方程与方程组知识点

1、第三章方程与方程组一、一元一次方程1 .等式用等号表示相等关系的式子，叫做等式.等式的性质：(1)等式的两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 即若 a=b，贝U am=bm .(2)等式的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为的数)，所得结果仍是等式.即a b若 a = b，贝y am = bm，或一 =一(m 工 0) m m2 方程含有未知数的等式叫方程叫方程. 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.求方程的解的过程叫解方程.3 .同解方程及方程的同解原理(1 )如果两个方程的解相同，那么两个方程叫同解方程.(2)方程的同解原理： 方程的两边都加上(或减去

2、)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程.0的数)，所得方程与原方程是同解方程. 方程的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为1，这样的方程叫做一元一次方程.4 .一元一次方程 在方程中，只含一个未知数，且未知数的指数是中考基础知识大扫描标准形式：ax + b=0(aH0)最简形式:ax = b(a H 0)补含字母系数的方程ax=b的解(1)若a H0，则方程有唯一解x =-；a若a=0，且b=0,方程变为0 - x=0,则方程有无数个解; 若a=0，且bM 0，方程变为0- x=b，则方程无解.(2)(3)5解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并

3、同类项，化为最简形式ax=b; (5)方程两边同除以未知数的系数(系数化为1)，得出方程的解.6 列方程解应用题的方法及步骤(1) 知数.(2)(3)(4)(5)审题：明确己知是什么，未知是什么及相互关系，并用x表示题中一个合理未根据题意找出能表示应用题含义的等量关系(关键一步).据等量关系列出正确方程.解出方程：求出未知数的值.检验、作答，检验应是：检验所求的解既能使方程成立，又能使它符合实际意义.7. 一（1）（4）（7）儿一次方程应用题的主要类型 和差倍分问题 （2） 百分比浓度问题 （5） 工程问题 （8）等积变形劳力调配商品利润率问题（3）行程问题（6）比例问题（9）数字问题&几个典

4、型问题(1)本金(2)利息(3)本息和(4)期数(5)利率储蓄问题顾客存入银行的钱叫本金 银行付给储户的酬金叫利息 本息和=本金+利息 存款的时间（年、月等） 每个期数内的利息与本金之比.利率为i，期数为n,则记本金为P,单利：本息和=本金+本金X利率X期数=本金X（ 1+利率X期数），即S=P（ 1+in）复利：本息和=本金（1+利率）n即S=P （1+i） n利息税=利息X税率=本金+ 利息一利息X税率 =本金+ 利息（1税率） 最后金额=本息和一税金 市场经济问题利润售价一进价 利润率=进价（2）进价，原价，售价，利润率的关系：（1）利润=售价一进价进价利润 原价X 0.1x 进价 打x

5、折：实际售价=原价X 0.1x .此时，禾U润率= =进价，折，折扣率为练习：原价为a,实际售价为 b则打行程问题进价有相遇问题，追及问题、逆（顺）流问题，上坡、下坡问题等，在运动形式上分直线 运动及曲线运动（如环形跑道、基本量之间的关系：路程时钟问题）=速度X时间（S=V t）相遇问题：S甲+ S乙+ v乙1 =S） , t为甲、乙相遇时间.V甲v乙ASoCS（2）追及问题： 曲=S乙+ s0 （ V甲V乙 ,s0为追及初距离），V甲t=v乙r+S01*中考基础知识大扫描工程问题基本量之间的关系：工作量 =工作效率X工作时间.常见等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量.增长率

6、问题基本量之间的关系: 百分比浓度问题基本量之间的关系:水中航行问题现产量=原产量X （1+增长率）.溶质=溶液X浓度.基本量之间的关系:V静+ “水=V顺，v静一v水=v逆，V顺一 逆=2v水，v顺+ 逆=2v静兀一次方程组1二元一次方程组的相关概念含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.一般形式：ax + by + c = 0（a H 0,b H 0 ）含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.2 .解二元一次方程

7、组（1）代入消元法（代入法）： 用含有x（或y）代数式表示y（或X），即变成y=ax + b（或x=ay + b）的形式; 将y =ax+b（或X =ay+b）代入另一个方程中，消去 y （或x），得到一个关于 x（或y）的- 1元- -次方程； 解这个一元一次方程，求出x（或y）的值； 把x（或y）的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求出y（或x）的值，从而得到 方程组的解.（2）加减消元法（加减法）： 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适 当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等； 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得

8、到一个一元一次方程； 解这个一元一次方程； 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得 到方程组的解.补三元一次方程组三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.解三元一次方程组的一般步骤： 利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，逍去两组中考基础知识大扫描中的同一个未知数;得到关于另外两个未知数的二元一次方程组;:解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；得到一个一：i将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程,元一次方程；

