数学与应用数学毕业论文数学的类比思想方法及其教育功能

1、梧州学院毕 业 论 文论文题目 数学的类比思想方法及其教育功能系 别 数理系 专 业 数学与应用数学 班 级 数学1班 学 号 学生姓名 指导教师 完成时间 2011 年 3 月梧州学院制摘要随着教育改革的深入，学生素质教育，创新能力的培养越来越受教育界的关注。数学教育对学生的成才培养起着至关重要的作用。而类比似乎在一切发现中有作用，而且在某些发现中有它最大的作用。因此类比作为一种数学思想方法正为越来越多的数学家所研究。随着数学类比思想方法研究与应用的推广，类比思维也越来越多的渗入到数学教育改革及社会建设的各个方面。本文主要论述类比思想方法在数学解题应用技巧，数学教育功能方面的内容。从了解数学

2、类比思想的解题应用技巧及其思想功能，到对类比解题和类比思维作用进行分析，再进一步探讨数学类比思想在数学教育及素质教育中的功能。 为了清晰的叙述类比思想方法的内涵及应用功能，本文将要论述的内容分为四部分，叙述的各部分内容是逐渐深入展开的。本文对类比思维进行探索得出的结论是可靠的，在不同场合都是适用的。 关键词：类比思想 类比方法 类比解题 类比功能 mathematical thought method and its education function analogyabstract with the deepening of the reform of education, student

3、s quality education and cultivation of innovative ability is more and more suffer educational circles the attention. the education of mathematics plays a vital role in cultivating students stone-sculpture. the analogy seems to have effect in all discoveries and in some discovery has its biggest effe

4、ct. therefore, the analogy as a mathematical way of thinking is researched by more and more mathematicians. with the promotion of researching and applying mathematics analog ideology, analogical thought also has more and more entered into education reform and mathematical all aspects of social const

5、ruction. this paper mainly describes the content of the skills used of analogy thought method in mathematics problem-solving and mathematics education function. through understanding the mathematical problem solving skills used analogy thoughts of ideological function, to analyses the analogy proble

6、m solving and analogical thought effect, and then further explores the function of mathematical thoughts in mathematics education and quality education. in order to clearly describe the connotation and function of analogy thinking method, this essay divide the contents of treatise into four parts, d

7、escribing each section of the content are gradually expanded. the conclusion of this paper obtained from exploring the analogical thought is reliable. it is suitable in different situations. keywords: analogy thought; analogy method; analogy problem-solving; analogy role 目录一、关于类比的定义，什么叫类比（一）、定义 1（二）

8、、定义的解析 1二、类比思想方法在解题中的应用（一）.类比在函数中的应用1、类比证明函数 12、类比解函数题 2（二）.类比在数列中的应用1、类比思想在数列解题中的探索应用 32、类比思想在数列求和中的应用 4（三）.类比在几何中的应用1、在几何证明中的应用 52、在几何解题中的应用 6（四）、类比在其他综合题的应用例1，例2； 7（五）、总结 9三、类比的局限性 9四、类比的思想方法及教育功能（一）.类比的思想方法：1,2,3； 10（二）.类比思想方法的教育功能1,2,3,4,5； 10参考文献 14一、关于类比的定义，什么叫类比（一）、定义关于类比的定义解释，版本很多。以下所摘述的是我们

9、今天所看到的关于类比定义描述的两种版本：1.所谓类比，是通过两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或类似之处，推断出它们在其它方面也可能相同或类似的一种推理方法。52.类比是根据两个对象具有某些相同的属性而推出当一个对象具有另外一个性质时，另一个对象也具有这一性质的一种推理方式。类比的实质就是信息从模型向原型的转移。6（二）、定义的解析在波利亚看来：“类比是某种类型的相似性。我们可以说它是一种要确定的和更概念性的相似。但是我们可以把话说得更确切些。类比和其他类型的相似性之间的本质差别，在我看来在于思考者的意图。相似对象彼此在某些方面带来一致性。假如你想把它们的相

10、似之处化为明确的概念，那么你就把相似的对象看成是可以类比的。假如你成功地把它变成清楚的概念，那么你就阐明了类比的关系。” 3由上面两种类比定义的叙述，结合波利亚的描述，我们看到，对类比所下的定义，有认为类比是一种推理方式方法的，也有的认为类比是一种思维过程。其实对类比下定义是一个什么样的过程，如何下定义，我们的探究还是相对较少，也没有比较具体的描绘过这方面的内容。或许是由于像类比这样抽象的概念本来就应该用其性质来阐述的。定义与性质在很多情况下，都是抽象概念下定的相互依据。因此，关于类比定义的下定，也就应该由其性质出发，由其性质来下定义。而类比思维的成型是理性与感性认识交织成长的思维模式的形成。

