小学奥数7 4 1简单的排列问题专项练习

1、7-4-1.简单的排列问题7-4-1.简单的排列问题.题库教师版Page of 8教学目标1. 使学生正确理解排列的意义；2. 了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3. 掌握排列的计算公式；4. 会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等. 貝匸知识要点一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法,就是排列问题.在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关.一般地，

2、从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同， 并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的 排列顺序不同，它们也是不同的排列.排列的基本问题是计算排列的总个数.从n个不同的元素中取出 m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做 Pnm .根据排列的定义，做一个 m元素的排列由m个步骤完成：步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种

3、方法；步骤2 :从剩下的(n -1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(n-1)种方法；m个位置，有n -(m -1) = n-m+1(种)方n -n1) - n-2) H| -n-m+1),即n开始，后面每个因数比前一个因数小1 ,步骤m :从剩下的n _(m-1)个元素中任取一个元素排在第 法；由乘法原理，从n个不同元素中取出 m个元素的排列数是 Pnm =n(n -1).( n -2) n -m +1)，这里，m c1=6（种）.【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化.【

4、答案】6模块三、排列之数字问题47-4-1.简单的排列问题.题库教师版Page of 8【例7】【解析】用 1、2、3、4、5、6、【考点】简单排列问题这是一个从8个元素中取7、 8可以组成多少个没有重复数字的四位数？【难度】2星【题型】解答4个元素的排列问题，已知 n=8 , m=4，根据排列数公式，一共可 以组成R4 =8X 7X6X5 =1680（个）不同的四位数.【答案】1680【巩固】【解析】由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数? 【考点】简单排列问题3P6 =120 .【答案】120【难度】2星【题型】解答【例8】用 0、1、2、3、【考点】简单排列问题【解

5、析】4可以组成多少个没重复数字的三位数？【难度】3星【题型】解答（法1 ）本题中要注意的是 0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的 4个数字中任选两个进行排列， 有P： 种方法由乘法原理得，此种三位数的个数是：4XP42 =48（个）.（法2 ）:从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列， 再减去其中不合要求的，即首位是0的从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为P53，其中首位是0的三位数有P2个三位数的个数是：32P5 -P4 =5x4x34X3 =48（个）.本题不是简单的全排列，有一些其它

6、的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排 列的时候考虑这些限制因素.【答案】48【例9】【解析】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知 n=5 , m = 2，根据排列数公式，一共可以组成 P； =5X4 =20（个）符合题意的三位数.【答案】20【巩固】【解析】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选

7、一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有P52 =5咒4=20（种）选法.由乘法原理，一共可以组成 3X20 =60（个）不同的偶数.【答案】60【例10】由0 , 2，5，6，7，8组成无重复数字的数，四位数有多少个?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为P64 =6x5x4x3=360，由于0不能在千位上，而以0为千位数的四位数有 p3 =5x4x3=60,它们的差就是由0, 2 , 5 , 6 , 7 , 8组成无重复 数字的四位数的个数，即为： 360 -60 =300个.方法二：完成这件事一一组成一个

8、四位数，可分为4个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数； 第三步：确定十位数；第四步：确定个位数； 这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维 过程如下：； ! 白于首徨；總憑 I 0 .鮒琳只堤从2 5 * i 6 了 * 8中在產一卒 j数丰.臭有5科感ft.商住14I:SS三步：用忑+舷敷 :2固为+俭昶百直己从 0-2,（5.7.3+；影西歩.尊直伍歎国毎羊直一 g伐检十新以+直附过的般卓育总不能瞎也乙从0 .2.5.67.雷.然百百世可；是0 *曲琨虚3 +附去3怙就丰.2 . 5- 6 . 7 , 8申吉桦+仮；卒龜从飙下

9、啊歎华申處择-臭庸3 *t速您，聽花:5X5X4X3 =300（个）.根据乘法原理，所求的四位数的个数是:其能创斜下的數辛中追!:择，头:【答案】300【例11】【解析】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答按位数来分类考虑：一位数只有1个3 ;两位数：由1与2 , 1与5 , 2与4 , 4与5四组数字组成，每一组可以组成p2=2X1=2（个）不同的两位数，共可组成2x4=8（个）不同的两位数；三位数：由1 , 2与3 ; 1 , 3与5 ; 2 , 3与4 ; 3 , 4与5四组数字组成，每一组可以组成3P3 =3X2X

