何条件下都不成立的不等式。如2 3， a2 0 等。3、条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式。如x 2 0，当 x 2 时不等式成立；当 x 2 时不等式不成立。三、常见的不等式基本语言的含义1、若 x 0，则 x 是正数2、若 x 0，则 x 是负数3、若 x 0，则 x 是非负数4、若 x 0，则 x 是非正数5、若 x y 0，则 x 大于 y6、若 x y 0，则 x 小于 y7、若 x y 0，则 x 不小于 y8、若 x y 0，则 x 不大于 y9、若 xy 0（或

11、x 0），则 x、y 同号；10、若 xy 0（或 x 0），则 x、y 异号yy第 2 节不等式的基本性质一、不等式的基本性质1、文字叙述不等式的基本性质1不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。不等式的基本性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的基本性质3不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。2、字母表示不等式的基本性质1：如果 a b，那么 a c b c；如果 a b，那么 a c b c不等式的基本性质 2：如果 a b， c 0，那么 ac bc， a b c c如果 a b， c 0，那么 ac bc， a bcc-

12、81 -不等式的基本性质3：如果 a b， c 0，那么 ac bc， a bcc如果 a b， c 0，那么 ac bc， a bcc二、不等式的其他性质1、如果 a b，那么 b a；如果 ab，那么 b a（对称性）2、如果 a b，b c，那么 a c；如果 a b，b c，那么 a c；（传递性）3、如果 a b， c d，那么 a c b d；如果 a b， cd，那么 a c bd；4、如果 a b 0， c d0，那么 ac bd；如果 a b0， c d0，那么 ac bd；5、如果 a b0， c d0，那么 ac bd；如果 a b0， c d0，那么 ac bd；6、如

13、果 a b 0，那么 |a| |b|；如果 a b 0，那么 |a| |b|；7、如果 a b 0，那么8、如果 a b0，那么如果 a b 0，那么nna b （ n 为正整数）；nna b （ n 为正奇数）；nna b （ n 为正偶数）；三、不等式的三个基本性质与等式的两个基本性质比较1、相同点：不管是等式还是不等式，在它们的两边都加（或减）同一个数或同一个整式，结果仍然成立。2、不同点：对于等式来说，在等式的两边都乘（或除以）同一个正数（或负数），等式仍然成立；但对于不等式来说， 在不等式的两边都乘 （或除以） 同一个正数， 不等号的方向不变，而在不等式的两边都乘（或除以）同一个负数

14、，不等号要改变方向。第 3 节不等式的解集一、不等式的解能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。如， 6 是不等式 x 5 的解， 7，8，9，10 也是不等式x 5 的解。【说明】不等式的解可能是有限个，也可能是无限个，还可能不存在，即无解。例如，不等式 x2 0 的解只有一个为x 0，不等式x 21 的解有无数个，而不等式x4 0 无解。二、不等式的解集1、定义一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集 。例如， 不等式 x 1 5 的解集是 x 4，不等式 x2 0 的解集是x 0，不等式 x2 0 的解集是空集。2、表示方法（1）用不等式表示一般地， 一个含有未知数的不等式

15、有无数个解，它的解集是某个范围，这个范围可以用一个简单的不等式x a（ xa）或 xa（ xa）的形式表示出来。（ 2）用数轴表示在数轴上表示不等式的解集的步骤- 82 -A 、画数轴B 、定界点： 若解集包含“界点” ，则用实心圆点；若解集不包含“界点” ，则用空心圆圈。C、定方向：相对于“界点”而言，大于向右画，小于向左画。在数轴上表示不等式的解集的方法三、解不等式1、定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式。2、主要依据：不等式的基本性质第 4 节一元一次不等式一、一元一次不等式的概念不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做 一元一次不等式

16、 。二、解一元一次不等式的基本步骤步骤变形名称具体做法去分母在不等式两边同时乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号移项把含有未知数的项移到不等号左边，其他项移到不等号右边合并同类项把不等式化成ax b（a 0）或 ax b（ a 0）的形式将未知数的在方程两边同时除以未知数的系数a，得 x b 或 x b系数化为 1aa【说明】解一元一次不等式的注意事项（ 1）去分母时，不等号两边各项都要乘各分母最小公倍数，不要漏乘不带分母的项。（ 2）在步骤 和 中，如果乘数或除数是负数，要把不等号的方向改变。（ 3）在数轴上表示不等式的解集时，要注意不等号以及端点的情况。第 5

