完整版相似三角形专题

1、相似三角形专题【一】知识梳理【1】比例中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个 定义：四个量a,b,c,d量成比例 形式：a:b=c:d，16性质：基本性质:cD（的一角沿着过点D的直线折叠,使点A与BC边上的点E重合，折痕交 AB于点F.若BE:EC=m：n贝U AF:FB=.【例题7】如图所示，将矩形ABCD折叠，使点B落在边AD上,点B与点F重合, 折痕为AE，此时,矩形EDCF与矩形ABC相似,则竺=AB 【例题8】如图，Rt ABC内接于O0,乙A=90,AC=3 , D 为弧,AB=4CEAB的中点，则DE(7)(8)【例题9】在Rt ABC中 ,若 CD=3 AN=4 则

2、tan / CAN=/ ACB=90 , CD为 AB 的中线,AN! CD 交 BC于 N,）AA.0.B.【例题2】如图，确定 ACP与 ABC相似的是（2、相似三角形的性质与判定【例题1】如图，小正方形的边长均为1,贝U下列图中的三角形（阴影部分） 与 ABC相似的是（已知 ABC P是边AB上的一点，连结CP以下条件中不能）A / ACP2 B, B / APCM ACBC AC2=A P.AB D AC 俎CP BC【例题3】已知四边形 ABCD与四边形 ABCD，且AB:BC:CD:DA=20 15： 9：8,若四边形ABCD为26，贝U AB的长为【例题4】如图，矩形ABCD中，

3、由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置,则矩形ABCD的周长为【例题5】如图，P为OKBCD的边AD上一点，E,F分别为PB,PC的中点， 仲EF的面积为3，则平行四边形的面积是使点D落在AB的中点E G,则 EBG的周长为6的正方形ABCD折叠, Q出，EQ与BC相较于点已知两个相似三角形的对应高的比为 3:10，面积差为100，则大三角形的面积 为【例题6】如图，将边长为处，折痕为FH,点C落在点C(4)C(5)【例题7】如图，在斜坡的顶部有一铁塔在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.DE=18 m小明和小华的身高都是 1.6m,坡面上小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别

4、为 塔高AB为多少？AB, B 是已知铁塔底座宽 CD=12 m塔影长同一时刻，小明站在点 E处，影子在2m和1m,那么点拨：同一时刻、同一地点，物高 与影长的比是定值AjS Jjf 1 Jr Jy I【例题8】如图，AB=4射线BMW AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上, BeJjDB,作EF丄DE并截取EF=DE连结AF并延长交射线 BM 乙于点C.设BE=x BC=y,则y关于x的函数解析式是相似三角形专题3、相似三角形讨论【例题1】直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A B两点， AOB绕点O按逆时针后得到 COD抛物线y=ax2+bx+c经过A C D三点.A B、

5、C D的坐标；A C D三点的抛物G的坐标；方法1、固定一个角，按AA讨论，2、按夹相等角得两边的比值相等讨论方向旋转90（1）写出点（2）求经过（3）在直线BG上是否存在点 Q使得以点 A B Q为顶点的三角形与 cOd相似？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.54-32-11IJ1y5-4 -3 -2 jU-11 2 3 4 5-2-34-5r【例题2】已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A （-5，0）和点B,其中点B 在第一象限，且 OA=OBtan / BAO=2（1）求点B的坐标。（2）求二次函数的解析式。（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图象的

6、另一个交点为 C,连结AC,如果点P在x轴上，且 ABCn PAB相似，求点P的坐标。相似三角形专题Q到达点0时，两点同时【例题3】如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的边长是4,点A, C分 别在y轴、x轴的正半轴上，动点P从点A开始，以每秒2个单位长度的速度 在线段AB上来回运动动点 Q从点B开始沿B-C-O的方向，以每秒1个单 位长度的速度向点0运动.P, Q两点同时出发，当点 停止运动.设运动时间为t秒.(1) 当t = 1时，求PQ所在直线的解析式.(2) 当点Q在BC上运动时，若以P, B, Q为顶点的 三角形与 OAP相似，求t的值.(3) 在P, Q两点运动的过程中，若

7、OPQ勺面积为6,请直接写出所有符合条件的P点坐标.15【例题4】如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点 M在第三象限，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C,点A坐标为(一3, 0),点B坐标为(1, 0).(1) 试用含a的式子表示b, c ；(2)连接AM CM CB,试说明 OCB与四边形AMCO勺面积之比是一个定 值，并求出这个定值；(3)连接 AC 若/ AC/=90,解决下列问题:求抛物线解析式并证明/MAO/ ACB线段AM上是否存在点D,使以点A O D为顶点的三角形与 ACB 相似？若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由.相似三角形专题【例题5】已知在