10、1 =6（个）不同的三位数，共可组成 6X4 =24（个）不同的三位数； 四位数：可由1 , 五位数：可由1 ,3的倍数?【例12】【解析】由加法原理，一共有【答案】位数？【考点】177用 1、2、2，4，5这四个数字组成，有 P4 =4X3X2X1 =24（个）不同的四位数; 2，3，4，5组成，共有P55 =5X4X3X2X1 =120（个）不同的五位数.1 +8 +24 +24 +120 =177（个）能被3整除的数，即3的倍数.3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是 3的无重复数字的五简单排列问题 可以分两类来看：把3排在最高位上，其余4【难度】4星【题型】解答4

11、个数可以任意放到其余4个数位上，是 4个元素全排列的问题，有R =4X3X2X1=24（种）放法，对应24个不同的五位数； 把2, 4, 5放在最高位上，有 3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余 3个数位上，有P3=6种选择.由乘法原理，可7-4-1.简单的排列问题.题库教师版Page of 8以组成3x3x6 =54（个）不同的五位数.由加法原理，可以组成 24 +54 =78 （个）不同的五位数. 【答案】78【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；第几个数？【考点】简单排列问题从高位到低位逐层分类：【解析】

12、若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是【难度】4星【题型】解答千位上排1 , 2 , 3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从 09中除千位已确定 的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有 P93 =9x8x7 =504（种）排列方式.由乘法原理，有 4咒504=2016 （个）.千位上排5，百位上排04时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数 字中选择.也就是从8个元素中取2个的排列问题，即雷=8X7=56 ,由乘法原理，有 1X5X56 =280 （个）.千位上排5，百位上排6，十位上排0,

13、1 , 2 , 3 , 4 , 7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有 1X1X6X7 =42（个）.千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择 0,1 , 2 , 3 , 4共5 个.综上所述，比5687小的四位数有2016 +280 +42 +5 =2343（个），故5687是第2344个四位数.【答案】2344【例13】【解析】用数字I8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数.共有 种组成方法.【考点】简单排列问题【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛，第7题l8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题

14、目条件可以推导，符 合条件的排列，一定符合“被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第1、4、7位上的数被3除同余，第2、5、8位上的数被3除同余，第3、6位上的数被3除同余，显然第3、6位上的数被3整除, 第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2,第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1,余数 的安排上共有2种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3! X 3!X 2! =144种方法.【答案】144种【例14】由数字0、2、8 （既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列.2008排在【解析】个.【考点】简单排列问题比2008小的4位数有2000和2002，比

15、2008小的3位数有2x3x3=18 （种），比2008小的2位数 有2X3=6 （种），比2008小的1位数有2 （种），所以2008排在第2+18+6+2 +1=29 （个）.【答案】29【难度】【题型】解答【例15】千位数字与十位数字之差为 2 （大减小），且不含重复数字的四位数有多少个？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为2 : 9，对应的十位数字取 0: 7 ,每确定一个千位数字， 十位数字就相应确定了， 只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就行了， 因此总共有8X2个这样的四位数千位数字小于十位数字，千位数字取1: 7

16、，十位数字取3: 9 ,共有rP82个这样的四位数所以总共有 P,2 +P82 =840个这样的四位数.【答案】840模块四、排列之策略问题【例16】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非 是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【考点】简单排列问题【难度】4星0数码组成，且四个数码之和【题型】解答【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1, 1, 1, 6; 1, 1, 2, 5; 1, 1, 3, 4; 1, 2,2, 4; 1, 2, 3, 3; 2, 2, 2, 3 六种.第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了， 6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放

17、1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4x3=12（种） 选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择.最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放 2，共有4种选择.综上所述，由加法原理，一共可以组成4+12+12+12+12+4=56（个）不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次.【答案】56【例17】【解析】幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答在这个问题中，只要把 3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就 可

18、以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题.由排列数公式，共有：P63 =6X5X4 =120 （种）不同的坐法.【答案】120【巩固】【解析】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？ 【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从 6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题.由排列公式，共有：P63 =6X5X4 =120 （种）不同的坐法.【答案】120【巩固】【解析】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种 不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中 取6个，排在6个不同位置的排列问题.共有 R0 =10X9X8X7X6X5 =151200（种）不同的坐法.【答案】151200【例18】一个篮球队有五名队员A , B , C , D , E，由于某种