17、节一元一次不等式与一次函数一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的联系从“数”的角度看，求一元一次方程kx b 0 的解，相当于一次函数y kx b，当 y0 时，求自变量 x 的值；求一元一次不等式 kx b 0 的解集， 相当于一次函数 y kx b，当 y 0 时，求自变量 x 的取值范围； 求一元一次不等式 kx b 0 的解集， 相当于一次函数y kx b，当 y 0 时，求自变量x 的取值范围。从“形”的角度看，求一元一次方程kx b 0 的解，相当于确定直线y kx b 与 x轴交点的横坐标； 求一元一次不等式kx b0 的解集，相当于确定直线y kx b 在 x 轴上方

18、时的自变量x 的取值范围；求一元一次不等式kx b 0 的解集，相当于确定直线y kxb 在 x 轴下方时的自变量x 的取值范围。二、利用图象法解一元一次不等式- 83 -1、用图象法解不等式： 2x 3 3x 72、归纳总结在同一直角坐标系画出一次函数y1 k1xb1 与 y2 k2xb2 的图象， 交点的横坐标就是一元一次方程的k1x b1k2x b2 解； y1 y2 的部分所对应的自变量x 的取值范围就是一元一次不等式 k1x b1 k2x b2的解集； y1 y2 的部分所对应的自变量x 的取值范围就是一元一次不等式 k1x b1 k2x b2 的解集。三、一元一次不等式的应用【例】

19、 我校打算在“五一” 期间组织党员和教研组长到南戴河去旅游，参加旅游的人数估计为 10 25 人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200 元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠。如果你是校长，你会选择哪一家旅行社呢？解：设此次参加旅游的人数是x 人，选择甲旅行社时，所需费用为y1 元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2 元，根据题意得11y2000.75x，即 y 150xy2 2000.8（ x 1），即 y2 160x 160当 y1 y2 时， 150x160x 160，解得 x 16；当 y1 y2 时，

20、 150x160x 160，解得 x 16；当 y1 y2 时， 150x160x 160，解得 x 16。因为参加旅游的人数为 10 25 人，所以当 x16 时，甲乙两家旅行社的收费相同；当 10x15 时，选择乙旅行社；- 84 -当 17x25 时，选择甲旅行社。第 6 节一元一次不等式组一、一元一次不等式组一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一个 一元一次不等式组。【说明】（ 1）不等式组中的所有的不等式必须都是一元一次不等式。（ 2）不等式组中的所有的一元一次不等式都只含有同一个未知数。（ 3）不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上。二、一元一次不等式

21、组的解集1、概念一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等组的解集。2、表示方法确定一个不等式组的解集的方法是先将几个不等式的解集在同一个数轴上表示出来， 然后再找出它们的公共部分。三、解不等式组1、概念求解不等式组解集的过程，叫做解不等式组 。2、例题解：（ 1）解不等式 ，得 x2（2）解不等式 ，得 x3解不等式 ，得 x2解不等式 ，得 x3- 85 -在同一条数轴上表示不等在同一条数轴上表示不等式 的解集为：式的解集为：所以，原不等式组的解集无解。所以，原不等式组的解集为x 3四、一元一次不等式组的应用【例】某高一新生中有若干住宿生，分若干间宿舍。若每间住4

22、人，则有21 人无处住；若每间住 7 人，则还有1 间没住满。求住宿生的人数。解：设有宿舍x 间，则住宿生人数为（4x 21）人，根据题意得解这个不等式组，得7 x 9 13因为房间数只能取正整数，所以x 只能取 8 或 9当 x8 时， 4x21 53；当 x9 时， 4x21 57答：住宿生的人数为53 人或 57 人。第三章图形的平移与旋转第 1 节图形的平移一、平移的相关概念1、平移的定义在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。2、平移的条件（ 1）方向（任意方向）（ 2）距离3、平移的实质图形上的每一个点都沿着同一个方向移动了相同的距离。4、平移的性质平

23、移改变了图形的位置， 但不改变图形的形状和大小。 这说明平移前后的两个图形是全等的，因此得到了如下性质：（ 1）平移前后的两个图形对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。（ 2）平移前后的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。（ 3）平移前后的两个图形对应角相等。二、平移作图- 86 -1、平移作图的类型（1）已知原图和一对对应点，作平移后的图形。【例 1】如图 1 所示，经过平移， ABC 的顶点 A 移到了点D。 指出平移方向和平移的距离。 画出平移后的三角形。解：如图2 所示，连接AD ，平移的方向是点A 到点 D 的方向，平移的距离是线段AD的长度。如图 2 所示，过

