完整word版正规子群

1、3.4正规子群 同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。首先考虑一种特殊的等价 关系。3.4.1定理 H是G的子群，在G上定义二元关系-如下： a - b当且仅当ab七H，则-是G上等价关系。证(1)任给aG,都有aa=e引，所以a - a；(2) 任给a, b站，如果a - b,则ab七H，所以ba = =，因此 b - a ；1 1(3) 任给a, b, c壬G，如果a - b且b - c，贝U ab , bc壬H，所 以 ac = aec = a(bb)c = (abbc，)亡H,因此 a - c。这种等价关系记为H，称为由H生成的等价关系。由H生成 的等价关系中的等价类有一个明显的表

2、示。3.4.2定理 H是G的子群，H是由H生成的等价关系。(1) 任给 G ,都有 a= Ha = ha | hH。特别地，e= He = H。(2) 任给 G,都有 |a|= |H|。证(1)任给xa，都有x H a,由H的定义得xa七H，设 xa = h亡H，贝U x = xe = x(aa) = (xa)a = ha,因此 y亡Ha。任给X印a，都存在h印，使得x = ha,所以xa，= (ha)a亠= h(aa ) = he = h 迂H，由 h 的定义得 x h a，因此 x|a|。(2)取 H 到 a 的映射 F : HTa F(h) = ha。显然F是满射。任给x, yH ,如果

3、F(x) = F(y),则xa = ya,由消去律得x = y, 所以F是单射。因为F是双射，所以|a| = |H|。因为e= H，所以a H b当且仅当 abH =e当且仅当 abH e。定理342的(2)告诉我们，商集 G/h中每个元素(作为 G的 子集)的基数都是|H|，这样的元素共有|G/h|个，所以有：3.4.3定理 如果H是G的子群，则|G | = |H|G/h|。这个结果用在有限群上就有：Lagrange定理 G是有限群。任给G的子群H ,3.4.4定理都有 |H| | |G|。则| = d，所以有：G是有限群。任给a壬G,都有|a| | |G|。如果|a| = d，3.4.5定

4、理现在考虑正规的等价关系。如果-abb，群只有一个运算，所以群上的正规等价关系是条件是: x - y, a - b，则xa - yb。这个条件称为 正规性条件。3.4.6引理 -是群G上的正规等价关系。(1) 任给a, b芒G，如果a - b，则- b。证(1)显然有aa, bb，所以ba4，由对称性得a，b。2.1e迂e。2.2任给a, b壬e，都有ae, b所以ab 亡 e。由正规性得aab2.3任给al,都有a e，由得a-e, 由正规性得 ab - ee= e,-e，= e,所以。(2) e是G的子群。3.4.7定理 G是群，-是G上的正规等价关系， 则存在G的 子群H，使得 = H。

5、证取G的子群H =e，证明-=h。如果a - b，则由正规性得 ab，- bb，= e，所以ab亠亡e= H， 因此a h bo13如果a H b,则由H的定义得abcH = e，所以ab e,由 正规性abb eb,所以a b。定理347说明了 G上任何一个正规等价关系都是由G的子群生成的，但并不是每个子群都能生成正规等价关系。3.4.8定义 正规子群H是G的子群，如果关系，则称H是G的正规子群，记为 H Go3.4.9例e和G都是G的正规子群。如果群 外没有其它正规子群，则称G为单群。IGI3.4.10例 G是有限群，H V G。如果打| = 2 ,地，因为= 2，所以An Sno则G/h

6、 = e, a,任给X迂G ,都有x h e或x hx H a。-44H y 。H是正规等价G除e和G则H G。特别取a芒H = e,a,因此(x H e)当且仅当先证明如果x Hy,则x设 x H yo女口果xH e，贝y x H e,H e，因此x如果x所以y He，所以y4 h e，所以y所以ryHe)，所以再证H是正规的。设 x H s, y H t, 且仅当s H严。-1H y 。H a，Hy H a，因止匕 xH y 。e)，所以一(x H e)，所以一(y h e)，则由以上所证得 yX H r*,所以x H y亠当如果 xy H e,则 x(y4)4 h e,所以 x h y,

