概率统计复习专题.doc

1、概率统计 【重点知识回顾】 概率 (1) 事件与基本事件： 随机事件:在条件s下，可能发生也可能不发生的事件 事件 為宀越皿 不可能事件:在条件ST, 一定不会发生的事件 确定事件 必然事件:在条件S下，一定会发生的事件 基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个 基本事件；任意两个基本事件都是互斥的； 试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形 式来表示. (2) 频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值.频率往往 在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小. 随机事件的概 率是一个常数，不随具体的实验次数的变

2、化而变化. (3 )互斥事件与对立事件: 事件 定义 集合角度理解 关系 互斥事件 事件A与B不可能同时 发生 两事件交集为空 事件A与B对立，则A 与B必为互斥事件； 事件A与B互斥，但不 一是对立事件 对立事件 事件A与B不可能同时 发生，且必有一个发生 两事件互补 (4 )古典概型与几何概型: 古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型. 几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例. 两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的 基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个. (5) 古典概型与

3、几何概型的概率计算公式： 古典概型的概率计算公式: P(A) A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 几何概型的概率计算公式： ()构成事件A的区域长度(面积或体积) P A 试验全部结果构成的区域长度(面积或体积) 两种概型概率的求法都是“求比例” ，但具体公式中的分子、分母不同. (6) 概率基本性质与公式 事件A的概率P(A)的范围为：0 P(A) 1 . 互斥事件A与B的概率加法公式：P(AUB) P(A) P(B). 对立事件A与B的概率加法公式：P(A) P(B) 1. (7) 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,则它在n次独立重复试验中恰好发生k次 的概率是pn(k) = Cp

4、k(1 p)n k实际上，它就是二项式(1 p)+pn的展开式的第k+1项. (8) 独立重复试验与二项分布 一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验注意这里强调 了三点：(1)相同条件；(2)多次重复；(3)各次之间相互独立； 二项分布的概念：一般地，在 n次独立重复试验中，设事件 A发生的次数为 X, 在每次试验中事件 A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中， 事件A恰好发生k次的 概率为P(X k) Cn pk(1 p)n ：(k 0,1,2丄，n) 此时称随机变量 X服从二项分布，记作 X B(n, p)，并称p为成功概率. 统计 (1) 三种抽样方法 简单随机抽样

5、 简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法.抽样中选取个体的方法有两种：放回 和不放回我们在抽样调查中用的是不放回抽取. 简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限.从总体中逐个进行抽取，使抽样便 于在实践中操作它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性.每一次抽样时，每个个体等可 能的被抽到，保证了抽样方法的公平性. 实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解随机数表法：要理解好随机数表，即 表中每个位置上等可能出现 0, 1, 2,，9这十个数字的数表.随机数表中各个位置上出 现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可 能性. 系统抽样 系统抽样适用于总

6、体中的个体数较多的情况. 系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中 进行抽样时，采用的是简单随机抽样. 系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体 的编号分段，要确定分段间隔 k，当N (N为总体中的个体数，n为样本容量)是整数时， n k N ；当N不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数N能被n整除， n n 这时k N ;第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号，再按事先确定的规则 n 抽取样本.通常是将加上间隔k得到第2个编号(I k)，将(I k)加上k,得到第3个编号 (I 2k)，这样继续下去

7、，直到获取整个样本. 分层抽样 当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个 体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例 进行简单随机抽样. 分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出 各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步， 将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本. (2) 用样本估计总体 样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率， 我们常常使用频率分布直方图来表示相 应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布， 然后用样本的频率分布去估

8、计总体分 布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确. 用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处 理.作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤.画样本频率分布直方图的步骤：求 全距t决定组距与组数t分组t列频率分布表t画频率分布直方图. 茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于 记录和表示，但数据位数较多时不够方便. 平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程 度，其计算公式为s J- 0 ( X)2 .有时也用标准差的平方方差来代替标准差， n i i 两者实质上是一样的. (3) 两个变量

9、之间的关系 变量与变量之间的关系， 除了确定性的函数关系外， 还存在大量因变量的取值带有一定 随机性的相关关系. 在本章中，我们学习了一元线性相关关系， 通过建立回归直线方程就可 以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解. 分析两个变量的相关关系 时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估 计求出回归直线方程.通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出， 形成散点图.然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大 致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这 条直线

10、叫做回归直线， 其对应的方程叫做回归直线方程.在本节要经常与数据打交道，计算 量大，因此同学们要学会应用科学计算器. (4) 求回归直线方程的步骤： 第一步：先把数据制成表，从表中计算出 nn 2 x,y,Xiyi, x ； i ii i 6 第二步：计算回归系数的 a, b,公式为 nnn n Xiyi (x)( yi) i 1i 1i 1 nn 2 2 n x ( Xi) i ii i a y bx; 第三步：写出回归直线方程y bx a . (4)独立性检验 2 2列联表：列出的两个分类变量 X和Y，它们的取值分别为X1,X2和yi,y2的 样本频数表称为2 2列联表1 构造随机变量 (

11、a b)(咒)咒b d)(其中n 3 分类 y 1 y2 总计 X 1 a b a b X2 c d c d 总计 a c b d a b c d 得到K2的观察值k常与以下几个临界值加以比较: 如果 k 2.706, 就有90。的把握因为两分类变量 X和Y是有关系; 如果 k 3.841 就有95的把握因为两分类变量 X和Y是有关系; 如果 k 6.635 就有99的把握因为两分类变量 X和Y是有关系; 如果低于k 2.706，就认为没有充分的证据说明变量X和Y是有关系. 常用的统计图表 频率咕步 (1)频率分布直方图小长方形的面积=组距X组距=频率; 各小长方形的面积之和等于1; 、 亠

12、频率、 亠1 小长方形的咼= 组距，所有小长方形的咼的和为组距. (2)茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好. 3.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最 中间位置的一个数据(或最中间两 个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积 相等的分界线与X轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中 点的横坐标之和 1 方差：s2= n【（X1 X ）2+（X2 x ）2+ + （Xn X

13、）2. 标准差： s=n X1 X 2+ X2 X 2+ Xn X 2. 【典型例题】 考点：概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式， 对等可能性事件的概率、 互斥事件的 概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生 k次的概率、离散型随机变量分 布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。 例1、在平面直角坐标系 xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区 域，E是到原点的距离不大于 1的点构成的区域，向 D中随意投一点，则落 入E中的概率为。 例2某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后, 车上的乘客人数及

14、频率如下表: 人数 06 712 1318 1924 2530 31人以上 频率 0.1 0.15 0.25 0.20 0.20 0.1 (1) 从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是多少？ (II)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)停靠点出发后，车上乘客人数超过 18人的概率大于0.9,公交公司就要考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次 吗？ 考点：统计 【内容解读】理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，了解它们各自的特点及步骤.会 用三种抽样方法从总体中抽取样本.会用样本频率分布估计总体分布.会用样本数字特征估 计总体数字特征.会利用散点图和线性回归方

15、程，分析变量间的相关关系；掌握独立性检验 的步骤与方法。 例3 (1) 一个总体分为 A, B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本. 1 已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为 12 J5 1 (2) 设矩形的长为a，宽为b，其比满足b : a =一请画出上表数据的散点图； 请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出丫关于x的线性回归方程Y=bx+a； 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据 求出的线性回归方 程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ 0.618，这种矩形给人以美感， 2 称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的 初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次：0.5980.6250.6280.5950.63