24、点B 、 C 分别作线段BE 、 CF ，使他们与线段AD 平行且相等，连接 DE 、DF 、 EF ，则 DEF 就是 ABC 平移后的图形。（ 2）已知原图和一对对应边，作平移后的图形。【例 2】如图 1 所示，经过平移， ABC 的边 AB 移到了 EF ，画出平移后的三角形。解：如图2 所示，连接AE 、 BF ，过 C 点作线段CG BF ，且 CG BF ，连接 FG 、 EG ，则 EFG 就是 ABC 平移后的图形。（3）已知原图和平移方向、平移距离，作平移后的图形。【例 3】如图 1 所示，将 ABC 按箭头所示方向平移4cm，画出平移后的图形。 （保留作图痕迹，不必写作法）

25、解：如图2 所示， DEF 就是 ABC 平移后的图形。- 87 -2、平移作图的条件（1）图形原来的位置（2）平移的方向（3）平移的距离三、坐标系中的平移1、一个图形沿 x 轴方向平移或沿y 轴方向平移（1）图形的平移引起坐标的变化坐标系中原图形的坐标平移方向平移距离向右沿 x 轴方向a 个单位长度（x， y）向左向上（ a 0）沿 y 轴方向向下对应点的坐标（ xa， y）（ xa， y）（ x，y a）（ x，y a）【说明】左右平移纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移横坐标不变，纵坐标上加下减。（2）坐标的变化引起图形的变化纵坐标不变，横坐标分别增加（或减少）a 时，图形向右（或向左）

26、平移a 个单位；横坐标不变，纵坐标分别增加（或减少）a 时，图形向上（或向下）平移a 个单位。2、一个图形依次沿x 轴方向、 y 轴方向平移（1）图形的平移引起坐标的变化原图形的坐标平移方向与平移距离向右平移 a 个单位长度，向上平移（x， y）向右平移 a 个单位长度，向下平移向左平移 a 个单位长度，向上平移向左平移 a 个单位长度，向下平移b 个单位长度b 个单位长度b 个单位长度b 个单位长度对应点的坐标（ xa， yb）（ xa， yb）（ xa， yb）（ xa， yb）【说明】一个图形依次沿x 轴方向、 y 轴方向平移后所得的图形，可以看作是由原图形经过一次平移得到的。平移的距离

27、等于向x 轴、 y 轴平移距离的平方和的算术平方根。平移的方向是起始位置到终止位置时每对对应点的方向。（ 2）坐标的变化引起图形的变化横坐标增加 a，纵坐标增加横坐标增加 a，纵坐标减少横坐标减少 a，纵坐标增加横坐标减少 a，纵坐标减少b 时，图形先向右平移b 时，图形先向右平移b 时，图形先向左平移b 时，图形先向左平移a 个单位，再向上平移b 个单位。a 个单位，再向下平移b 个单位。a 个单位，再向上平移b 个单位。a 个单位，再向下平移b 个单位。- 88 -第 2 节图形的旋转一、旋转的相关概念1、旋转的定义在平面内， 将一个图形绕着某一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动

28、称为旋转 （ rotation ）。2、旋转的三要素（ 1）旋转中心：旋转时的定点称为旋转中心。（ 2）旋转方向：顺时针、逆时针（ 3）旋转角：转动的角称为旋转角。【说明】 如图 1 所示， ABO 绕点 O 顺时针旋转得到 CDO ，则：点 A 的对应点是点C ，点 B 的对应点是点D ；线段 OA 的对应线段是线段OC ；线段 OB 的对应线段是线段OD ；线段 AB 的对应线段是线段CD ； A 的对应角是 C ； B 的对应角是 D ； AOB 的对应角是COD；旋转中心是点O；旋转的角是 AOC 或 BOD 。如图 2 所示， ABC 绕点 O 顺时针旋转得到 DEF ，则：点 A

29、的对应点是点 D ，点 B 的对应点是点 E ；点 C 的对应点是点 F ；线段 AB 的对应线段是线段DE ；线段 BC 的对应线段是线段EF；线段 AC 的对应线段是线段DF ； A 的对应角是 D ； B 的对应角是 E ； C 的对应角是 F ；- 89 -旋转中心是 点 O；旋转的角是 AOD 或 BOE 或 COF 。旋转中心在旋转过程中保持不动，旋转中心可以在图形上，可以在图形外，还可以在图形内。旋转角的角度范围为0 x 360 。3、旋转的实质图形上的每一个点都绕着旋转中心沿相同方向旋转了相同的角度。4、旋转的性质旋转改变了图形的位置， 但不改变图形的形状和大小， 这说明旋转前