8、平面直角坐标系xOy中，0是坐标原点，以P( 1，1)为圆心 的OP与x轴，y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发，沿x轴正方向以 每秒1个单位长度的速度运动，连接 PF,过点PEX PF交y轴于点E,设点F 运动的时间是t秒(t 0)(1) 若点E在y轴的负半轴上(如图所示)，求证：PE=PF(2) 在点F运动过程中，设OE=a OF=b试用含a的代数式表示b;(3) 作点F关于点M的对称点F,经过M E和F三点的抛物线的对称轴 交x轴于点Q,连接QE在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点 Q O E为顶点的三角形与以点P、M F为顶点的三角形相似？若存在，请直 接写出t的值；若不存

9、在，请说明理由.【例题6】在平面直角坐标系中，抛物线y ax2 bxX3与x轴的两个交点分别为A (-3 , 0)、B (1, 0),过顶点C作CHI x轴于点(1)直接填写：a，顶点C的坐标为(2) 在y轴上是否存在点 D,使得 ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由;(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点 P与顶点C不重合)，PQIAC【例题7】.如图：在平面直角坐标系中，直线 y = x + 3与x轴、y轴分别交于A, B两点，直线y = kx + 8与直线AB相交于点D,与x轴相交于点C,过D作DEL x轴于点E (1, 0),点P (t ,

10、0)为xDE上一动点，当以 O,B, T为顶点的三角形与以轴上一动点.若点T为直线O,B, P为顶点的三角形相似时，则相应的点P (tvO)的坐标为【例题8】如图，二次函数y5-X 4与x轴交于A、B两点，与y轴交3于点C,点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长度的速度向点 A运动，到达点 A后立刻在以原来的速度沿 AO返回；点Q从点A出发沿AC以每秒1个单位长 度的速度向点C匀速运动，过点Q作QD x轴，垂足为D。点P、Q同时出发， 当点Q到达点C时停止运动，点P也随之停止.设点P, Q的运动时间为t(t 0).(1)(3)当点P从点0向点A运动的过程中，求 QPA面积S与t的函数关系式； 当

11、线段PQ与抛物线的对称轴没有公共点时，请直接写出 t的取值范围； 当t为何值时，以P、D Q为顶点的三角形与 OBC相似；如图2: FE保持垂直平分PQ且交PQ于点F,交折线QC- CO-OP于点 E,在整个运动过程中，请你直接写出点 E所经过的路径长.X相似三角形专题4、求线段长的方法1、勾股定理2、相似3、直角三角形边角关系 4、方程 注意：方程可以根据勾股定理、相似、边角关系得到3D,那么BD的长为A【例题1】如图，在 ABC中, AB=AC BC=8 tanC=3如果将 ABC沿直线I翻 23Sin / BAC=，AB=105折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点【例题2】

12、已知AB是半圆0的直径，D为AC的中点,EA与O 0相切于A，E、D、B在一条直线上，求 AE的长20为AB的中点，F在BC边上，且【例题3】已知矩形 ABCD AD=3 AB=2 E BF=2CF,AF分别与 DEQB相较于 G,H,求 GH【例题4】如图所示，在 ABC中，BC=6 E、F分别是AB在射线EF上, BP交CE于D,/ CBP的平分线交 CE于Q,AC的中点，动点P当CQ=1CE时，贝U3EP+BP=【例题5】如图示我国汉代数学家赵爽在注解周脾算经时给出的赵爽弦图”图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形 ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan / ADE

13、的值为C【例题5】如图以 ABC的边BC上一点0为圆心的圆经过A,C两点且与BC边 交于点E,点D为CE的下半圆的中点，连接AD，交线段 E0与点F，AC=CF=4 DF=7i0(1) 求证：AC是O O的切线：(2) 求O 0的半径r.和sinC【例题6】如图：正方形 ABCD中，过点D作DP交AC于点M 交AB于点N,交CB的延长线于点P,若MN=1 PN=3贝U DM的长为.相似三角形专题丄BC于E,CD=2AD求AE的长【例题7】如图D是 ABC的边AC上一点，BD=8 sin / CBD=3，过点A作AE求坐标的方法1、求点到x轴或y轴的距离2、两个函数组成方程组 3、设出横坐标 或

14、纵坐标然后代入解析式 4方程【例题1】已知抛物线yx2 -x 1与直线y丄X 1交于A,B，在x轴上2 2 2试找一点P,使/ APB=45，则点P的坐标为【例题2】已知抛物线y= mX+4x+2m与x轴交于点A( a ,0),B( p ,0),且.一卄 =-2抛物线的对称轴为I，与y轴的交点为C,顶点为 工PD, 点C关于l的对称点为E.若点P在抛物线上，点Q在X轴上，当以点DE、 P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标.方法：方程【例题3】如图，二次函数1y=-x22y轴交于点C,与直线X214y=-x3标为C4交于A,B,在抛物线上是否存在点 P,使SA ABC=S ABP,在P的坐3相似三角形专题【例题4】在平面直角坐标系xOy中，一块含60角的三角板作如图摆放，斜 边AB在X轴上，直角顶点 C在y轴正半轴上，已知点 A（-1 , 0）.抛物线经| 过A, B, C三点，现有与上述三角板完全一样的三角板 DEF（其中/EDF=90，/ DEF=60 ），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A, B两点重 合的动点），并使 ED所在直线经过点C.此时，EF所在直线与（2）中的抛物