2018寒假半角模型

1、标准实用文案半角模型1过等腰ABC (AB=AC )顶角A引两条射线且它们的夹角为2 ZA，这两条射 线与底角顶点的相关直线交于 M、N两点，贝U BM、MN、NC之间必然存在固 定的关系，这种关系仅与两条相关直线及顶角 A相关解决办法：以A为中心，把 CAN (顺时针或逆时针)旋转a度，至 ABN ,连接MN结论：1、AAMN zAMNMN=MN 2、若BM、MN 、N B共线，则存在x+y+z型的关系若不共线，则 BMN、中，/MBN 必与/A相关应用环境：1、顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为 30 、45 、60 、75 90。，或它们的 补角为这些特殊角度的时候；2、正方形、菱形等也

2、能产生等腰三角形3、过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的 邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边4、此等腰三角形的相关弦半角模型1800.丄且条件： 2思路：（1 ）、延长其中一个补角的线段（延长CD到E,使ED=BM ，连AE或延长CB到F,使FB=DN连AF ）结论：MN=BM+DNCMN2ABAM、AN分别平分ZBMN和ZDNM文档（2）对称（翻折）思路:分别将ABM和ADN以AM和AN为对称轴翻折，但一 定要证明 M、P、N三点共线.(/B+ ZD= 1800且AB=AD )例题应用：例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边

3、BC、CD上移动，且满足MN=BM+ DN，求证：./MAN=45.CCMN2AB.AM、AN分别平分/BMN和ZDNM.D思路同上略.例2拓展：在正方形ABCD中，已知ZMAN= 45，若M、N分别在 边CB、DC的延长线上移动， 试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系. .求证：AB=AH.（提示）例3.在四边形ABCD中，ZB+ ZD= 180 , AB=AD，若E、F分别在1EAF BAD.边BC、CD上，且满足 EF=BE + DF.求证：2（提示）例 4, 在ABC 中，AB=AC , /BAC=2 /DAE=120 若 BD=5 , CE=8 ,求 DE。例五请阅读下列材料：已

4、知：如图1在Rt ABC中， BAC 90 , AB AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若 DAE 45 探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED , 使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1) 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式， 并对你的猜想给予证明；(2) 当动点E在线段BC 上,动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条 件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.图1例6探究：(1)如图1 ,在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且/EAF= 4

5、5试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结(2) 如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形 ABCD中，AB = AD , ZB+Z1D = 180 ,E、F分别是边BC、CD上的点，且/EAF二？ /BAD ”，贝9( 1)问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(3) 在(2)问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明 BC图】练习巩固1:如图，在四边形 ABCD中，ZB= ZD= 90 , AB=AD ,1 EAF BAD

6、.若E、F分别在边BC、CD上的点，且2.求证：EF=BE+ DF.BE C(提示)练习巩固2 ,已知：正方形ABCD中，MAN 45，绕点A顺时针旋转，它 的两边分别交CB、DC (或它们的延长线)于点 M、N .(1) 如图1,当 MAN绕点A旋转到BM DN时，有BM DN MN .当MAN绕点A旋转到BM DN时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？ 如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2) 当 MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明.D 90，巳F分别是边练习巩固3(1)如图，在四边形ABCD中，AB AD, B

7、BC,CD 上的点，且 EAF = - BAD 求证：EF BE FD ； 2D(2)如图在四边形 ABCD中，AB AD, B+ D 180 , E,F分别是边BC,CD上的点,且EAF - BAD ,(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.2DF(3)如图，在四边形 ABCD中，AB AD , B ADC 180 , E ,F分别是边BC,CD延长线上的点，且 EAF 1 BAD ,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证2明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.(4)如图，将边长为 4cm的正方形纸片 ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处

8、，点C落在点N处，MN与CD交于点P,连接EP.(1 )如图，若M为AD边的中点， AEM的周长=6 cm ; 求证：EP=AE+DP ;(2 )随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点 M不与A、D重合)，APDM的周长是否发生变化？请说明理由.(5).如图17,正方形ABCD , E、F分别为BC、CD边上一点.(1) 若/EAF=45o .求证：EF=BE+DF .(2) 若NAEF绕A点旋转，保持/ EAF=45 o，问zCEF的周长是否随/ AEF位置 的变化而变化？(3) 已知正方形 ABCD的边长为1，如果/CEF的周长为2 .求ZEAF的度数.图171练习巩固 4.如图，五边形

9、ABCDE 中，AB=BC=CD=DE=EA , CAD - BAE ,2求/BAE练习巩固5如图，已知在正方形ABCD中， MAF445。，连接BD与AM ,AN分别交于E、F两点求证：(1)MN=MB+DN(2)点A到MN的距离等于正方形的边长;(3) VCMN勺周长等于正方形 ABCD边长的2倍;SWABCD2AB ；S/CMN MN ；(5) 若 MAB=20 ，求 AMN(6) 若 MAB0 p p 45o，求 AMN(7) EFEWdF ；(8) VAENWvafM等腰三角形;(9)B/AEFSyAMN练习巩固ABC外一点，且 MDN直线AB，AC上移动时，ABC的周长L的关系.6

10、 .在等边 ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点 M , N , D为BDC 120，BD CD，探究：当点M，N分别爱AMN的周长Q与等边60 ,BM，BN，MN之间的数量关系及DNCCBM , NC，MN之间的(1) 如图，当点M ,N在边AB ,AC上，且DM数量关系式_此时QL(2) 如图，当点M ,N在边AB ,AC上，且DM 论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(3) 如图，当点M ,N分别在边AB ,CA的延长线上时，若AN x，则Q时,DN时,猜想(1)问的两个结用x，L表示)练习巩固7如图所示，ABC是边长为1的等边三角形，经DC是顶角为120 的等腰三角形，以D为顶点