7、所以 s h t, 所以 s(L)4 H e，所以 st H e,因此 xy -st。如果 xy H a，则 Pxy h e)，所以(y) h e)，所以一(x h yJ),所以 H)，所以H e),所以st H e),所以st H a,因此 xy - sto3.4.11例 G是一个群，集合 Z(G) = a | G且任给xG,都有ax = xa称为G的中心，Z(G)是G的正规子群。先证Z(G)是G的子群。任给 a, b忘Z(G),任给 X忘G,都有(ab)x = a(bx) = a(xb) a(bx)=a(xb) = (ax)b= (xa)b=xb)，所以 abZ(G)o再证Z(G)是g的正

8、规子群。如果 x z(G) s, y z(G) t，则由 z(G)的定义得 xs, yt七Z(G), 所以 xsyt，壬Z(G),由 yt壬Z(G)得 syt=yts,所以 xy(st)-1 xyts = xsyt忘Z(G)，由 z(g)的定义得 xy z(g)st。用H本身的条件来刻画更为方便。3.4.12定理 H是G的子群。H是G正规子群 当且仅当 任 给a忘G，任给h忘H，都有aha壬H。证设H是G正规子群。任给a芒G,任给h印,都有h H e,由正规性得ah h ae = a, 由H的定义得aha七H。设任给aG，任给h印,ahaH。如果x H s, y H t,则由H的定义得xsH且

9、ytH，由 xsH得sx = x(xs)x引，所以sxyt七H，因此xy(st)二= xyts，= s(sxyt)sH，由 h 的定义得 xyH st。3.4.13例 同构保持正规子群不变。HiV Gi且H2V G2,如果 Hi = H2 且 Gi G2,则 Hi Gi 当且仅当 H2 G2。3.4.14例交换群的每个子群都是正规子群，因为在交换群 中有aha，= h。特别地，nZ是Z的正规子群。3.4.15例 取例3.2.5中的群R* x R,则1 x R是它的正规 子群，而R* x 0不是它的正规子群。任给 R* x R，任给 1 x R，都有 = 1 x r。取 1, 1R* x R ,

10、 R* x 0，贝U v = 誉R* X 0。和子群不一样，正规子群没有传递性。从H K且K G 一般不能得到HOG。如虽有B A4且A4 S4,但没有B S4。但关于子群的另一性质对于正规子群仍然成立。3.4.16定理 如果H G , K G且H匸K，贝U H K。因为每个正规的等价关系都是由正规子群生成，我们用正规 子群来重述群的商结构。, 是群。(1)任给 X,y,zcG / H, (x y )Z = (Xy)z=x(yz) = xcy z)。 任给 xG / H, ex=ex=x。任给 X/ H，取G / H，则 X 尸=XX=e。 ；e称为商群，因为H由H生H, : e记为 ，简记3

11、.4.17 定理 G, , e是群，H G,则 G / h, 证(2)(3)群G, , 6的商结构G / H, 成，而e= H，所以也把商群G / 为 G / H。3.4.15还可知，在商群G / H, ； e中，a的逆元素a，例 nN, Z对于nZ的商群 Z / nZ也Z / n。例 由定理2.3.14可知In(G)v Aut(G)，由习题 3.3.8 ln(G),任给 oAut( G)，都有 G?Ha?0引n(G)，所以叫理 就是a亠。3.4.183.4.18 可知，任给In(G) Aut(G)。Aut(G)对于In(G)的商群Aut(G) / In(G)称为G的外自同构群。以下考虑群的同

12、态，G1和G?是两个群，b是G1到G2的映射。是同态条件是：(1) a(ei) = e2。(2) 任给 a, b忘G，都有 qab) = cr(a)cr(b)。3.4.20定理 如果a是Gi到G?的同态，则任给a%,都有 o(a 丄)=o(a)。证同定理3.2.23。3.4.21例 H是G的子群，取C： Ht Go(a) = a则是H到G的单同态，因为Q(e) = e, c(ab) = ab = cy(a(b)o如果 H是G的真子群，则不是满同态。3.4.22 例 F： SU2 F(o) = sgn(o)是 Sn 到 5 的同态， 因为 F(e) = 1, F(o?) = sgn(o? = s