11、人的类比思维是与其成长经验所积累的类比物有很大关联的。人所积累的类比物越多，那么其运用类比思维的思维方式就会越多，从而渐渐形成特定的类比思维模式，也就是类比思维的成型了。类比思维的延伸是在对类比思维的运用过程中所衍生出来的思维模式的泛指，并没有过确切的界定或者描述。是比较含糊抽象的提法来的，与其说是类比的延伸，不如说是类比的联想构造与复杂运用过程。二、类比方法在解题中的应用（一）.类比在函数中的应用1、类比证明函数例1.1.1，已知r,a为正常数，且函数满足=，求证是周期函数。5分析：要求证一个函数是周期函数，通常是通过观察估算出它的一个周期，然后利用周期函数的定义或者性质加以证明。本题想要通

12、过观察，直接得出它的一个周期并不容易。而观察一个函数的周期，常常需要运用类比思维，将该函数的式子形式联系与其有相同形式的函数进行对比。从相似周期函数形式的周期推测该函数的可能周期，再进行证明，才有可能尽快得出结论。在这里，我们如果将已知条件与tan(x+)= 进行比较，可发现它们结构上十分相似而函数tanx的周期为，是的4倍。类比此函数式，我们即可猜想4a是函数的一个周期，从而展开证明。证明：=f(x+2a)=f(x+a)+a= f(x+4a)=f(x+2a)+2a=f(x)即证得4a是函数的一个周期，函数是一个周期函数.2、类比解函数题例1.2.1，已知实数x,y满足方程=,问点p(x,y)

13、的运动轨迹是什么. 5分析：本题若一开始进行平方运算，将会使得解题很难堪。如果对等式两边分别作形式类比就会发现可表示动点p到定点（1,0）的距离，而与动点p到定直线x-y+3=0的距离有一定的类似形式。故：=表示动点p到定点（1,0）的距离与它到定直线x-y+3=0的距离之比为定值，所以点p的运动轨迹为双曲线（平面内到一个定点的距离与到一条定直线的距离的比为常数e的点的轨迹为双曲线, e1）。（二）.类比在数列中的应用1、类比思想在数列解题中的探索应用例2.1.1，求前n个 自然数的平方和.2思路分析： 我们观察前几项的和，不能发现什么规律，转而想到与=1+2+n 在形式上的某些相似之处，而=

14、n(1+n)，我们不妨将n，联系起来考虑看能否发现新的线索：n12345136101515143055我们先看看是如何得到的，将第二行与第一行对应数作比，可得：=；=；=；=；从中我们可以发现规律=，由此可得=n(1+n)，这是我们已有的结果.这个方法使我们看到新的希望，由此我们可以尝试用类似的思路求.将第三行与第二行对应数作比，可得：=；=；=；=；=；。再观察，很容易得出规律：=，于是得：=n(n+1)(2n+1).这便是我们所要寻找的结果，当然类比得到的结论还应该要进行严格证明，这道题只要用数学归纳法便可以证得结论，这里不再赘述。同时由上述，的求解思路，我们可以进一步探求，。它们是否也有

15、类似的关于n的关系式。不妨再将， ，联系起来再进行探索：n1234515143055193610022511798354979将第三行与第二行对应数作比，可得： ： ；。再观察，可以得出规律：=于是得：=这里又得到了我们想要的结果。同样将第三行与第二行对应数作比，可得： ；。观察该比例数列的分母：1,9,36,100,225；可以确定其为1,3,6,10,15的二次方值，且可以断定其分母为三级等差数列，公差为1；又发现分子：1,17,98,354,979；有相邻数值差为某个数的四次方；尽管如此，分子分母都没有任何能与n具有确定的规律或联系关系。因此据本人探究得出的结论是：随着数值次数的增加以及

