探索三角形相似的条件--知识讲解(提高)

1、探索三角形相似的条件（提高）知识讲解责编：常春芳【学习目标】1. 掌握平行线分线段成比例定理以及和三角形一边平行的判定定理，并会灵活应用;2. 探索三角形相似的条件，掌握三角形相似的判定方法；3. 了解三角形的重心，并能从相似的角度去进行相关的证明.【要点梳理】要点一、平行线分线段成比例定理1. 平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例如图：11/ 12 13,直线a、b分别与h、I2、b交于点A、B、C和点D E、F、，则有ABAC(3)BCACEF成立.DEliaD AI2liI2I3b即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是 平行线分线段成比例定理是平

2、行线等分线段定理的推要点诠释：当两线段的比是1时， 平行线分线段成比例定理特殊情况， 广.2. 平行于三角形一边的直线的性质平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似 要点诠释：有时也把他叫做判定两个三角这条定理也可以作为判定两个三角形相似的判定定理， 形相似的预备定理.要点二、相似三角形的判定定理【高清课程名称：相似三角形的判定（1） 高清ID号：394497关联的位置名称：相似三角形的判定】 1 .判定方法（一）：两角分别相等的两个三角形相似 . 要点诠释：对于直要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可， 角三角形而言，若有一个锐角对应相等

3、，那么这两个三角形相似2. 判定方法（二）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似 要点诠释：应用时必须注意这个角此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似， 必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.3. 判定方法（三）：三边成比例的两个三角形相似 . 要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、三角形的重心三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心r【典型例题】类型一、平行线分线段成比例定理4 z 1.如图，在ABC, DG / EC, EG / BC,求证：AE = AB ”AD【答案与解析】证明： DG/ EC,.AD AG AE AC/ EG/ BC,AE AGA

4、B ACAD AE疋即 AE? = AB ”AD .【总结升华】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键.举一反三:【变式】如图，直线A. 23【答案】【解析】ABB.32C. 6则EF的值为(I 1 / l 26)2 / I 3 ,2.如图，AD是 ABC的中线，P是AD上任意一点，CP BP的延长线分别交 AB AC于 E、D两点，连接EF.求证：EF/ BC.【思路点拨】构造平行线，利用平行线所截得的对应线段成比例来证明【答案与解析】 延长PD到M使DM=PD连接BM CM,/ AD ABC的中线, BD=CD,/ DM=PD四边形BPCM是

5、平行四边形. BP/ CM,即 PF/ MC AF AP AC am， 同理竺=竺AB AMAE AF AB aC DE/ BC.【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，反过来如果一条直线截三角形的两边（或两 边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.类型二、相似三角形的判定【高清课程名称：相似三角形的判定（1） 高清ID号：394497关联的位置名称（播放点名称）：练习4】 尸3. （2015?柳州）如图，矩形 EFGH内接于 ABC，且边FG落在BC上.若BC=3 , AD=2 , EF=%EH，那么EH的长为多少？0设EH=3x ,表示出EF ,由AD - E

6、F表示出三角形 AEH的边EH上的高，根据 与三角形ABC相似，禾U用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的【思路点拨】三角形AEH值，即为EH的长.【答案与解析】解：四边形EFGH是矩形， EH / BC , AEH sA ABC ,/ AM 丄 EH , AD 丄 BC ,.型卫设 EH=3x，则有 EF=2x , AM=AD - EF=2 - 2x, 2-2 黑 _3k2 T，解得：x=W,乙3则 EH=.2故答案为：32M为AB的中点，在线段 AC上取点N，使AAMN与ABC相似，求MN的长.AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长；作/ ANM= / B，利用相似可得 M

7、N的长.【答案与解析】 解：图1,作MN / BC交AC于点N，则 AMNABC ,有理卫而氓， M 为 AB 中点，AB/b, AM= ,/ BC=6 , MN=3 ;图 2，作/ ANM= / B,贝U ANMABC ,有理卫丘氓， M为AB中点，AB=刘运, - AM=, BC=6 , AC=虢, mn=23 .2 MN的长为S 1解题的关键【总结升华】本题主要考查相似三角形的作图和相似三角形的判定以及存在性， 是注意相似作图及解答有多种情况.举一反三：【变式】（2015?大庆模拟）如图， ABC中，AB=5 , BC=3, CA=4 , D为AB的中点，过 点D的直线与BC交于点E,若直线DE截ABC所得的三角形与 ABC相似，则DE= bd=2ab=5,2 2/ DBE= / ABC ,当/ DBE= / ACB时， BDE BAC时，如图1,则更=昱，即匹，解得DE=2 ;AC BA 45图1当/ BDE= / ACB