30、后的两个图形是全等的，因此得到如下性质：（ 1）对应点到旋转中心的距离相等。（ 2）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，它们都相等。（ 3）对应线段相等，对应角相等。二、旋转作图1、旋转作图的类型（1）已知原图、旋转中心和一对对应点，作旋转后的图形。【例 1】如图 1 所示， ABC 绕 O 点按逆时针方向旋转后，顶点A 旋转到了点D ，试确定旋转后的三角形。【例 2】如图 1 所示， ABC 绕 O 点按逆时针方向旋转后，AC 边旋转到了DE 的位置，试确定旋转后的三角形。- 90 -（3）已知原图、旋转中心、旋转方向和旋转角，作旋转后的图形。【例 3】已知如图1 所示， AB

31、C 和旋转中心O，请作出 ABC 绕点 O 顺时针旋转60 后的三角形 A B C2、旋转作图的条件（1）原图形的位置（ 2）旋转中心（ 3）旋转方向（ 4）旋转角度三、钟表的旋转1、秒针匀速旋转一周需要1 分钟，恰好转过360 ，即每分钟转过360 ；2、分钟匀速旋转一周需要60 分钟，恰好转过360 ，即每分钟转过6；3、时针匀速旋转一大格需要60 分钟，恰好转过30，即每分钟转过0.5 。第 3 节中心对称一、中心对称1、中心对称的概念如果把一个图形绕着某一点旋转 180，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做它们的对称中心。【说明】中心对称是对两

32、个图形来说的，它表示两个图形之间的对称关系。- 91 -2、中心对称的性质因为成中心对称的两个图形能够重合，所以这两个图形是全等的，因此有如下性质：（ 1）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。（ 2）成中心对称的两个图形中，对应线段平行（或在一条直线上）且相等。（ 3）成中心对称的两个图形中，对应角相等。3、确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法（ 1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，这个中点即为对称中心。（ 2）连接任意两对对称点，两条线段的交点即为对称中心。二、中心对称图形1、中心对称图形的概念把一个图形绕着某个点旋转 180，如果旋转后的图形能与

33、原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。【说明】中心对称图形是对一个图形来的说的。2、中心对称图形的性质（ 1）中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。（ 2）任何一条经过对称中心的直线都把一个中心对称图形分成全等的两部分。3、作中心对称图形的步骤（ 1）确定对称中心（ 2）找出所给图形中的关键点（ 3）作出这些关键点关于对称中心的对称点（ 4）按原图顺序连接所作的对称点，完成中心对称图形。三、旋转对称图形1、旋转对称图形的概念把一个图形绕着某个点旋转一定角度后， 如果旋转后的图形能与原来的图形重合， 那么这个图形叫做旋转对称图形。这个点叫做它的

34、对称中心。旋转的角度叫做旋转角。【说明】（ 1）一个旋转对称图形旋转后与自身重合，旋转的角度不一定是唯一的。如圆绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合。（2）旋转对称图形不一定是中心对称图形，但中心对称图形一定是旋转对称图形。2、旋转对称图形的性质（ 1）旋转对称图形上的每一对对应点到对称中心的距离都相等。（ 2）任意相邻的对应点与对称中心所连线段的夹角都相等。第 4 节简单的图案设计一、欣赏图案1、从美观的角度来欣赏体会图形的艺术美及其蕴涵的设计意义。- 92 -2、从数学的角度观察与思考把图案分解成一些简单的图案，如三角形、圆、线段、多边形等，再看它们经过怎样的图形变换可得到原图案。【例 1】

35、欣赏图1 中的图案，并分析这个图案形成的过程。二、图案的设计1、依据：轴对称、平移、旋转、中心对称2、步骤（1）整体构思图案的设计要突出“主题” ，即设计图案的意图，要求简捷、自然、别致。确定整幅图案的形状和“基本图案” 。构思图案的形成过程：首先构思该图案由哪几部分构成，再构思如何运用平移、旋转、对称等方法实现由“基本图案”到各部分图案的组合，并作出草图。（2）具体作图根据草图， 运用尺规作图的方法准确地作出图案， 有条件的可用几何画板或用专业的画图软件在电脑上绘制出满意的图案。（3）对图案进行适当的修饰，如着色等。【例 2】如图 2 所示，用给定的几种图形设计图案。要求设计的图案至少要能体

36、现平移、旋转或轴对称的关系，并简单说明图案所表示的含义。解：如下图所示， 既体现平移关系，又能体现轴对称关系； 反映轴对称关系；体现的是旋转关系。第四章因式分解第 1 节因式分解- 93 -一、因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。【说明】（ 1）因式分解的对象必须是多项式，即只有多项式才有可能因式分解。（ 2）因式分解的结果要用几个整式的积的形式表示。如a2 b2 1 (a b)(a b)1是恒等变形，而不是因式分解。又如x2 x x2(11)也不是因式分解，因为1x1不是整式，而是分式。x（3）因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。如a4 b4 (a

