2019-2020学年上海市杨浦区高考数学二模试卷(理科)(有答案

1、上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）一、填空题函数（工）=运2的定义域是X - 12.已知线性方程组的增广矩阵为,若该线性方程组的解为- 1-2+3+* -4n3.计算Ilin,:nfg n +14 .若向量W，尼满足|al=lt lb |=2且二与石的夹角为彳，则|W+E 1=.I5 .若复数z1=3+4i , z2=1 - 2i ,其中i是虚数单位，则复数 十1的虚部为1 2a、 b、 c,若,则角C的大小是6 .在（工一的展开式中，常数项是 .（用数字作答）7 .已知 ABC的内角A B C所对应边的长度分别为8 .已知等比数列an的各项均为正数，且满足：aiay=4,则数列log 2a

2、n的前7项之和为 9 .在极坐标系中曲线C: p=2cos。上的点到（1,兀）距离的最大值为 10 .袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为 1至5,从袋中随机抽取 3只，若以E表示取到球中的最大号码，则E的数学期望是.211 .已知双曲线 宣一二1的右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点巳*4 1- t 一一 r IllJM在直线PF上，且满足OM，FF=0,则 一 =.llPI12 .现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有 .（用数字作答）13 .若关于x的方程（4x+j） - |5x -

3、 -|=m在（0, +0）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为 14 .课本中介绍了应用祖咂原理推导棱锥体积公式的做法.祖附I原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖咂原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖附I原理（图1）,即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为r 2 2三-+匚二1将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2）,其体积等于 .q 2515.下列函数中，既是奇函数，又在区间（0, +8）上递

4、增的是（）、选择题A. y=2|x| B. y=lnxC.可 D. y=x416 .已知直线l的倾斜角为“，斜率为k,则“ 匚”是“ k收的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件17 .设x, y, z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A.斗 丹 B /-五百477运-C.匠一田+2 D. |x - y| w |x z|+|y - z| z - r18 .已知命题：“若 a, b为异面直线，平面 a过直线a且与直线b平行，则直线b与平面a的距离等于 异面直线a, b之间的距离”为真命题.根据上述命题，若 a, b为异面直线，且它们之间的距离为

5、d,则空 间中与a, b均异面且距离也均为 d的直线c的条数为（）A. 0条B. 1条C.多于1条，但为有限条 D.无数多条三、解答题19 .如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC- A1B1G中，4, D是棱AA上的动点.(1)证明：DCLBC;（2）求三棱锥C- BDC的体积.20 .某菜农有两段总长度为 20米的篱笆PA及PB,现打算用它们和两面成直角的墙OM ON围成一个如图所示的四边形菜园 OAPB(假设OM ON这两面墙都足够长).已知|PA|=|PB|=10 (米)，ZA0P=Z,/ OAP=/ OBP设/ OAP=,四边形 OAPBB勺面积为S.(1)将S表示为0的函数，并写出

6、自变量 0的取值范围；(2)求出S的最大值，并指出此时所对应0的值.21 .已知函数 f(K)=aK+log2(2X+1),其中 aC R.(1)根据a的不同取值，讨论f (x)的奇偶性，并说明理由；(2)已知a0,函数f (x)的反函数为 1 (x),若函数y=f (x) +1 (x)在区间1 , 2上的最小值为 1+log 23,求函数f (x)在区间1 , 2上的最大值.2222 .已知椭圆cJ+yiOAb)。)的焦距为人门，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形.若/ b上(其中。为直线l与椭圆C交于A (x1，y1)、B (x2, y”,且在椭圆C上存在点M使得:坐标原点)，则称

7、直线l具有性质H.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l垂直于x轴，且具有性质 H,求直线l的方程;(3)求证：在椭圆 C上不存在三个不同的点 P、Q R,使得直线PQ QR RP都具有性质H.23 .已知数列an和bn满足：曰二,门日什产(浒1)2口+1式11+1)，N* ,且对一切nCN*,均有b也b/C加)，.(1)求证：数列 白为等差数列，并求数列an的通项公式;(2)若入=2,求数列bn的前n项和Sn；3rL- bn(3)设c=(nE N ),记数列cn的前n项和为Tn,问：是否存在正整数n a bn n有T4Tn恒成立.若存在，求出所有正整数入的值；若不存在，请说明理由.上海市杨浦区

8、高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1 .函数（）二 r的定义域是 X|X - 2且XW 1. X - i【考点】函数的定义域及其求法.【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式 表本.| X - 11 I【解答】解：由题意，要使函数有意义，则F ,什 20解得，x W1且x - 2;故函数的定义域为：x|x2且xwl,故答案为：x|x - 2且xwl.2 .已知线性方程组的增广矩阵为I，若该线性方程组的解为，则实数a= 2【考点】线性方程组解的存在性，唯一性.f X - y= - 31, y=2,能求出a的值.【分析】由已知得

