2019-2020学年高中北师大版数学选修2-1学案：2.5夹角的计算 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩5夹角的计算q 同学们可能经常谈论*同学是白羊座的，*同学是双子座的可是你知道十二星座的由来吗？我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”黄道面与地球赤道面交角（二面角的平面角）为2327,它与天球相交的大圆为“黄道黄道及其附近的南北宽8以内的区域称为黄道带黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”从春分(节气）点起，每30便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来今天我们研究的问题之一就是二面角的平面角问题x 1共面直线的夹角当两条直线l1与l2共面时,我们把两条直线交角中，范围在_0，_内的角叫作两直线的夹角2异面直线的夹角当直线l

2、1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点a作abl2，我们把直线l1与直线ab的夹角叫作异面直线l1和l2的夹角3直线夹角的求法设直线l1与l2的方向向量分别是s1,s2。当0s1,s2时,l1与l2的夹角等于_s1，s2_;当s1,s2时，l1与l2的夹角等于_时,_n1，n2_.即cos_cosn1,n2|_。6直线与平面的夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角夹角的范围是0，7直线与平面夹角的求法设平面的法向量为n,直线l的方向向量为a，直线l与平面所成的角为。当0n，a时，_n，a_；当_.即sin_|cos_.y 1在正方体abcda1b1c1d

3、1中，异面直线aa1与bc1所成的角为(a）a45b60c90d135解析如图，aa1bb1,b1bc1即为异面直线aa1与bc1所成的角又b1bc145，故选a2已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形,侧棱长为2，则侧棱与底面夹角的余弦值为(d）abcd3如图，在长方体abcda1b1c1d1中，abbc2，aa11,则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为（d)abcd解析连接a1c1,设a1c1b1d1o,连接ob由已知得c1o平面bb1d2d，c1bo为所求角在rtc1ob中，得sinc1bo。4（2019安徽屯溪一中高二期中测试）已知直二面角l,点a，acl，c为垂足，b，bdl,d

4、为垂足，若ab2，acbd1，则cd（c）a2bcd1解析解法一：如图，过点c作cebd，且cebd，连接ae、be。bdl，cel.又acl,ace为直二面角l的平面角，ace90。又acbd1,ce1,ae。又lac，lce，accec，l平面ace，lae.又bel，beae.ab2，be.又四边形bdce是矩形，cdbe。解法二：如图过点c作cebd,且cebd，过ae、be.由题意可知ca、ce、cd两面垂直,如图建立直角坐标系,设cda，则a（0,0，1），b(1，a,0）ab2，解得a，故选c5在正方体abcda1b1c1d1中,点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所

5、成的二面角的余弦值为_。解析建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则d(2，0,0)，a1（0,0,2），e(0,2,1），则（2，0，2)，(0，2，1)设平面a1ed的法向量为n(x,y，z）,则，,.令y1,得n(2,1，2）易知平面abcd的法向量为m（0，0，1)，则cosnm.h 命题方向1异面直线所成的角典例1(1)直三棱柱abca1b1c1中，bca90，m、n分别是a1b1、a1c1的中点,bccacc1，则bm与an所成的角的余弦值为(c）abcd解析如图，分别以c1b1、c1a1、c1c为x、y、z轴，建立空间直角坐标系令acbcc1c2,则a（0，2，2）、b（2

6、，0,2）、m（1，1，0）、n(0，1,0）(1，1,2)，(0，1，2）cos.故选c（2）如图，在长方体abcda1b1c1d1中，adaa11,ab2，点e是棱ab上的动点，若异面直线ad1与ec所成角为60，试确定此时动点e的位置解析以da所在直线为x轴，以dc所在直线为y轴，以dd1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系设e(1，t,0）(0t2），则a(1，0,0),d(0,0，0），d1（0，0，1），c(0，2，0）,（1,0，1）,（1，t2，0),根据数量积的定义及已知得：10(t2）0cos60，所以t1,所以点e的位置是ab中点规律总结求异面直线所成的角的常用方法是：（1

