第8章微分方程

1、高等数学练习题第十二章系微分方程专业姓名学号一.选择题1.微分方程(A) 22.微分方程第一节微分方程的基本概念34xyy +x(y) -y y =0 的阶是(B) 3y-2y =0的通解是2x(A) y =Csin 2x(B) y =4e3.下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是(A) xsin(xy)dx +ydy = 0(C) dy=xsiny dxdx dy4微分方程一+丄y x(A) 3x +4y = 7二.填空题1 .微分方程xyy = 1第二节可分离变量的微分方程(C) 4(D) 5(C)(B)(D)Ce2x= Cex=0满足yx* =4的特解是(B) x2 +y2 =252

2、 2(C) x -y =25(D)2y -xx2的通解是y2 =2ln x-x2 +c=7dy3七2 .微分方程dx+ez=0满足y X出=0的特解是3eT =3ex -2ds3. dTYi1三的通解是-t2larcsins = arcsint +C55三.计算题dx1. cos ydx +(1 + ejsinydy =0解：原方程可化为tan ydy = - x1 +e积分，得lncoyB= I n弋df + ) Cl=2的特解故，方程的通解为cos = c (卅e2求微分方程ydx +x2dy -4dy = 0 ,满足解：原方程可化为也dxy x2 -4x + 212 +丄1代4y4 =C

3、(今X 21 积分得 lny= In4 x-2心=2时，C罟方程的满足条件的特解为16X + 2)3(x- 2)3质量为1克的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反 比。在t =10秒时，速度等于50cm/秒，外力为4克厘米/秒 2，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?t0=4 gcm/s2 ,解：由题意，外力F=k丄,v(10)= 5o cm/s ,FV故方程的特解为V = J20t2 +50010代入得 4 = k , 即 k = 20,F =20t50vL. dvdv20t又 F = ma =1 所以微分万程5dtdtv2 2所以v =20t +C由初始条

4、件vt #0 = 50，代入得 C = 500在将t =60代入上式，得 V =2 6 9 3(cm/2s )4一曲线通过(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程。解：设曲线上任一点为 M (X, y)，则以该点为切点的切线在 x轴，y轴上的截距，依题意应为2x与2y,设切线倾角为a，则tan(兀-a)=, tana =2xX即史一 ydx X解方程得 X y = C把y( 2) = 3代入，得C = 6故所求的曲线方程为xy=6高等数学练习题第十二章微分方程专业姓名学号第三节齐次方程第四节一阶线性微分方程一.填空题1.下列各微分方程中为一阶线性微分方程的是2(C)

5、yy = x (D) (y) +xy =0P 12丄4(A) xy + y =x(B) y +x y =sinxy= A 2.已知函数y(x)满足微分方程xy=yl n ，且当x=1时，y=e2，则当x =-1时,x57(A) -1(B) 0(C) 1=xeXF3.已知y =Inxx一是微分方程中w(y)的解，贝u()的表达式为xx(B)2y2x(C)-2x2y(D)2x2y2y = (x+1)2，则方程的通解为C354.已知微分方程y + P(x)y=(x中1)2的一个特解为= e3lny( J舟lnydy+C)27(A)C(x +1)工+1)2(B)(C) C(x+1)2+2(x+1)23

6、(D)C(x+1)2+1i(x + ir61填空题1.微分方程xy， y-Jy2-x2 =0 的通解是y + J y2 - X2 =Cx22.微分方程, x yy = +，满足 yy xoox = 2 的特解为y =2x (In x + 2)3.微分方程y + y ta n x = cosx 的通解为y = (X + C )cos x计算题 1.求微分方程（X2 + y2 ）dx xydy =0的通解解：方程可化为:dy=_x+_y d x y x则:=yXduX dxdydxlu丄du =u +x dx2解得u = In X + In C = In Cx2即 Cx = ex2求微分方程（y2

7、 6x）业+2y =0的通解dx解：方程可化为：dx_3x=-Ydy y 2戶 dy y -Fdy所以 x=ey (一 y dy+C) 23 y 1卜严+C)=y3 (+6= ”X23.设f(X)为连续函数，由Jo tf (t)dt = X即 f ( X)- f ( x)= 6 x 且 f (0) = 0 f (1) = 1 x 11所以 f (X)= e 弊(J 6xe一 严 dx + C)= eln x (J -6xe4 Xdx + C) + f(x)所确定，求f(X)解：对积分方程两边求导数得Xf( M = 2 X f( X,f X) - xf (X) = -2x且 f (0) = 0(

