11氦原子基态能级要点

1、第一章 绪论1.1引言对氦原子基态能级的探讨一般选用微扰法及变分法，本文重点讨论变分法对氦 原子基态能级的求解。变分法是解决氦原子和类氦离子基态问题的强有力工具，到 目前为止，国内外为追求高精度所选取的变分参数个数已由数百增至数千，在忽略 核质量的情况下，它们的非相对论基态波函数和能量的不确定度分别达到1010和10 19，这对于计算高精度的相对论修正和辐射修正具有非常重要的意义。 在量子力学教科书中，一般介绍的近似求解法是微扰法和变分法，而变分法中选 择的尝试波函数一般是一个参数型的，例如周世勋编量子力学、曾谨言著量 子力学教程等介绍的便是用一个参数型的尝试波函数变分法求氦原子体系基态 能级

2、。1.2选题的依据和意义1.2.1选题的依据在量子力学中，对于具体物理问题的薛定谔方程，可以精确求解的问题是很 少的。在经常遇见的许多问题中，由于体系的哈密顿算符比较复杂，往往不能求 得精确的解，而只能求近似解。微扰法和变分法都是用来求问题的近似解的方法。用微扰法求氢原子和类氢离子是比较适合的，但是遇到比氢原子稍微复杂一 点的氦原子时，微扰法就不及变分法容易和求解精确。用一参变分法即选用含一 个参数的尝试波函数，这种波函数形式简单，其物理意义清晰，物理模型简单， 适用于教育教学，但精确度比较低。选用含二参数的尝试波函数，这样的模型相 对于更多参数的波函数要简单，又比一参变分法求解精确度高很多，

3、这样既有利 于理解怎样用变分法求基态能级，可适用于教学，又能求得比一参法更为精确的数 值，因而具有重要的物理意义。1.2.2选题的意义氦原子是比类氢离子这种单粒子体系复杂但是相对于其他粒子要简单的粒 子，研究氦原子这种简单的多粒子体系，对于研究更复杂的多粒子体系具有重要的意义。变分法是解决氦原子和类氦原子的强有力工具，只要选择合适的试探波 函数，对于提高求解能级近似值有很大的帮助。1.3本文的主要研究内容本文主要研究氦原子的基态能级，通过应用双参数变分法，选择适当的试探 波函数，求出氦原子基态能级的能量，并将计算值与试验值进行比较，再与用微 扰法求出的氦原子基态能量结果进行对比，通过对比体现出

4、用变分法求氦原子基 态能级的优越性。3第二章变分法介绍2.1变分法原理AA已知量子力学中用微扰法求解问题的条件是体系的哈密顿算符H可以分为H 和AH两部分：AAAH =H + H ，AA其中H 0的本征值与本征函数是已知的，而 H 很小。如果这些条件不能满足，微扰法就A不能应用。因而在遇到H 不是很小的情况下，就需要寻找另外的求解方法，量子力学中求解问题的又一种简单方便的方法一一变分法的应用不受上述条件的限制。A设体系哈密顿算符H的本征值由小到大的顺序排列为：E, Ei, E2 厂，En,(1)与这些本征值对应的本征函数是：。，二,， (2)AE和10是基态能量和基态波函数。为简单起见，我们假

5、定H的本征值E n是分立的，本征函数t n组成正交归一系。于是有AH n 二 E?； n设.是任意一个归一化的波函数，将按n展开：八a/-nn在屮所描写的状态中，体系能量的平均值是AH 二* H d将(4)式代入式，得AH 八 am anm,n淞H竝匚毕业论文应用(3)式有n =送 a； 3 EVdTm,n八 aman En :.mn9m, n=V |an|2 Enn由于Eo是基态能量，所以Eo :：: En (n=1,2,)，在上式中用E。代替En，则H E |a“ |2n 最后一步用了的归一化条件Tk I2 =1。n(6)式和(7)式给出:A(8)Eo- * H- d.这个不等式说明，用任