7、)作图证明-计算；(2)把角的求解转化为向量运算若直线l1、l2的方向向量分别为a、b，l1与l2夹角为，则|cos。跟踪练习1(2018全国卷理，9)在长方体abcda1b1c1d1中,abbc1，aa1,则异面直线ad1与db1所成角的余弦值为（c）abcd解析如图(1），在长方体abcda1b1c1d1的一侧补上一个相同的长方体abba.a1b1b1a1.连接b1b，由长方体性质可知,b1bad1，所以db1b为异面直线ad1与db1所成的角或其补角连接db，由题意，得db,bb12,db1。（1)在dbb1中，由余弦定理，得db2bbdb2bb1db1cosdb1b，即54522cos

8、db1b， cosdb1b.故选c如图(2)，分别以da，dc,dd1所在直线为x，y,z轴建立空间直角坐标系(2)由题意，得a（1,0，0)，d(0，0，0），d1（0,0，），b1(1,1，）， （1,0，)，(1,1，）, 1101（)22，|2，|， cos，直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值为。规律总结求直线与平面所成的角（1）综合几何方法：先找(或作）出线面角，然后通过解直角三角形求基本步骤是作图证明计算（2）向量几何方法:设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，l与所成的角为，则sin。跟踪练习2（2019天津文,17）如图，在四棱锥pabcd中，ad平面pdc，adb

9、c，pdpb，ad1，bc3,cd4，pd2.（1）求异面直线ap与bc所成角的余弦值;（2)求证：pd平面pbc；(3)求直线ab与平面pbc所成角的正弦值解析(1）解：如图，由已知adbc，故dap或其补角即为异面直线ap与bc所成的角因为ad平面pdc，直线pd平面pdc,所以adpd在rtpda中，由已知，得ap,故cosdap。所以，异面直线ap与bc所成角的余弦值为.（2）证明：由（1）知adpd又因为bcad,所以pdbc又pdpb，pbbcb，所以pd平面pbc(3）解：过点d作dfab，交bc于点f，连接pf，则df与平面pbc所成的角等于ab与平面pbc所成的角因为pd平面

10、pbc，所以pf为df在平面pbc上的射影，所以dfp为直线df和平面pbc所成的角由于adbc，dfab,故bfad1.由已知,得cfbcbf2。又addc，所以bcdc在rtdcf中，可得df2,在rtdpf中，可得sindfp。所以，直线ab与平面pbc所成角的正弦值为。命题方向3二面角典例3如图,在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，pad是等边三角形,四边形abcd是平行四边形，adc120，ab2ad(1）求证：平面pad平面pbd;（2）求二面角apbc的余弦值思路分析（1）令ad1,求出bd,从而adbd，进而bd平面pad,由此能证明平面pad平面pbd（2)以d为坐

11、标原点,da为x轴，dc为y轴，过d作垂直于平面abcd的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角apbc的余弦值解析证明：（1）在平行四边形abcd中，令ad1，则bd，在abd中，ad2bd2ab2，adbd,又平面pad平面abcd，bd平面pad，bd平面pbd，平面pad平面pbd解：（2)由(1)得adbd，以d为坐标原点，da为x轴，dc为y轴，过d作垂直于平面abcd的直线为z轴，建立空间直角坐标系，令ad1，则a（1,0,0),b（0，,0)，c（1，,0），p(,0，)，(1,，0)，(，），(1,0,0），设平面pab的法向量为n(x，y，z），则，取y1，

12、得n(，1，1）,设平面pbc的法向量n(a,b，c），取b1，得n（0,1,2)，cosn，m，由图形知二面角apbc的平面角为钝角，二面角apbc的余弦值为.规律总结用向量方法求异面直线所成的角、线面角、二面角，都是转化为直线的方向向量或平面的法向量的夹角计算问题，需注意的是异面直线所成的角（0，故两直线的方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值；若直线与平面所成的角，直线的方向向量和平面的法向量夹角为，则其关系为sincos；若二面角为，两平面的法向量夹角为，则|coscos，需分辨角是锐角还是钝角，可由图形观察得出,也可由法向量特征得出跟踪练习3（合肥市2019届高三教学质量检测)在四