9、元一次方程，求出最后一个未知数的值，从而得到方程组的解.3 二元一次方程组的应用；解这个能分析出题目中的等量关系列二元一次方程组.*4 .二元一次方程与一次函数新课标要求：能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.(1) 一次函数与二元一次方程(组)以二元一次方程ax + by=c ( a,b H 0 )的解为坐标的点组成的图象与一次函数a cyjX+c的图象相同.元一次方程组必+ b=G的解可以看作是两个一次函数y = _ ai X十G和02 X + b2 y = c2b1b,a?C2y =的图象的交点.b2b2(2) 一次函数与二元一次方程(组)的应用 在实际生活中，如何应用函数知识解

10、决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合 题意的函数解析式，再利用方程(组)求解 .元二次方程1.一元二次方程的概念2的整式方程叫做一元二次方程.方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程. 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一般形式：ax2 +bx +c = 0(a H 0)其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数；C叫中考基础知识大扫描做常数项.2 .一元二次方程的解法(1) 直接开平方法形如(X +a)2 = b的一元二次方程当b0时，x+ a = Jb , x = aJb，当b 0时，它的根是:对于一元二次方程ax? +bx + C =

11、 0(a H 0),xbJb2-4ac2a用公式法解一元二次方程的一般步骤: 把方程化为一般形式，确定a,b,c的值;求出b2 - 4ac的值;若b2 -4ac 0，则把a,b,c及b2 -4ac的值代入一元二次方程的求根公式:2ax = bb 4ac，求出Xi,X2;若b2 -4acc0，则方程没有实数根.(4)分解因式法、【/当一元二次方程的一边为 0时，将另一边分解成两个一次因式的乘积，这种解一兀 次方程的方法称为因式分解法.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 将方程的右边化为零； 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；_解这两个二兀一次方

12、程，它们的解就是原方程的解.! 补判别式、韦达定理:1 .一元二次方程根的判别式我们就把b2 -4ac叫做一元二次方程 ax2 +bx +c = 0的根的判别式，通常用“来表示，即A = b2 -4ac .I元二次方程根的情况与判别式的关系:方程有两个不相等的实数根;方程有两个相等的实数根;也0u方程没有实数根;也0u方程有两个实数根.2 .一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)i 如果方程ax2 + bx + c = 0(a H 0)的两个实数根是 X1,X2，那么两根之和，等于方程！II!的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数；所得的商，即 +X2

13、=-bc!,x1x .!aai韦达定理的两个重要推论：2 推论1：如果方程X + PX +q = 0的两个根是x1, x2,那么xx2 = -p , x1X2 = q .推论2 :以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是I2! X 一(为 +x2)x +為2 =0.元二次方程的根与系数的关系的应用：(1)验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根. 由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数.不解方程，可以利用韦达定理求关于x1,x2的对称式的值，如2i X1十2X2丄1X1 -X2 ,11X1X2X1X2等等.丄+丄，X12X2 +X1X22,X1X

14、2(8)说明:如果把含Xi,X2的代数式中Xi,X2互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数;式为关于x1,x2的对称式.已知方程的两根，求作这个一元二次方程. 已知两数的和与积，求这两个数.已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值. 证明方程系数之间的特殊关系.解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等.根的符号的讨论:利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a H 0)；的两根为x1,x2，则(1) A0,且X1X2 aOh两根同号.也 0,且XiX2 aO, Xi +X2 aO二两根同正;也 0,且XiX2 0, Xi +X

15、2 cOu 两根同数.(2) AaO,且XiX2 0二两根异号且正根的绝对值较大;补二元二次方程组!含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.关:2 2 ；ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0( a,b,c 至少有 ia,b,c叫做二次项系数；dX , ey叫做一次项，d,e iac cO，且为+X2 0二两根异号且负根的绝对值较大.I于X, y的二元二次方程的一般形式为：I22一个不为0). ax ,bxy,cy叫做二次项， 叫做一次项系数；f叫做常数项.:由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成的方

16、程组都叫做二元二次方程组.I 二元二次方程组的解法：:i由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法：!(i)代入法!把二元一次方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示；:把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元方程；解这个一元方程，求得一个未知数的值；!把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值，否则，如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现增解的问题；:所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组合在一起，就是原方程组的解.:(2)逆用韦达定理法X, y看做一；!1X + y = a!对型如j y的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系

17、，把:.xy-b元二次方程_ -z2二az工b二0 的两个根解这个方程，一求得的ZsZz 的值，戲是_ x, y_的值.所Xi =乙，X2=Z2,以原方程的解是两组对称解： 1% =Z2； “2=6!2 .由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法: 一般步骤：:先把方程组中的一个方程分解降次，化为两个一次方程；组成两个由一个二元一次:将这两个一次方程分别与原方程组中的另一个方程联立，方程和一个二元二次方程组成的方程组；解这两个新的方程组，所得的解都是原方程组的解四、分式方程新课标要求：会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)(1) 分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫分式方程.(2) 分式方程的解法.它的一般解法是:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式