6、意波函数算出H的平均值总是大于体系基态能量，而只有当A恰好是体系的基态波函数5时，H的平均值才等于能量Eo。上面讨论中曾假定是归一化的，如果-：不是归一化的，那么(5)式应该写为:A*H-d.H*(9)胖屮d(8)式应写为A严*H屮diEo -:(10)0- dAA根据波函数算出H的平均值总是不小于Eo，我们可以选取很多的-并算出H的平均值，这些平均值中最小的一个最接近于Eo。2.2变分法求体系基态能量的步骤2.2.1选取一个参量的尝试波函数选取含有一个参量，的尝试波函数C)代入式和(9)式，算出平均能量H(.)， 然后由(11)d H( )d，求出H ()的最小值。所得结果就是Eo的近似值

7、2.2.2选取两个参量的尝试波函数选取含有两个参量:、1的尝试波函数(二J代入(5)式和(9)式，算出平均能量H C , )，然后由dH (a B)dH P):)=，()= (12)求出H (：, J的最小值，所得结果就是Eo的近似值。第三章氦原子基态能量的变分计算根据第二章变分法原理可知，氦原子的基态能量可由下式计算得到:A(13)(13.1)E0 min * H d A其中，H为哈密顿算符，屮为归一化的试探波函数。若波函数未归一化，氦原子的基态能量可由下式计算得到:Eo minI 胖屮dw j|啓*H屮dj氦原子有一个原子核和两个电子，它们都处于运动状态。由于原子核的质量相对于 电子非常大

8、，核的运动比电子的运动要慢的多，因此近似把核看成是固定的，氦原子的哈 密顿算符可写为：H 二。2、2)-施-2eSeS(14)2A212其中，J是电子质量，*与“分别代表第一、第二个电子到核的距离；L为两个电子之间的距离。2为方便计算，米用原子单位（其中能量单位为哈特利，即2 13.6eV），氦原子体ao系的非相对论哈密顿算符可写为：A 1 2 2 2 2 1H = C 2 I 2）+（14.1）21 血123.1尝试波函数的选择用变分法求近似解的关键在于选择合适的尝试波函数，尝试波函数选得好，可以 在很大程度上提高计算结果的精度。对类氢离子，电子的基态波函数为（取原子单位，以下暂不考虑归一化

9、常数）e习，它所表示的状态有这样一个特点：电子的最概然半径为1 z,电子在半径为1 z的球壳附近 淞痔法弋竝毕业论文分布的概率较大。对于类氦离子，如果不考虑两个电子相互排斥作用，则基态波函数为e1 “2 ,二电子的最概然半径皆为1 z,但若考虑两电子的相互作用，利用单参数变分法 求得基态近似波函数为1,8:(15)(15)式中匚=516.在这种模型下，由于排斥作用，两个电子的最概然半径增长到1 z -二.我们认为这个模型仍然比较粗糙，二电子之间的关系考虑得不够，现将试探波 函数改进为如下形式：假如二电子可以区分即存在某种差别，我们设想由于二电子的径向排斥作用，电子1的最概然半径为1：且处于形式

10、为e的波函数描述的状态，电子2 的最概然半径为1且处于形式为e的波函数描述的状态，则两个电子的基态波函数 可写作：才怙乂心5(16):-,1为变分参数。显然,上述说法不满足全同粒子波函数交换对称性的要求，事实上我们不能说清某个电子处于哪个状态由于基态为1So态,波函数的自旋部分是反对称的，空间部分要求是 对称的，因此，满足交换对称性要求的波函数为： (r1,r2 Ae：r1 e2 叨(17)值得强调,如果: = 1 ,则式(17)退化为单参数的.它们究竟会不会相等不是由想象而是由 变分原理一一能量平均值取极小值条件来决定.在计算时，需注意以上波函数是未归一 化的。3.2氦原子能量平均值的计算A