13、棱锥pabcd中，bcbddc2,adabpdpb2.（1）若点e为pc的中点，求证：be平面pad；（2）当平面pbd平面abcd时，求二面角cpdb的余弦值解析（1）取cd的中点为m，连接em,bm.由已知得，bcd为等边三角形，bmcdadab2，bd2，adbabd30,adc90，bmad又bm平面pad,ad平面pad，bm平面pade为pc的中点,m为cd的中点,empd又em平面pad，pd平面pad，em平面padembmm，平面bem平面padbe平面bem，be平面pad（2)连接ac，交bd于点o，连接po，由对称性知，o为bd的中点，且acbd,pobd平面pbd平面

14、abcd，pobd,po平面abcd,poao1，co3。以o为坐标原点,的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系dxyz。则d(0,，0），c（3,0,0），p（0，0，1）易知平面pbd的一个法向量为n1(1，0，0）设平面pcd的法向量为n2（x，y,z)，则n2，n2，(3，,0），(0，1），。令y，得x1,z3，n2（1,3），cosn1，n2.设二面角cpdb的大小为，为锐角,则cos.x 向量法的综合应用 (1)当空间直角坐标系容易建立（有特殊的位置关系）时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是

15、二面角的大小(相等或互补),但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的（2）注意法向量的方向:一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角典例4如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，aa1平面abcd，且abad2,aa1,bad120。(1)求异面直线a1b与ac1所成角的余弦值;(2)求二面角ba1da的正弦值思路分析（1）建立空间直角坐标系,利用向量法求异面直线a1b与ac1所成角的余弦值；（2）利用法向量求二面角ba1da的余弦值,再求其正弦解析在平面abcd内，过点a作aead,交bc于点e。因为aa1平面abcd，

16、所以aa1ae，aa1ad如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系axyz。因为abad2，aa1,bad120，则a（0，0,0)，b(，1,0)，d（0，2，0)，e（，0，0)，a1（0，0,），c1（,1,3)(1)（，1，），（,1,），则cos，,因此异面直线a1b与ac1所成角的余弦值为.(2）平面a1da的一个法向量为（，0，0)设m（x，y，z)为平面ba1d的一个法向量，又(，1，3)，（，3，0），则，即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面ba1d的一个法向量，从而cos，m。设二面角ba1da的大小为，则|cos。因为0，所以sin。因此二面角ba1da的正弦

17、值为.跟踪练习4(2019北京理,16）如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，adcd，adbc，paadcd2，bc3。e为pd的中点，点f在pc上，且.(1)求证:cd平面pad(2）求二面角faep的余弦值（3）设点g在pb上,且.判断直线ag是否在平面aef内，说明理由解析（1)证明：因为pa平面abcd，所以pacd又因为adcd，paada，所以cd平面pad(2)解：过点a作ad的垂线交bc于点m.因为pa平面abcd,所以paam，paad建立如图所示的空间直角坐标系a。xyz，则a（0,0，0)，b（2,1，0),c（2,2,0)，d(0,2,0），p(0,0,2）因

18、为e为pd的中点，所以e（0,1，1)所以（0,1,1）,（2，2，2），(0，0,2)所以，所以.设平面aef的法向量为n(x，y,z），则即令z1,则y1，x1.于是n(1,1,1）又因为平面pad的一个法向量为p(1，0,0），所以cosn，p。由题知，二面角f。ae。p为锐角，所以其余弦值为。(3）解：直线ag在平面aef内理由：因为点g在pb上，且，(2，1，2)，所以,所以.由（2）知，平面aef的一个法向量n(1,1,1)，所以n0。所以直线ag在平面aef内y 典例5正三角形abc的边长为4,cd是ab边上的高，e、f分别是ac和bc边的中点,现将abc沿cd翻折成直二面角ad

19、cb(如图)在图中求平面abd与平面efd所成二面角的余弦值错解cdad，cdbd，adbd,取d为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则d(0,0，0）、a（0,0，2）、b（2,0，0)、c（0,2,0）、e(0，1）、f（1，0)平面abd的法向量m（0，1，0)，设平面efd的法向量为n(a，b，c），（0，1)，(1,，0),由n0,n0得n（,1,)，cos。平面abd与平面efd所成的二面角的余弦值为.k 1直线l1的方向向量a1（1，1,1），直线l2的方向向量a2（1，2,1)，设直线l1与l2所成的角为，则(d）asinbsinccosdcos解析cosa1，a2.cos.2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于(