11、作一个60。的MDN，点M , N分别在AB , AC 上, 求AKMN的周长练习巩固 8 如图，在正方形 ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求ZBAE+ /DCF为多少度巩固练习9、（三新练习册P131 ）如图1，RtKBC李t圧DF，/ACB= /F=90小=ZE=30 . DF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K.如图 2、图 3，当ZCDF=0 或 60。时,AM + CKMK（填“ ”，“ ”或“ ”）.MK,证明你所得到的猜想：如图1，当0 vQDFv 60。时,AM+CK结论.如果MK2 CK2 AM2，请直接写出/ CDF的度数和的值.图3*必会结

12、论 图形研究正方形半角模型(2)求证：CE.2 DG : CF . 2BH ； EF(3)求证：AB2BG DH ；AG2BG HG ;吏CEDFCF【例】已知：正方形 ABCD , E、F分别在边BC、CD上，且EAF 45，AE、AF 分别交 BD 于 H、G，连 EF .一、全等关系(1 )求证： DF BE EF : DG2 BH HG2 ； AE 平分 BEF，AF 平分 DFE .、相似关系三、垂直关系(4)求证：AG EG :AHFH : tan HCFABBE(5)、和差关系求证： BG DG2BE ， AD DF 一 2DH ； | BE DF |2 | BH DG |.中考

13、链接-一正方形二相关题型-半角模型1，(2016石景山28 ).在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE.(1) 请你在图-1画出ABEM，使得ABEM与BEC关于直线BE对称；(2) 若边AD上存在一点F,使得AF+CE=EF，请你在图2中探究ZABF与ZCBE的数量关系并证明；(3) 在(2)的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CEvDE，请写出求cos /FED的思路.(可以不写出计算结果).备用图图1图2答案石景山28 . (1 )补全图形，如图1所示.1 .分(2) ABF与 CBE的数量关系：ABF CBE 45 . 2分证明：连接BF , EF，延长DC到G，使得CG四边

14、形ABCD为正方形，AB BC， A BCD ABCZBAF zBCG .BF BG， ABF CBG .VAF CE EF， EF GE .4分 BEF =zbeg ./.ZFBE = ZMBEABF CBE . ABF CBE 45 .5 分(3)求解思路如下：a.设正方形的边长为3a , AF为x，则EF x a , DF 3a x ；2 2 2b .在 Rt AEFD 中，由 EF DF DE ,可得x23a x22a从而得到x与a的关系2x 3a ;c.根据cos HD H f，可求得结果.7分2, (2016门头沟28 ).在正方形ABCD中，连接BD .(1) 如图1，AE丄BD

15、于E.直接写出/BAE的度数.(2) 如图1，在(1 )的条件下，将 AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30。后得到BE，AB与BD交于M， AE的延长线与BD交于N . 依题意补全图1 ; 用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明.(3) 如图2，E、F是边BC、CD上的点，ACEF周长是正方形 ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路.(不必写出完整推理过程)BCFB EC门头沟28 .(本小题满分7分)解：(1 )/BAE=45 . 1分(2)依题意补全图形(如图1)；分 B M、 DN 和 MN 之间的数量关系是B

16、 M 2+ N D 2= M N 2. 3 分证明：如图1，将AND绕点A顺时针旋转90。，得AFB.zADB= ZFBA，/仁 Z3 , DN = BF, AF=AN .正方形 ABCD , AE 丄 BD ,zADB =zFBM =由勾股定理得fb2+bm2=fm2.旋转ZABE 得到ZABE,/zEAB =45 ,/2+ /3=90 Y5 45又 v/1= Z3,/2+ Z1=45 .即/FAM =45 ./FAM = ZEAB =45 .又.AM=AM , AF=AN , FM 也 ANM .图 2FM = MN .又.fb 如图 3，当 ZBAC= ，(0 90 ，ZDAE=- 时，

17、BD、DE、EC 应满足 的等量关系是【参考：sin2cos21+ bm2=fm2,DN2+BM2=MN 2. 5分(3)判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路如下：a.如图2，将ADF绕点A瞬时针旋转90。得ABG ,推出DF=GB;b .由:EF的周长等于正方形 ABCD周长的一半，得EF=DF+BE;c.由 DF=GB 和 EF=DF+BE 推出 EF=GE，进而得AEG也 AEF;d .由KEGAEF 推出 ZEAF= ZEAG=45 ;e.与同理，可证MN2=BM2+DN27分3 (. 2016 模(1)如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，/EAF=45。，

18、连接EF，贝U EF、BE、FD之间的数量关系是：EF= BE+ FD .连结 BD，交 AE、AF 于点 M、N，且 MN、BM、DN 满足MN2 BM 2 DN2，请证明这个等量关系；(2)在AABC中，AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点. 如图2，当ZBAC=60 ,QAE=30。时，BD、DE、EC应满足的等量关系是图2图35. (1)如图 1 , KBC 中,C 90 , AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若 AC =2，BC=1，则ABCD的周长为；（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点,且EDF的周长等于AD的长. 在图2中求作AEDF （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 在图3中补全图形，求 EOF的度数；若AFCE则的值为.OEF图25 .(本小题10分)已知RtKBC中， ACB 90 , CA CB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB 交于点M , N .(I )当扇形CEF绕点C在 AC