11、利用(14.1)式和(16)式，我们先计算严*戒山，然后计算胖也。有：A- *Hd二 Ae4：r1 飞)T) _丄(、2 辽)_2_2 .丄 Aeir2) /2=1)0.心2IL 21 2 12=Ae r2)e2-?)Ae，eJ：r:q)d .d .,(18.1)2r.(18.2)(18.3)Ae1：rr2) eJ：r2 1)! 2 -)AeJ：rr2) eJ：r2 r1)d.1d.2”2r2+AfedefT Afe1 叨飞丄弋 r1)d.1d .2 首先，求解(18)式中的(18.1)式，有AeeS )(丄、2 _2)Ae：r1 er1)d .1d .2 z2r113J叨飞心d -1d-2(

12、18.1-1)-2A2 e e % 1 e“ e T)d k .2r1(18.1-2)先求解(18.1)式中的(18.1-1)式，有A22er1er1)丄上丄)e ：“rr14：.-2) e：r-r1)d.1d2A22e4 丁1 血)e4血 ir1)卜2 _空)e七用)d 1d 2r1-丄A22e4 丁1 =2). e4：r :r1)16 二 2dr1A/_r22dr/ (： 2-25怡“ 9200216 二22odod2 2 2 2 2 2Ar2 dr2 ( -. r1 -2： rj ( -2r1)eJ：ri 50 016 二22A2)2dJC2ri20 0-2r1)e(：r2 ri)dr1

13、16 二2T _2 2 2A D:0 IL221c y(2)16 二2 _ 2 -A2 r22 :0 -2：-22- )31e如型鼻c)2dr216二A2|-_-1乂2|-T23(2a)3(2a)2 一(2P)3(20)3(20)2 一(2o( )3,16 二2A2二 16 兀2=一 22 - 2 - 2 -(_：: i )3(_：: i )2(_：: .-)3A21 丄 4(a2+P2)4 8(3B (g+B)6(a+P)416二22A21一 16 厂 16(18.1-1.1)接着求解(18.1)式中的(18.1-2)式，有-2A2 e心切 飞宀切1 /旳 屮込5工.心212= _2A 1

14、ie:卜eG G 川,2e：r= r2)4：r2r1)1r1d 1d 2= -32：2A2 上忑-；2) -e(：rr1) - 2e u)r2 仙淞痔法弋竝毕业论文2 2= 32 二 A2 2= 32 二 ARe2 ：r2卜 2C)2e，：T)r2仙2-2丄2丄41_(2： )2(2 J3 (2：站)2 (：)517=一32叫需+冷(18.1-2.1)然后，求解(18)式中的(18.2)式，有*)(丄八)(丄、2 一勻心心旳edr1)d.1d.2z2r2= _2a2 jje七诡)+e如枷&(r22-)8电)壮強阴旺 (18.2-1)2r2 厅2cr2(18.2-2)-2A2 e1e5 % 丄e

15、 .紀显r2先求解(18.2)式中的(18.2-1)式，有A2A2e2)飞小 叩2)e1 叨 erJ d .g 边r2 厅2tr2e(八)(：2)e4：r2 ri)d-1d 2216 二iA2 “2dri f 2-2 叽)e% Fda2 o o216216 二22A2dr,（:2r；2: r2）C 2r22- 2十2）上心2T）dr20 0A2 r12dr1 （2r； -2_汕2怡（厂 r，）dr216：22A2o-2：2-2：o o16： 2 八22221221A-：兀A2r12：3 -22-23 _22 e -20 |L （二-.-）3（一八*）2（一：匚 ）（二 心）216二2 八22：

16、 22：2222M丨2.2 _（2 ）3 （2 ）2 （2：） （2：）3 （2：）2 （2： ）2 22（很亠；）2 亠）321】：丨、2_一（二-）2 （二 13）伽,亠一丄+丄一丄+叱也厶J21创B33 16t30 8口3B（g+0）6（a +B）416 二22A21 1IL 16：川 3 16 M）6（18.2-1.1）接着求解（18.2）式中的（18.2-2）式，有-2A2心5旳e T）丄e1旳e叩疋品.2=-2A2 I ie（：r1 r2） eg T） 2er1 T）心 T）丄 d 川 2r2= -32A2 .dr1 旳 e*2 F）. 2e f 儿回“0 0总怎厅弐 毕业论文19