37、2 b2)(a2b2)就没分解完毕，因为 a2 b2 还能再分解，正确应为a4 b4 (a2b2) (a b)(a b)二、因式分解与整式乘法的关系（互逆）【说明】（ 1）积化和差是乘法，整式乘法是运算；和差化积是分解，因式分解非运算。（ 2）利用整式乘法可以检验因式分解的结果是否正确。第 2 节提公因式法一、公因式1、公因式的概念多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。【说明】（ 1）公因式可以是数字，可以是字母，也可以是单项式和多项式。（ 2）公因式与各项的符号没有关系。2、公因式的确定（1）确定公因式的数字因数。当多项式各项系数是整数时，各项系数的最大公约数就是公因式的系

38、数。（2）确定公因式的字母及其指数。公因式的字母应是多项式各项都含有的字母，其指数应取各项中最低的。二、提公因式法1、提公因式法的概念如果一个多项式的各项含有公因式， 那么就可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。2、提公因式法的步骤（ 1）确定多项式各项的公因式。（ 2）用多项式的各项分别去除以公因式，所得的商作为另一个因式的各项。（ 3）把多项式写成公因式与另一个因式的积的形式。- 94 -【说明】 多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项。多项式的某项与公因式相同时，提公因式后该项保留因式是1 而不是 0。3、提公因式法与单项式乘

39、以多项式的关系第 3 节公式法一、公式法的概念根据因式分解与整式乘法的关系， 我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解， 这种因式分解的方法叫做公式法。二、因式分解中的公式内容1、平方差公式（ 1）字母表示： a2b2 (ab)(a b)（ 2）文字表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，2、完全平方公式（ 1）字母表示： a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a22ab b2 (ab) 2（2）文字表述：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。三、公式的运用1、平方差公式：系数能开方，指数要成双，减号

40、在中央2、完全平方公式：首平方，尾平方，积的2 倍加（减）在中央。第 4 节其他方法因式分解一、分组法因式分解【例 1】 a3 3a2 3a 2方法： a3 3a2 3a 2方法： a3 3a2 3a 2 a3 2a2 a2 2a a 2a3 2a2 a2 2a a 2 a2(a 2) a(a 2) (a2) (a3 a2 a) (2a2 2a 2) (a 2)(a2 a 1) a(a2 a 1) 2(a2 a 1)(a 2)(a2 a1)二、十字相乘法因式分解【例 2】 x2 10x 21 x2 5x 6 (1 1) x2 (3 7)x 3 7 (1 1) x2 ( 2) ( 3) x (

41、2) ( 3) (x 3)(x 7) (x 2)(x 3)m2 5m 14m2 4m 12 (1 1) m2 ( 2 7)m ( 2) 7 (1 1) m2 ( 6 2)m ( 6) 2 (m 2)( m 7) (m 6)(m 2)- 95 -三、换元法因式分解【例 3】 (x2 5x 6)(x2 7x 6) 3x2方法：令 x2 5x 6m，则方法：令 x2 6 m，则原式 m(m 2x) 3x2原式 (m 5x)( m 7x) 3x2 m2 2mx 3x2 m2 12mx 32x2 (m x)( m 3x) (m 4x)( m 8x) (x2 5x 6 x)(x2 5x 6 3x) (x2

42、 4x 6)( x2 8x 6) (x2 4x 6)( x2 8x 6)四、配方法因式分解【例 4】 a5 a 1 m4 4 a5 a2 a2 a 1 m4 4 4m2 4m2 a2(a3 1) (a2 a 1) (m4 4m2 4) 4m2 a2( a 1)(a2 a 1) (a2 a 1) (m2 2)2 (2m)2 (a3 a2)( a2 a 1) (a2 a 1) (m2 2m 2)(m2 2m 2) (a2 a 1)(a3 a2 1)【说明】 立方差公式 ： a3b3 (ab) (a2 ab b2) 立方和公式 ： a3b3 (ab) (a2abb2) 完全立方公式 ： (ab)3a3 3a2b 3ab2 b3(a b)3 a33a22b3b3ab五、拆项法因式分解【例 5】 x3 9x2 26x 24 x3 2x 3 x3 2x2 7x2 14x 12x 24 x3 x 3x 3 (x3 2x2) (7x2 14x) (12x 24) (x3 x) (3x 3)