8、xdx_ Xdxf(x) = e( J-2xedx+C)=e (J -Zxedx+C)=e (2e-2 + C) = 2 +CeT当X =0时，f (x )= 0代入上方程得C=2x2故 f (X)= 2-2/4.设偶连结点0(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧OA,对于弧OA上任一点P(x, y),曲线弧OP与直线段OP所围图形的面积为X=x( J -6dx+C)，求曲线弧OA的方程。求微分方程X13解：由题意 f(X)满足：!0 f(t)dt-?xf(x)= X32= x(-6x+C ) = 6x +Cx当x=1时，f(X)= 1代入上式得C=7故 所求的曲线为f (X) = -6

9、x(A) lnGx+C? 3 +7x69高等数学练习题第十二章微分方程专业姓名学号第五阶全微分方程第八节可降阶的高阶微分方程.选择题丄的通解是3x2(C) 2x +ln CiX? +C2(D) C1 In X + 2C2X 31(B) -In CjX +C2X3y2.设曲线积分 f(x)-e sinydx - f (x)cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且 f (0) =0，则 f (x) =(A) 2(ex1 1-e)(B)ex)(C) 计)11(D) 1-?(ex +)二.填空题1 .微分方程Cixy + 3y，= 0 的通解为y=-42+C22x2.微分方程y *的通

10、解为JyX =C2 Z(GC1)2 -20厉93三.求下列微分方程的通解或特解1. eydx+(xey 2y)dy = 0解：eydx +xdey-dy(xcosy+ cosx)y-ysin x+sin y = 0=0 即 d( x -所以方程的解为 xey-y2=CCQycP或由于=e =ex(x y )所以 u(x,y A J(0,0eydx + xey Rdy2y)dy(x,0)(x,y) yy=(+ )eydx +(xey J(0,0)x,0)x 0y= .0e0dx + L(xey -2y)dy = x+(xey-y2)|；=xey - y2故方程的解为xey y2 =C解：方程可化

11、为(xcos0.00解：特征方程为：r2 +6r +9 + a2 =0，求得特征根 几上=3ai3x所以方程的通解 y =e (C1 cosax +C2 sin ax) 2求方程y = y 的通解2解：特征方程为r =r，得特征根为H = 0,2 = 1所以方程的通解y =C1 +C2ex3.求方程 4y+4y，+ y=0, yx/2，yX占=0的特解2解：特征方程为 4r +4r +1=0，解得特征根为r, =1 x 所以方程的通解为y = (G + C2X)e 2111二 Xy =(C-C-C2x)e 22 2xm =2, y1xT=0 代入上二式，得 G =2,C2 二11 一 X 故

12、所求方程满足条件的解为y = (2 +x)e 2X4 .设f(X)=2x-Jo(Xt)f(t)dt，其中f(x)为连续函数，求函数f(x)解：上方程可得：f( x ) = -f ( x)，f 0 )= 2 , f (0) = 0设 f (x) = p，则 p = p解得p =Cie-79当 X = 0, f (0) = 2 时，得f (X) = 2e解得 f (X ) = 2e+C2当 x = 0,f (X= 0时，得C2 =0故 f(x) = -2e高等数学练习题第十二章微分方程.专业.班姓名学号第九节常系数非齐次线性微分方程.选择题1 .微分方程y - y=ex +1的一个特解应具有形式(

13、式中a,b为常数)X(A)ae +bX(B) axe + bx(C) ae+ bx(D)axebx2.对于方程y - 2y+ y = 3e ，利用待定系数法求其特解y*时，正确的是(A) y* = Ae(B) y* = (Ax + B)/(C) y*=Axe(D)-去-2Xy* = Ax e(A) y* =asinx(B) yX非齐次方程中的 几=1是特征根，所以设特解为y =axe 代入原方程，解得 a = -2于是 原方程的通解为 y =C1eX +C2e2x 2xeXy = X2 -X +1有公共切线，所以y(0) =1, y(0) = 1代入通解中得G +C2 =1G +2C2 =1