17、2 2= 32 二 A，=丄e丄e0 _（2 ） （2：）e：凸r2 2= 32 二 A-2丄2丄41_（ ）2（2：）3 （2：站）2 （：）5=一32叫需+冷（18.2-2.1）2 2=16 二 A2 2=16 二 A最后，求解(18)式中的(18.3)式，这里根据参考文献，有飞“丄HeSiMeFdid.ri2r22dr/. ri2e（：ri 如. Qe1） g q 10 0 *2Idjrjle1 M eG 2e“）1 dn0 0r2+ 16二2A2 知2 .e*1 ；2） - eg 切0r22e“亠,H） （:r2 U1dr1r1co= 16：2A2 r2dr2（0222飞旦丄 _rL

18、. r21 ）er-）r22： 24： 321 _2l2 -,3）e2 2+ 16 二 Ar2dr2占1-2：七、尸 )2 2+ 16 二 A2r；（:亠卩）42（二.-）24e-2（a 刑 r2一心）3f0+ 16：2A24e7：Tr2）3e总撼丫丸毕业论文2 2+ 16 二 A丄工丄 22.22（：.恥4-：22 -4 2（很亠.）（很亠.）2212 22-f 县）（=16-2八召*召*）（-占怡+16”伞严42（二亠 ”）3）詁：仇dr2dr?2 2=16 二 A1 2 1 1| 4 2 8（用亠,）3 4 34（：丄亠 ”）2 |+16二2A21 2 1 1| 4 28（用亠）34 3

19、4（用亠）2+16二2A22241I X x IL （J .-）28（二 1.-）3（二 1.-）34（一八 J）22 2+ 16 二 A丄沢丄+丄汽丄过4口3 4$2 4$3 42 （a +B）3 （a +B）22 2=16 二 A-2 2 3 I- 35 I1少303 16（。+P）3 16徑样）2 2 +B）5（18.3-1）A计算完了严*屮，接着计算胖*屮心。有:； *d=Aer1 飞1）/：2）e2 ,d .1d .2二A2心心八e叩旺心 飞） /八）9，.2= A2.e.e2 丁2 - r1）D2e2）r2 ）d Md 2总密;厅竝匕毕业论文= 16A2da .e 恥-r2)- e

20、J( -2 -ri) - 2e：i r2)心)0 02 2=16 二 A0eJ223e(2 J严7*5汕2 2=16 二 A- L_ L_ L_4 -2 -(2 )3 (2 -)3 (2 -)3 (2 )3 .-)32 2=16 二 A(19)由于波函数WC- , J是未归一化的波函数，因此由(9)式、(18)式各个计算结果、(19)式计算结果可知：| a2 + 02 十 8PTa + P16十ot+Bot+B，ot+P516。303(a +B)64a303(a +0)516a3B3 16+B)3 16(a+B)2 2(a+B)583 G J(20)将(20)式右边分子分母同乘16313 (-

21、八“)6可得:(?-2 - 3 -3 -)(-八、)6 T28： 4 ： 43 2(、； I)6 T28： 3 -3-(2：汀,3 - 2- 3、：4 ： I4”、：|.:)32(、；、I)6 128 3 ： 3a8 +67 +1少6B2 +26g5B3 +158，04 + 26口305 +16a2B6P82 6 12： 51 30：4 12 168 3 3 30： 2 ：4 12亠5 2 ：623曲挖湮上汽匚毕业论文4/ +2&（沖 +72（沖2 +33g4B3 +333沖4 +72/阳 +2&P6 +4旷212一： 30：* 2 168 3门 30：2 12厂5 2（根据（12）式 汁）=