16、和的无规律增大，这比例关系与项数n再无法用一定的关系式表示。或许用其它方法进行探索会有所收获，只是用类比来探求，就只能在此打住了。由以上得出的结论，应该认识到，应用类比进行推算，并不是总能得到想要的结果的。它给我们提供了问题探索的思路，借鉴这样的思维模式，我们或许会有所收获，同样也有可能收获甚微。但无论如何，类比思想都是解决未知问题的首选。2、类比思想在数列求和中的应用例2.2.1，求证函数2思路分析：同样观察原函数式的形式，联系与之相似的函数或类似式子形式。在此，我们得知此题形式与的结构类似，类比此式熟知的拆项求和法进行拆项，即由=（1-）+（-）+（-）+（-）可以推得：=-tan(n-1

17、)因此得 = (tan1-tan0)+(tan2-tan1)+-tan(n-1)=-tan0=原命题即得证.这类命题之所以难证，是由于不容易找到适用的类比物，只能凭其外观结构进行联想猜测。因此，这就需要我们在学习中熟记一些常用的类比物，掌握寻找类比物的方法，提高对相似类比各类形式的敏感度。从而有效运用类比法进行类比解题。（三）、类比在几何中的应用1、在几何证明中的应用例3.1.1，设，是四面体a-bcd四个面上的高。p为四面体上任一点，p到相应四面的距离分别为,。2（如右下图）这里仅借用字母p、h表示各高。求证：分析：运用类比的方法，联想平面几何的类似问题：设，是abc三角形边上的高，p是ab

18、c内任一点。p到相应三边的距离分别为, ,。在平面上，其证明可如下所示： = 同理 又 =1通过类比该平面几何问题的解法，可以获得原空间几何问题的解法： 同理 , , 又 =平面几何知识向空间几何的类比推广有助于将几何问题的研究向更高的层次推进，形成较为系统的几何知识系统，让学生更深入全面的学习掌握几何知识。同样，空间几何问题平面化，将空间问题类比简化到平面上来解决，将会收到很好的解题效果。因此，空间几何与平面几何知识之间的类比转化，是学习几何知识的甚为关键的思路。2、在几何解题中的应用例3.2.1，在平面几何中，有勾股定理：“如果直角三角形abc的两边ab,ac互相垂直，则有”。若将直角三角

19、形拓展到空间的直角四面体，类比勾股定理，能得到什么样的结论？2解析：如图3.四面体abcd（adbd,bddc,cdad）。设ad=bd=cd=1,四个 面abd,bcd,acd,abc的面积分别记为，s。则有：=,=,s=，=,= 。;。由即可以得到了我们想要探寻的结论。也就是。上面求解是建立在ad=bd=cd=1这一特殊的三边想等的情形下的，如果是在一般的情形，即如设ad=1，bd=2，cd=3时，空间中的各个面的平方，与还有关系式吗？会不会是形式呢？分析： ad=1 bd=2 同样 ad=1 cd=3 bd=2 cd=3 又 ad=1 bd=2 cd=3 ab= 同样 bc= ac= 又

20、 ； 平面几何知识向空间几何的类比推广，可以让学生更容易接受和吸收新的知识。同时可以开拓和培养培养人对未知域的探求思维。（四）、类比在其他综合题的应用例4.1.1，对于任意x,y,z,求证：+7分析：从所证不等式的各因式的结构看，其与余弦定理：=+-2abcosc有相似之处（只要c=即可）。要证明这个不等式可通过结构类比，构造有一个角为的三角形来展开证明。解：取平面上的一点o，作圆周角的三等分线，在三等分线的三条射线上分别截取oa=x,ob=y,oc=z,这样a，b，c即构成一个三角形。由三角形余弦定理有：=ab, =ac, =bc，由三角形两边之和大于第三边，即证得原不等式。通过数形类比结合

21、，从结构形式上的类似性去捕捉解题的突破口，有时候会获得比较完美的解答。所以在平时，要积累类比形式结构的类比源，解题时才有类比参照物。例4.1.2，规定：= ，其中xr,m是正整数，且=1，这是组合数（n,m是正整数，且mn）的一种推广。8（1）求的值；（2）组合数的两个性质（=，+=）能否推广到（xr,m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由。分析：本题新的规定“（xr，m是正整数）”是组合数（n,m是正整数，且mn）的一种推广。此题目的是考查考生对类比思想方法的自觉运用以及创新思维的能力。解：（1）根据新规定可直接进行演算：=-11628。（2）性质不能推

