(完整版)导数知识点总结及应用

1、导数及其应用知识点总结 f(X2) f(Xi) X2 Xi 、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数f(x)在区间x1, x2上的平均变化率为: 一x) f(xo)无限趋近于一个常数 x 2. 导数的定义：设函数 y f (x)在区间(a,b)上有定义，x0 (a,b)，若 x无限趋近于 0时，比值 A,则称函数f (x)在x xo处可导，并称该常数 A为函数f(x)在 x xo处的导数，记作f (Xo)。函数f(x)在x xo处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：(1 )求函数的增量y f (X)x) f(x0) ； ( 2 )求平均变化率： 一X)

2、f(Xo) ； ( 3)取极限，当 x无限趋近与0时，空一X) f(Xo)无限趋近与一个常数A,则 XX f (Xo) a . 4. 导数的几何意义： 函数f(x)在X Xo处的导数就是曲线y f(x)在点(Xo, f(Xo)处的切线的斜率。由此，可以利用导数求 曲线的切线方程，具体求法分两步： (1) 求出y f(x)在xo处的导数，即为曲线y f(x)在点(xo, f(xo)处的切线的斜率； (2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y yof (Xo)(x Xo)。 当点P(Xo, yo)不在y f (x)上时，求经过点P的y f (x)的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标

3、得到 切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线y f(x)在点(冷严(冷)处的切线平行与y轴, 这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x Xo。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移 S是时间t的函数S(t)，则V S(t)表示瞬时速度，a v(t)表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： (1) (kx b)k( k, b 为常数)； (2) C 0( C为常数)； (3) (x)1 ； (4) (x2) 2x ； (5) (x3)3x2 ； (6) (1)斗； xX (7) (x)-1； 2(x (8) (xa) oxa 1 ( a 为常数)；

4、(9) (ax)axlna(a 0,a 1)； (11) (ex) ex ； (13) (sin x) cosx ; 2.函数的和、差、积、商的导数： (1)f(x)g(x) f (x) g(x)； (10) (log a x) logae 丄(a 0,a 1)； xxin a (12) (in x) 1 ; 入 (14) (cosx)sinx。 (2) Cf(x) Cf (x) (C为常数)； (3) f (x)g(x) f (x)g(x) f (x)g (x) ;(4)f (x)g(x)2 f(x)g (x) (g(x) )。 g(x)g (x) 3.简单复合函数的导数： 若 y f (u

5、), u ax b，贝y yx yu ux，即 y* yu a。 三、导数的应用 1.求函数的单调性： 利用导数求函数单调性的基本方法：设函数 y f(x)在区间(a,b)内可导， (1) 如果恒f(x)0,则函数yf (x)在区间(a,b)上为增函数； (2) 如果恒f(x)0,则函数yf (x)在区间(a,b)上为减函数； (3) 如果恒f(x)0,则函数yf (x)在区间(a,b)上为常数函数。 利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数y f(x)的定义域；求导数 f (x); 解不等式f(x) 0 ,解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式f (x) 0，解集在定义域内的 不间断区间

6、为减区间。 反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)： 设函数y f (x)在区间(a,b)内可导， (1) 如果函数y f(x)在区间(a,b)上为增函数，则f (x)0(其中使f (x)0的x值不构成区间)； (2) 如果函数y f (x)在区间(a,b)上为减函数,则f (x) 0(其中使f (x) 0的x值不构成区间)； (3) 如果函数y f (x)在区间(a,b)上为常数函数，则f (x)0恒成立。 f(x)f(x0)(或 f (x) f(X。)， 2. 求函数的极值： 设函数y f (x)在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有 则称f(

7、X0)是函数f (x)的极小值(或极大值)。 可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是： (1)确定函数f (x)的定义域；(2)求导数f (x) ； (3)求方程f (x) 0的全部实根，x1 x2 Lxn , 顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f (x)和f (x)值的变化情况： x (,xj x (MM) Xn (Xn,) f (x) 正负 0 正负 0 正负 f(x) 单调性 单调性 单调性 (4)检查f (x)的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值： 如果函数f(x)在定义域I内存在X。,使得对任意的x I，总有f(x) f(x)，则称f(

8、x。)为函数在定义 域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。 求函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤： (1 )求f (x)在区间(a,b)上的极值； (2)将第一步中求得的极值与f(a), f(b)比较，得到f (x)在区间a,b上的最大值与最小值。 4. 解决不等式的有关问题： ( 1 )不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。 f(x)(x A)的值域是a,b时，不等式f(x) 0恒成立的充要条件是f(x)max 0,即b 0 ;不等式 f(x) 0恒成立的充要条件是 f(x)min 0，即 a 0。 f(x)(x A)的值域是(a,b)时，不等式f(x) 0恒成立的充要条件是 b 0 ;不等式f(x) 0恒成立的 充要条件是 a 0 。 (2)证明不等式f (x)0可转化为证明f(X)max 0，或