22、0,：HC）=o，以及（21）式的结果，有：ca丽（8 7 42： 61 96：5 ：2 130 4 一：3 632 3 一：4 78 2 一：5 3 - 6 6 7）-（28 6 156 360： 4 ：2 1320： 3 ：3 990： 2 ：4 144 -5 26：6）（2 6 - 12 51 30 4 ：2 168： 3 - 30： 214 - 12如5 2一：6）_（： 8 6 卄 16 2 263 158 4 26 5 166 8）-（4： 7 26 6172 512 330： 4 3 330： 3 一：4 72： 2 一： 5 26门 6 4 7）（12： 560： 41120：

23、 3 一：2504 2 60如412）=0（22）（8 ：7 42 汽96 ：5：2 130 ：4： 3 632 13：4 78 ： 2：5 32 一 667）-（28 6156 5二九360 4： 21320汽 3 990 2： 4144一： :-5 - 26 6）（2 1612 ：5： 30 ：4： 2 168 ：3： 330 ：2： 412宀526）_86 ： 7二1616： 2265：3158：4： 426 ：3： 516：2：6. 6心7 ：;心8）_（4 ：7 26 I6：; ： 72 5： 2330 ：4： 3330 ：3： 4722: 526：64 7）（12 ：5 60 4二

24、120 ：3：2 504 ：2：3 60 二 4125） =0（23）联立（22）、（23）可解得有用的：和一：，有：25淞痔法弋竝毕业论文27:= 2.1832 , 1 =1.1885(24)将(24)式的结果代入(20)式可解得:严2 +P28 邯o+B 16| o+B a - + p - a + P 5 I 16a3B3 +(口 + 閃6】_4口3呂3 _(口 +甘)5 + 需3阻-似口 #)3 飞仪十 p)2 + ? 羽5 H = 1 88 3 : 3 C：亠)60.02210612749710.0141282750151 -0.0482514988418 - 0.0367176901

25、 797-0.0071553665572 +0.0054498178660.01206286971045 -0.0014964375639 -0.0038031242148 0.00573713909060.0071553665572 +0.005449817866=-2.876058145316：-2.876058上面所求H采用的是原子单位制，因此在国际单位制中，最后求得的的基态能量为：(25)H，亦即氦原子2 eH =-2.876058a0(26)淞H竝匚毕业论文29第四章结果比较4.1氦原子基态能量的计算值与实验值比较由参考文献可知用实验方法得出氦原子基态能量为2-2.904es，而用变

26、分法算出a0_ 2来的结果由(26)式可知为E。:- -2.876056。其相对误差为:a-2.904(-2.876058)a。00% =0.962%a。(27)-2.904 - a。4.2 一参变分法与二参变分法比较由参考文献可知用一参变分法计算能量，准确到第一级近似的结果为- 2.85蛍，a。2而用实验方法得出氦原子基态能量为 -2.904，可算出其相对误差为: a。2 2- 2.904邑 -(-2.85 鱼)a0a02- 2.904电a100% =1.859%(28)从(27)式和(28)式可以看出，用二参变分法计算氦原子基态能量比用一参变分法计算氦原子基态能量又要精确很多。由此可知，求

27、多粒子体系的基态能量时，变分法的参数的多少对求解结果的影响也是很大的4.3变分法与微扰法比较2 由参考文献可知用微扰法计算能量，准确到第一级近似的结果为-2.75亘，而用实验方法得出氦原子基态能量为- 2.904冬，可算出其相对误差为：a。2 2-2.904邑 -（-2.75鱼）-2ao100% =5.303%（29） -2.904Ssa。比较（27）式、（28）式和（29）式可以看出，用变分法计算氦原子基态能量比用微扰法计算氦原子基态能量要精确很多。由此可知，求多粒子体系的基态能量时，变分法有着微扰法无法比拟的优越性。总怎厅；毕业论文参考文献1 周世勋量子力学M.北京：高等教育出版社，1979.2 余凤军氦原子及类氦原子基态的二参数变分法研究J,大学物理，2008,27(5)3 马二俊类氦原子体系基态能量变分法的数