2020-2020学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：第5章 5.4.2 第2课时　单调性与最值 Word版含解析

1、第2课时单调性与最值学 习 目 标核 心 素 养1.掌握ysin x，ycos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值(重点、难点)2.掌握ysin x，ycos x的单调性，并能利用单调性比较大小(重点)3.会求函数yasin(x)及yacos(x)的单调区间(重点、易混点)1.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养.2.结合函数图象，培养直观想象素养.过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，该运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理如果能亲身体验一下过山车那感觉真是妙不可言一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径问题

2、：(1)函数ysin x与ycos x也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这是ysin x，ycos x的哪些性质？(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应ysin x，ycos x的哪些性质？ysin x，ycos x在什么位置取得最大(小)值？提示：(1)单调性；(2)最值，波峰，波谷解析式ysin xycos x图象值域1,11,1单调性在2k，kz上单调递增，在2k，kz上单调递减在2k，2k，kz上单调递增，在2k，2k，kz上单调递减最值x2k，kz时，ymax1；x2k，kz时，ymin1x2k，kz时，ymax1；x2k，kz时，ymin1思考：ysin x和

3、ycos x在区间(m，n)(其中0mn2)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m，n.1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)ysin x在(0，)上是增函数()(2)cos 1cos 2cos 3.()(3)函数ysin x，x的最大值为0.()提示(1)错误ysin x在上是增函数，在上是减函数(2)正确ycos x在(0，)上是减函数，且0123，所以cos 1cos 2cos 3.(3)正确函数ysin x在x上为减函数，故当x0时，取最大值0.答案(1)(2)(3)2函数ycos x在区间上是()a增函数b减函数c先减后增函数

4、 d先增后减函数c因为ycos x在区间上先增后减，所以ycos x在区间上先减后增3函数ysin x的值域为 因为x，所以sin x1，即所求的值域为.4函数y2sin x取得最大值时x的取值集合为 当sin x1时，ymax2(1)3，此时x2k，kz.正弦函数、余弦函数的单调性【例1】(1)函数ycos x在区间，a上为增函数，则a的取值范围是 (2)已知函数f(x)sin1，求函数f(x)的单调递增区间思路点拨(1)确定a的范围ycos x在区间，a上为增函数ycos x在区间，0上是增函数，在区间0，上是减函数a的范围(2)确定增区间令u2xysin u的单调递增区间(1)(，0因为

5、ycos x在，0上是增函数，在0，上是减函数，所以只有a0时满足条件，故a(，0(2)解令u2x，函数ysin u的单调递增区间为，kz，由2k2x2k，kz，得kxk，kz.所以函数f(x)sin1的单调递增区间是，kz.1求形如yasin(x)b或形如yacos(x)b(其中a0，0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得2具体求解时注意两点：要把x看作一个整体，若0，0时，将“x”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当a0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间提醒：复合函数的单调性遵循“同增

6、异减”的规律1(1)函数ysin，x的单调递减区间为 (2)已知函数ycos，则它的单调减区间为 (1)，(2)(kz)(1)由2k3x2k(kz)，得x(kz)又x，所以函数ysin，x的单调递减区间为，.(2)ycoscos，由2k2x2k，kz，得kxk，kz，单调递减区间是(kz)利用三角函数的单调性比较大小【例2】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin与sin；(2)sin 196与cos 156；(3)cos与cos.思路点拨解(1)，sinsin.(2)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66，01

7、66690，sin 16sin 66，从而sin 16sin 66，即sin 196cos 156.(3)coscoscoscos，coscoscoscos.0，且ycos x在0，上是减函数，coscos，即coscos.三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到，0或0，内.(2)不同名的函数化为同名的函数.(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.2(1)已知，为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是()asin sin bcos sin ccos cos dcos

8、 cos (2)比较下列各组数的大小：cos，cos；cos 1，sin 1.(1)b，为锐角三角形的两个内角，所以cos cossin .(2)解coscos，coscos，因为0，而ycos x在0，上单调递减，所以coscos，即coscos.因为cos 1sin，而011且ysin x在上单调递增，所以sinsin 1，即cos 1sin 1.正弦函数、余弦函数的最值问题探究问题1函数ysin在x0，上最小值是多少？提示：因为x0，所以x，由正弦函数图象可知函数的最小值为.2函数yasin xb，xr的最大值一定是ab吗？提示：不是因为a0时最大值为ab，若a0时最大值应为ab.【例3

9、】(1)函数ycos2x2sin x2，xr的值域为 (2)已知函数f(x)asinb(a0)当x时，f(x)的最大值为，最小值是2，求a和b的值思路点拨(1)先用平方关系转化，即cos2x1sin2x，再将sin x看作整体，转化为二次函数的值域问题(2)先由x求2x的取值范围，再求的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解(1)4,0ycos2x2sin x2sin2x2sin x1(sin x1)2.因为1sin x1，所以4y0，所以函数ycos2x2sin x2，xr的值域为4,0(2)解0x，2x，sin1，f(x)maxab，f(x)minab2.由得1求本例

10、(1)中函数取得最小值时x的取值集合解因为ycos2x2sin x2sin2x2sin x1(sin x1)2，所以当sin x1时，ymin4，此时x的取值集合为.2将本例(1)中函数改为ycos2xsin x，xr结果又如何？解ycos2xsin x1sin2xsin x2.因为1sin x1，所以1y，所以函数ycos2xsin x，xr的值域为.三角函数最值问题的常见类型及求解方法：(1)yasin2xbsin xc(a0)，利用换元思想设tsin x，转化为二次函数yat2btc求最值，t的范围需要根据定义域来确定.(2)yasin(x)b，可先由定义域求得x的范围，然后求得sin(

11、x)的范围，最后得最值.1理解2个知识点三角函数的单调性、最值(1)确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行(2)函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进行变形2掌握3种方法(1)求函数yasin(x)(a0，0)单调区间的方法把x看成一个整体，由2kx2k(kz)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kx2k(kz)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间若0，先利用诱导公式把转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应

12、的单调区间(2)比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断(3)求三角函数值域或最值的常用方法：将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围3规避2个误区(1)单调区间漏写kz；(2)求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围限制1y2cos x2的值域是()a2,2b0,2c2,0 dra因为xr，所以x20，所以y2cos x22,22下列函数中，在区间上恒正且是增函数的是()aysin x bycos xcysin x dycos xd作出四个函数的图象，知ysin x，ycos x在上单调递减，不符合；而ysin x的图象虽满足在上单调递增但其值为负，所以只有d符合，故选d.3若cos xm1有意义，则m的取值范围是