22、广。反例：xr,m是正整数，故取x=,m=1时，有意义,但没有意义。性质可以推广，而且推广形式不变：+=（xr，m是正整数）。 证明：+=+ =（x+1）= (x+1)(x+1)-1(x+1)-2(x+1)-m+1 =由该题的解题过程我们发现，类比思维解题不仅是解题的好思路，还是创新思维的起源。（五）、总结结合以上数学题目应用类比的求解可以归纳出，类比思想方法大致可以分为五类：1.结构类比；2.简化类比；3.降维类比；4.转化类比；5.数形类比。4各类比思维方法的应用，要从题目的实际出发，灵活运用。在解题的过程中积累类比思维的运用经验，在实际操作中才能够快速找到问题解决的途径。运用类比思维解题

23、，不仅可以将问题简单化，还可以寻找到最为优越的解题思路，培养创新思维。三、类比的局限性大胆且令人惊奇的类比，在数学中经常进行：数与式的类比，数与形的类比，有限与无限的类比，曲与直的类比，平面与空间的类比1然而类比失败的事也是经常发生的。比如，尺规可以顺利地二等分、四等分任意一个角。类比地认为：“尺规能三等分任意角”却不对；实数域中可以比较大小，类似的比较大小，虚数域中却不行1类比法有非常广泛的应用，但它毕竟是一种合情推理，而合情推理是一种或然性推理，前提为真结论未必就真。运用类比常常得到正确的结论，但是由类比导出的错误也不少见。要提高类比结论的可靠程度，就要尽可能地确认对象间的相同点。一般地，

24、相同点越多，结论的可靠程度就越大，因为对象间的相同点越多，二者间的关联度就会越大，结论就可能越可靠。反之，结论的可靠程度就会越小。此外，要注意的是，类比前提中所根据的相同情况与推出的情况要带有本质性。如果将某个对象的特有情况或偶有情况，不加丝毫考究的类推到另一对象上，就会出现“类比不当”或“机械类比”的错误。因此类比得到的结论正确与否还要经过严格的证明。类比的或然性主要是由于，类比的客观基础限制了类比结论的可靠性；类比的逻辑根据不充分；类比推理是根据两个或两类事物在一些属性上的相似或相同，而推出它们在其它属性上也相似或相同。所有的类比推理都带有一定的机械性，因为这种推理有时候并没有考虑到所类比

25、的属性是本质属性还是非本质属性，也未考虑这些属性与推出属性之间是不是具有必然的、本质的联系。因此就需要增加类比项，并以类比对象的本质属性为根据。否则就容易成为一种机械类比。1因而运用类比时不可以一味的模仿思维模式，缺乏自我创造，要从事物的本质出发进行类比思考，极力避免推理中的逻辑错误。四、类比的思想方法及教育功能（一）. 类比的思想方法1.与其它思维方法相比，类比法主要是属平行式的思维方法。与其它推理相比，类比推理多属平行式的推理。大多数的类比都是在相同层次之间进行的。亚里士多德在前分析篇中指出的：“类推所表示的不是部分对整体的关系，也不是整体对部分的关系”1所说的就是这个意思。2.类比作为一

26、种信息转移的桥梁，不仅是一种良好的学习方法，能使学生更好的巩固旧知识，掌握新知识，而且是一种理智的解题策略，能将复杂的问题简单化，陌生问题熟悉化，抽象的问题形象化。3.类比方法常与演绎、归纳综合运用，另外它也离不开分析。类比、演绎和归纳通常是靠猜想与联想直觉等智力活动联系起来的，因此必须自觉掌握创造性思维特性并运用到实际学习生活中，这样才能形成比较系统完整的类比思想。（二）类比思想方法的教育功能1.类比是数学及科学发现的重要工具类比是诱发灵感、发明创造的重要源泉之一。科学史上很多重要的发现，往往发端于直觉类比。牛顿将苹果类比行星，引出万有引力定律；阿基米德将人体类比王冠，得出阿基米德定律;1鲁

27、班由茅草叶子边缘类比联想到小齿轮锯子，瓦特由烧开的水壶类比联想到蒸汽机的应用，都是很典型的例子。飞机的发明、潜艇的制造等等都有赖于仿生学，而这些都有赖于类比思维的运用。类比似乎在一切发现中有作用，而且在某些发现中有它最大的作用。在某些数学发现中就体现出其重要作用：著名的哥德巴赫猜想得益于类比；关于凸多面体的欧拉猜想发端于类比；欧拉在解决著名的伯努利问题时也是凭着大胆的类比。有人说，类比是数学活动中“伟大的引路人”。1立体几何的很多定理可以与平面几何中相应定理类比，代数中很多法则可以与算术中相应法则类比，等比数列与等差数列的对应知识点的类比，欧几里得空间可以与几何空间类比，概率空间可以与测度空间