14、= acosx(C) y* = acosx +bsin x(D) y* = x(acosx+bsin x)二.填空题1 .微分方程y + 4y = e x的通解是y =C1 cos2x+C2Si n2x+ge2微分方程y”_5y，_6y =x2 -3 的通解是 _y = C1e6x +C2ei -丄 X2 +2X+-236 18 108三.计算题1 .设函数y= y(x)满足微分方程 y-3y + 2y =2ex，且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y = X2 -x +1在该点的切线重合，求函数 y = y(x)2解：特征方程为r -3r + 2 =0，解得特征根1=1,2 = 2 ,因此对

15、应的齐次方程的通解y =C1ex +C2e2x由于积分曲线与曲线故所求的函数为y = (1 -2x)eX2.求微分方程 y+4y =xcosx的通解2 .解：特征方程为 r + 4=0，解得其根为r1,2 =2i所以对应的齐次方程的通解为y =C1 cos2x +C2 sin 2x代入原方程,设非齐次方程的特解为 y* =(ax+b)cosx+(cx+d)sin x ,并整理得(33x + 3b+ 2c) cos C3x(32 ) sxn3a =1比较两边的系数3b +2c =0，解得3c = 01a=-,b = 0, c = 0,d33d -2a =012所以 y*=xcosx+ s inx

16、3912故 所求方程的通解为 y = G cos2x +C2 sin 2x + -xcosx + sin x3 93.求微分方程 -3/+2xex的通解.2解：特征方程为r 3r+2 = 0，解得r=2和r=1,齐次方程的通解：y =C1eX +弋2e2x设非次方程的特解为 y = x( ax + b ) = Qx2 +bx eT代入原方程,并整理，得2a -b -2ax =x解得 a = 1, b = 12故 所求方程的通解为 y = GeX + C2e2x -(丄x + 1)ex24 设二阶常系数线性方程y +迫 + Py =电X的一个特解为y = e2x + (1 + x)ex，试确定常

17、数%，并求该方程的通解2 xx解：将y = e + (1 +x)e代入原方程，得(4 +2a + P )e2x + (3 +2a + P )eX + (1 +a + P)xelex=0=y4 + 2a + P比较同类项的系数，得 p+2a +P =01 +a + P解方程组，得o = 3, P=2,Y=1，即原方程为y”3y+2y =-exx2 x对应的特征方程的根为ri =1,2 =2，故齐次方程的通解为y =Cie + C2e所以原方程的通解为y =CieX +C2e2x弋e2x+(1 + x)eX高等数学练习题第十二章微分方程.专业.班姓名学号83综合练一.选择题X电1.已知函数y1 =

18、e xX2y2 =e ,y3(X =e宅)2x ，则(A)yi与y2线性相关(C) yi与y3线性相关(B)(D)y2与y3线性相关 它们两两线性相关2x2.若连续函数f(x)满足关系式f(x) = f(5)dt+l n2，则f(x) =(A)exln2(B)e2xln2(C) ex +1 n 23.设y =y(x)是二阶常系数微分方程y + py + qy = e3x满足初始条件y(0)= y0)=0 的特解，则当XT 0时，函数ln(1 +x)的极限是y(x)（A）不存在(B) 1(C) 2(D) 3填空题1.已知曲线过点（0,-2），且其上任一点（X, y）处切线斜率为xln（1+ X2

19、），则曲线4 微分方程2 1yy” + y =0满足初始条件 y|x出=1，ylx出二寸的特解是,2y2 = X +15.微分方程y N + 2 y，+ y = xeX 的通解三.计算题31求微分方程 （y -x3）dx 2xdy =0的通解2解:方程可化为y舌七dx+Cldxx2 Idx所以方程的通解为 y=e2x Me 2x2IlnxX2 丄nxF 7子2 dx+C=顶一1 Jx2dx +C皿十2 +C 1x3+C 奴2.已知f(0) =0.5，试确定f (x)，使rX + f(X) ydx + f (x)dy = 0为全微分方程，并求此全微分方程的通解.解：由于 P(x,y)=(ex +f (x)y,Q(x,y) = f(x)要使eX + f (x) ydx + f (x)dy =0为全微分方程则 f(X)=ex + f(x)且 f(0) =0.5d X X l d Xf(x)= e fee dx C= ex Jehdx +C = exx +C由f(0) =0.5代入上式，得C =0.5所以 f(X)=eX(x +0.5)因而 原微分方程为exy(x