9、，把x=-已宣+3y=41 -1 - 3a 34,该线性方程组的解为【解答】 解：.线性方程组的增广矩阵为1日肝3尸4把 x= - 1, y=2 ,代入得-a+6=4,解得 a=2.故答案为：2. 142+3+机113.计算11口= 彳L8 n+l 【考点】数列的极限.【分析】将1+2+3+门=（ 的形式,在利用洛必达法则，求极限值.limn(n+l) lim n+1 1故答案为：占-3即可求得展开式中的常数JU,则角c的大小是二y4 .若向量汽E满足El=1，仔卜2且四与E的夹角为:，则/+% 1=中【考点】平面向量数量积的运算.222-tf【分析】根据|n十b|二|5|十|b|十2la|l

10、b| 3 s可得答案.【解答】解：.=1，E卜2且;a与E的夹角为II * J 工 I * I 工 ,| | 二 * I 3T | 7 - | 二一 一： -：. I - -二=7.则 I - .=.故答案为：.一I I5 .若复数z1=3+4i , z2=1 - 2i ,其中i是虚数单位，则复数 !牛1的虚部为【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】 解：= zi=3+4i , Z2=1 - 2i ,|町 |二3+4i Zm+q也5,k 1十2i ,.+孝+】+2i= 二?l+2i=l - 3i ,包I 一，复数+工厂的虚部为-3.i 士故

11、答案为：-3.6 .在（工一）6的展开式中，常数项是15 .（用数字作答）【考点】二项式系数的性质.【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x的哥指数等于0,求得r的值, 项.【解答】解：二.在叮）6的展开式的通项公式为 Tr+i=C6? （-1） r? TL 工x令ir-6=0,求得r=4,故（十一汽）的展开式中的常数项是 5.故答案为：15.7 .已知 ABC的内角A B、C所对应边的长度分别为【考点】二阶行列式的定义.【分析】由二阶行列式性质得 a2+b2- c2=ab,由此利用余弦定理求出,从而能求出角C的大小.解： ABC的内角A B、C所对应边的长度分别为 a、b、c,a2 -

12、 c2=- b2+ab, 即 a2+b2- c2=ab,22-2 .cosC=2ab.C是 ABC的内角，C- s故答案为:8 .已知等比数列an的各项均为正数，且满足：a1a7=4,则数列log ?an的前7项之和为 7 .【考点】等比数列的性质.【分析】由等比数列的性质可得：aia7=a2a6=a3a5=4,再利用指数与对数的运算性质即可得出.【解答】 解：由等比数列的性质可得：a1a产a2a6=a3a5=4=4,数列log 2an的前 7 项和=log 2a+log 2a2+ +log 2a7=log 2 遇”）=log 227=7, 故答案为：7.9 .在极坐标系中曲线 C: = =2

13、cos 0上的点到（1,兀）距离的最大值为3 .【考点】 参数方程化成普通方程.【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到点（1,兀）的距离，进而得出最大值.【解答】 解：曲线C: p=2cos。即p 2=2 p cos。，化为直角坐标方程：x2+y2=2x,配方为：（x- 1） 2+y2=1,可得圆心 C （1, 0）,半径r=1 .点P （1,兀）化为直角坐标 P （- 1, 0）. . |CP|=2 ,曲线C: = =2cos 0上的点到（1,兀）距离的最大值 =2+1=3.故答案为：3.10.袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为 1至5,从袋中随机抽取 3只，若以E表示取到球中的最

14、大号 码，则E的数学期望是_4_.【考点】离散型随机变量的期望与方差.【分析】由已知得E的可能取值为3, 4, 5,分别求出相应的概率，由此能求出E（E）.【解答】解：由已知得 士的可能取值为3, 4, 5,E (E)故答案为：L11.已知双曲线2置2 -匚二1的右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P,M在直线PF上,且满足则-2 双曲线的简单性质.【分析】求得双曲线的a, b, c,可得F (J亏，0),渐近线方程为y=2x,设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2 (x -代入双曲线的方程可得 P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM勺方程，联立直线 y=2

15、(x-后,求得M的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值.【解答】解：双曲线七1的 a=1, b=2, c=可得F 的,0),渐近线方程为y=2x,设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2 (x-JG),代入双曲线的方程，可得 x= _由直线OM y= - -x和直线y=2 (x - 。)，可得M国 I. r国5 4 I16唔I故答案为:12 .现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有54 .（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用.【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲，乙带不同班和当甲，乙

16、带相同班时分别求解, 最后求和即可.【解答】 解：当甲，乙带不同班时：A3x A=36 种;当甲，乙带相同班时，A；C；C；=18 种；故共有54中，故答案为：54 .13 .若关于x的方程（4xy） - |5x -|=m在（。，+）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为 应【考点】函数的零点与方程根的关系.【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得. 【解答】解：当xmF时，5x-0,方程（4x+工）一|5x - -|=m, 乳工1. （ 4x+） - （ 5x -） =m 即- x+-=m； 篁-mJ、“ 也时I |4当 0vxv时，5x - -0