28、类比。这些类比在数学认识活动中均起着过渡知识的桥梁作用。正如开普勒讲过：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的。” 12.类比是一种基本思维方式学习是学习者主动建构内部心理表征的过程；学习是一个双向建构的活动过程。即一方面学习者对新信息的理解是要借助于已有经验的，超越所提供的新信息而建构的；另一方面当新信息进入已有经验系统后，对已有经验系统也要产生影响，导致经验的重组和改造；学习者已有发展水平是学习的决定因素。9一方面，由于学生已有的经验和知识在新概念、新知识的学习过程中发挥着十分重要的作用。因此，在数学教学中应当十分重视如何帮助

29、学生去获得必要的直观经验和预备知识。1另一方面，在数学教学中应当努力帮助学生较好地去实现由抽象向具体的转化。即帮助学生把抽象的数学概念与他们已有的知识和经验联系起来，从而建立起适当的心理表征。这正是数学教学十分重要的一环。1正如波利亚所指:“抽象的道理是重要，但要用一切办法使它们能看得见摸得着。” 3由此，可以清晰的认识到类比方法的重要作用。具体地说，类比法正是将已有的知识与新的学习（认识）活动联系起来的一种重要方法。10没有类比推理的参与，学生所面对的新概念、新知识就无法在原有的认识结构中找到“固着点”，无法进行对新知识的“顺应”和“同化”，难以理解新知识、掌握新知识。如对于高维空间的概念，

30、如果不将其与二维、三维、四维空间的概念进行类比，学生就很难理解n维空间的概念，也无法理解n维空间中的向量及其数性积和矢性积等等的应用。在代数式的有关内容的学习中，常常需要将其运算法则与数的运算法则进行类比，如果不进行这样的类比，学生就很难全面正确理解有关知识并熟练地进行运算。1总而言之，可以说学生已有知识和经验为新知识、新概念的学习提供了必要的“认知基础”，而类比法则是通过将新概念、新知识与熟悉概念的类比，使学生能更好地去认识、了解新的概念，从而建立起适当的心理表征，更好的掌握新知识新概念。这种将新旧知识进行类比是学生学习数学的一种基本过程，是学生学习数学，构建、扩充和完善数学认识结构的一种基

31、本方法。13.类比是一种有效的记忆方法在数学教学过程中，提高学生的记忆效率，能使学生的知识不断积累和丰富，学生智力得到不断的发展，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。因此，在教学过程中提高学生的记忆效率有着重要的意义。1心理学的研究表明：记忆分为识记、保持、再认和再现几个基本过程。而识记是一种反复感知的过程，借以形成比较巩固的联系，即“信息的输入”；保持是把识记的东西保留下来，即“信息的处理和储存”；再认和再现是过去感知的东西重新出现感到熟悉或重新呈现出来，即“信息的提取”。所以要提高记忆的效率，需要注重“识记”和“保持”两个过程，努力提高“识记”的效果，延长“保持”的时间。通过类比联想，可

32、以提高学生的记忆效率，真正做到减轻学生的负担。类比联想是从性质接近，形状相似的同类事物中引起联想或具有相反特点的事物中引起联想。这样的联想对学生记忆有很大帮助。1利用类比联想进行复习，可以建立起有关知识间的本质的、内在的联系，使学生更深刻地理解知识。使学生头脑中知识更网络化、系统化。14.类比的形成及其对迁移学习的促进所谓学习迁移，指的是先前的学习对后继学习的影响，或一种知识、技能的学习对另一种知识的学习的影响。从认知心理学的观点来看学习迁移就是已有认知结构对新知识、新技能学习的影响。11由此可见，学习较复杂技能，主要取决于是否已掌握较简单的技能。基本技能掌握得越熟练，提取时就越容易，同时也就越有可能迁移到学习较复杂的技能中去。所谓横向迁移，就是把习得的内容应用于类似的新情境中去。因此，让学生在各种不同情境中运用某种技能，有助于学生形成横向迁移的能力，从而为纵向迁移打好迁移基础。12类比的实际就是，根据两个对象之间的相似，把信息从一个对象（类比物）转移给另一个对象（目标物）。类比是一个过程，学习迁移是一种现象。通过类比可以形成或促进学习迁移。实质类比促进正迁移，机械类比则引起负迁移。所以，类比迁移就是