13、gn)sgn = F(GF(R。显然，F 是满同态。3.4.23例 取例3.2.5中的群 R*x R，取b: R* X RtR*Q() = a则I是R* X R到R*的满同态，因为巩) = 1,G() = o() = a1a2= o()o()。显然o不是单同态。3.4.24定义象、逆象和核CT是Gi到G2的同态，XG G,丫 匸 G2。(1) qx = G(x)| X，称为 X 在 O下的象。(2) /Y = X | O(x卢丫，称为丫在G下的逆象。(3) ker(码=c/r e2 = x | c(x) = e2，称为同态 cr的核。3.4.25 例在例 3.4.22 中，ker(F) = c

14、 | f(g) = 1 = c | sgn(c) = 1 = A n。在例3.4.23中，ker(c) = | o() = 1= | a = 1=1 X R。3.4.26定理。是Gi到G2的同态，则(1) Gi的同态象/Gt是G2的子群。(2) C是 Gi到oGi的满同态。(2) 如果G是单同态，则Gi=0Gi。证 任给o(a), o(b)用Gi，都有cXahXb = c(a(b) = ab)亡 oGi。吨Gi到oGi的满射。(3) C是 Gi 到 oGi的双射。由，从Gi到G2的同态可以得到 Gi到oGi的满同态。由 ，从同构的意义上说，如果存在 Gi到G2的单同态，则可以认 为Gi是G2的

15、子群。C是 Gi到G2的满同态。从CT可以构造Gi上的等价关系：xy 当且仅当Q(x) = o(y),这是一个正规的等价关系，所以它是由e生成的等价关系。按-的定义：e = x | x ei = x | Q(x) = 0(01) = x | G(x) = 02 , e 恰好 是同态核ker(G)。以下用同态核重述群的同态基本定理。3.4.27定理同态基本定理G和G 是两个群，O是G到G 的满同态，取 H = ker(o)，贝U G / H也G 。3.4.28 例由例 3422、3423 可知, Sn / An U2, (R*x R / X R)旦 R *。3.4.29定义(1) K G,令r

16、(G, K) = H | K 匸 H G,即Ti(G, K)是 G 中所 有包含K的子群的集合。(2) K G,令 F2(G, K) = H | K 匸 H G，即2(G, K)是 G 中所 有包含K的正规子群的集合。(3) 令 ri(G) =(G, e) = H | H G，即 Yi (G)是 G 中所有 子群的集合。3.4.30定理3是G到G 的满同态，K = ker(o)。(1)证如果如果如果如果如果如果 令 G(G) = GG e) = H | H G,即 r2(G)是 G 中所有正 规子群的集合。H G, U 6H G 。H G,则 cH G。H G U crH GoH G ，则 c

17、rH G oH G :贝U qLH = H OH G,则 croH = HKo(1)(2)(3)(4)留给读者。由Q是满射即得。任给hk迂HK，都有c(hk) = D(h)Q(k) = c(h)e = o(h)cjH,所以 hk忘crdoH o任给xBQH，都有o(x)忘可H，所以 存在y迂H，使得b(x) = G(y),因此 a(yx) = e:由 K = ker( o)得 yxK,所以 x = y(yx)亡 HK。3.4.31定理CT是G到G 的满同态，K = ker(o)。取F1： r 1(G, KH 1(G)F1(H) = 0( HoF2 : r2(G, K)T 2(G) F2(H)

18、= cH。则Fi和F2都是双射。注意，由定理3.4.30(1)和，Fi和F2的定义是合理的。证证Fi是双射。任给 Hi, H2忘Fi(G, K)，如果 Fi(Hi) = Fi(H2),则 oHi = %出， 所以/oHi=oH2,由定理3430(6)得HiK = H2K,由 K Hi 和 Kv H2 得 Hi = HiK = H2K = H2。任给H，印i(G),取H = LH，则K = cre匚 g-*H T = H ,由H G和定理3.4.30(3)得H = crH G,由定理3.4.30(5)得右H = H :所以 H 忘ri(G, K)且 gH = SbH = H 。证F2是双射。任给 Hi, H2 亡 r2(G, K),如果 F2(Hi) = F2(H2)，则 OHl = OH2, 所以boHi = roH2，由定理3.4.30(6)得HiK = H2K，由 K Hi 和 K H2得 Hi = HiK = H2K = H2。任给 HE/G),取 H = LH，则1 1K = Je匸 G- H T = H，由H G和定理3.4.30(4)得H = CT Hl G，由定理3.4