17、,5支,一方程（4x+二）一|5x - -|=m, x支1. （ 4x+） + （5x-*） =m,即 9x+=m；x9x+6;当m1时函数为增函数，不满足条件.故选：C16.已知直线l的倾斜角为a ,斜率为k,则“ 江三”是的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】“ a +： 可得0W tan a v w， 。”；反之不成立，a 可能为钝角.【解答】解：“ a二”？ 0wtana芯?“kV3” 3反之不成立，a 可能为钝角.“ a 2是“ 4；”的充分不必要条件.3 I故选：A.17.设x, y, z是

18、互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是()AD Vx+3A.冥干亍kK十一B.K式C. 1寞0+ 二用 12 D. |x - y| 2,可得：其十卷-(向=t2-t - 2= (t-2) (t+1) 0,即可判断出真假；bK-E) .(而 F _即可判断出真假.C取x=1, y=2,即可判断出真假；D. |x - y|=| (x z) +(z y) | 2, .-.X(工底)=t2-t - 2= (t-2)(t+1) 0,正确;B. .F+G7+y, ._2 _h W0,Vs43+Vx+l| Vk+2Wx(VrK3 _Vx+lH(Vrb2 -石)，正确.C.取 x=1, y=2,贝U |x

19、- y|+=1 - 1=02,因此不正确； x - yD. |x y|=| (x z) +(z y) | 0,函数f (x)的反函数为 1 (x),若函数y=f (x) +1 (x)在区间1 , 2上的最小值为 1+log 23,求函数f (x)在区间1 , 2上的最大值.【考点】函数的最值及其几何意义；反函数.【分析】(1)由f (6一仄又+1口队(2 *1)得f ( - x) = - ax+log 2 (2x+1) - x,从而可得当a=时函数为偶函数;(2)可判断f (比)=3又+口白与f1 (x)都是增函数，从而可得f (1) +f 1 (1) =1+log23,从而解出a.【解答】解

20、：(1) f(x)=aK+log2(2x+l),1. f ( - x) = - ax+log 2 (2 x+1)=-ax+log 2 (2x+1) - log 22x=-ax+log 2 (2x+1) - x,1. f ( x) =f (x),即-ax - x=ax,1故a=一卷；此时函数为偶函数，若aw -上，函数为非奇非偶函数；2 a0,f(R)二日工+1口吕2 C2*+l)单调递增，又,函数f (x)的反函数为f 1 (x),fT (x)单调递增；.f (1) +f 1 (1) =1+log 23,即 a+log 23+f 1 (1) =1+log 23,故 f -1 (1) =1 -

21、a,即 a (1 a) +log 2 (2a 1+1) =1,解得，a=1;故 f =2+log25.22.已知椭圆C:22(石心0)的焦距为/ b22V3前幸欣得而(其中。为,且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l与椭圆C交于A (x，y/ B (x2, y2),且在椭圆C上存在点M使得:坐标原点)，则称直线l具有性质H.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l垂直于x轴，且具有性质 H,求直线l的方程；(3)求证：在椭圆 C上不存在三个不同的点 P、Q R,使得直线PQ QR RP都具有性质H.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.【分析】(1)由椭圆的焦距为23,右

22、焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a, b,由此能求出椭圆C的方程.(2)设直线 l : x=t , (- 2 V tbO)的焦距为. c=,a2 b2右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，c=6耳，解得b=1,a2=b2+c2=4,.椭圆C的方程为(2)设直线 l : x=t , ( - 2vt2),则 A (t , yi) , B (t , y2),其中y1，y2满足: 设 M (Xm, ym),O为坐标原点)2. 点M在椭圆C上，里工一上(一工/)2=, 1005 1 49t 2+4-12=100,t= 士也，直线l的方程为X=J X= - p2,-证明：(3)假设在椭圆C

23、上存在三个不同的点 P (Xi, yi), Q(X2, y2), R(X3, ya),使得直线PQ QR RP都具有性质H,设 M(X,ym)，贝U ,口厂5Kl十耳,2, ym=1%+同理：.y9y =0 ,， : = 直线pq具有性质h, .在椭圆c上存在点m,使得：oii=-1-oA1）若x1, x2, x3中至少一个为0,不妨设x1=0,则y1w。，由得y2=y3=0,即Q R为长轴的两个端点，则不成立，矛盾.2222222）若xi, x2, x3均不为0,则由得2工3 =一4】93 0,矛盾.64在椭圆C上不存在三个不同的点 P、Q R,使得直线PQ QR RP都具有性质H.23.已知数列an和bn满足：目1二卜,门日壮（升1）/+1式11+1），nE/，且对一切nCN*,均有b1b&（1）求证：数列A为等差数列，并求数列an的通项公式； n若入=2,求数列bn的前n项和a；一 一一. . . * 一（3）设二%（r1a N ）,记数列Cn的前n项和为Tn,问：是否存在正整数 入，对一切ne N,均有T4Tn恒成