比例黄金分割平行线分线段成比例定理

1、、黄金分割黄金分割黄金分割及平行线分线段成比例AC BC如图，点C把线段AB分成两条线段 AC和BC,如果AB AC ,那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.AC与AB的比叫做黄金比.黄金比黄金比值的求法:AC因为ABBCAC，且 BC= AB AC 所以ACABAB - ACAC解得AC=ab2，或 AO 0.618AB,即得黄金比ABACV5-12 或 0.618求作黄金分割点求已知线段AB的黄金分割点。 方法一:：如图11、经过点 B作BD丄AB,且BD= - ABDE= DB3、在AB上截取2、连接AD,在DA上截取AC= AE,所以点C是线段AB的黄金分割点.4

2、5-1理由：设AB= 1 ,则 BD= 1/2,AD = 2 , AC =2, BC=2AC _ BC 所以AB AC，所以点C是线段AB的黄金分割点.方法二如图1、在线段AB上作正方形ADCB3、延长 DA至 F,使 EF= EB. 所以点H是线段AB的黄金分割点.、取AD的中点E,连接EB.、以线段AF为边作正方形AFGH理由：设AB= 1 ,1则AE= 2，所以BEJ5-1=EF27 AF =2= AH3-75BH= 2AH HB所以AB AH2 ，所以点H是线段AB的黄金分割点.14 / 9对这一基本图形我们将会非常熟悉,此等腰三角形叫方法三：如图1、以AB为腰作等腰 ABD使/ A=

3、 362、作/ ADB的角平分线交 AB于点C 所以，点C是线段AB的黄金分割点. 理由：作图的理由在本章学完就知道， 做黄金三角形AB J5 1例1:如图所示，矩形 ABCD是黄金矩形(即 BC = 2 疋0.618 ),如果在其内作正方形CDEF得到一个小矩形 ABFE试问矩形ABFE是否也是黄金矩形?EF,使PF=PD,以AF为边作正方形 求AM DM的长， 试说明aM=ad dm根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗?ABCD取AB的中点P,连接PD在BA的延长线上AMEF点M在AD上，如图所示，例2:以长为2的线段AB为边作正方形 取点(1)(2)(3)DC练习题、请你填一填(

4、)如图，若点p是AB的黄金分割点，则线段中pB AB满足 二关系式，即AP是的比例中项.(2 )黄金矩形的宽与长的比大约为(精确到0.001).(3)如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中 d=cm.a=2 cm, b=4 cm, c=5 cm,贝U(4)已知O点是正方形 ABC啲两条对角线的交点，则AO： AB： A(=二、认真选一选1、有以下命题:如果线段d是线段.bC的第四比例项，则有 行如果点C是线段AB的中点，那么 AC是 AB BC的比例中项如果点C是线段AB的黄金分割点，且 AOBC那么AC是 AB与BC的比例中项如果点C是线段AB的黄金分割点，AOBC且AB=2,则AOR

5、 1其中正确的判断有（A.1个B.2个C.3D.4个2、已知P为线段AB的黄金分割点，且 APvPBy（2 2 2 2 2 2A、AP = AB ”PB ; B AB = AP PB ; C、PB= AP AB ; D、AP+ BP= AB3、已知点M将线段AB黄金分割（AM BM）,则下列各式中不正确的是 （）A.75-1AM : BM =AB : AM B. AM=AB2C. BM = 1 AB D. AM 0.618AB2C.3个且D.4个AB= 10cm，则 PQ 长为（A.1个B.2个已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点,A、5(751)B 5(75+1)C、10(5-2)D、5(3

6、-75)三、好好想一想1、已知点C是线段AB的黄金分割点AC=5丿5 5，且AC BC,求线段AB与BC的长。E、F为线段AB的黄金分割点，已知 AB= 10 cm，求EF的长度.AA3、AB -1如果一个矩形 ABCD （ABAAE如上图，如果有詈AC逵，那么DE Be。平行线分线段成比例定理及其推论基本应用如图,DE / BC，且 DB =AE ,若 AB =5, AC =10，求 AE 的长。11丄1=T 如图,已知 AB/EF/CD，若 AB=a , CD =b , EF =c，求证:cab【巩固】如图,AB丄BD , CD丄BD，垂足分别为 B、AC和BD相交于点111 EF丄BD,

7、垂足为F.证明：+AB CD EF【巩固】如图，找出S推D、S也ED、SCD之间的关系,并证明你的结论.【例3】如图，在梯形ABCD中，AB / CD， AB =12 , CD =9，过对角线交点O作EF / CD 交 AD , BC 于 E , F，求 EF 的长。【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD/ BC,AD=a，BC =b，E，F分别是AD，BC的中点，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的长。C专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2007年北师大附中期末试题）1（1）如图（1），在 MBC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE =-AB4连接EM并

8、延长，交BC的延长线于D，则=.CD（2）如图（2）,已知 MBC 中，AE :EB =1:3，BD :DC =2:1，AD 与 CE 相交于 F， 则IF+AF的值为（）FC FDB.1C.A 5A. 2【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在 MBC中，D为BC边的中点，E为 AC边上的任意一点，（1）当些=1时，AC 2（3）试猜想些=BE交AD于点0 .求也的值。（2）当些-1、丄时，求ADAC 3 4时竺的值，并证明你的猜想.AC n +1 AD【例6】（2003年湖北恩施中考题） 是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：AF _1 .FC = 2 ；（2）由（

9、1）知，当E是AD中点时，匚=丄FC 2（E与A、D不重合），上述结论是否仍然成立, 请说明理由.如图，AD是MBC的中线,AO的值;if成立，若E是AD上任意一点若成立请写出证明，若不成立，E是AD【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知 MBC中， 上的一点，且BE =AC，延长BE交AC于F。求证:AD是BC边上的中线,AF =EF。A【例7】（宁德市中考题）如图， MBC中，D为BC边的中点，延长AD至E， 延长AB交CE的延长线于P。若AD =2DE，求证：AP =3AB。A【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图，人ABC 中,别是AB , AC的中点,则 DiEWa ；若D2、E2分

10、别是Di B、若D3、E3分别是D2B、I 3 =4a ；、E2C 的中点，贝U D3E3 =1j3a +a1 faEiC 的中点，贝U D2E2 =- I 2(21 3若Dn、En分别是Dn-iB、巴一心的中点，贝U。.巴=dDnBADiE1D2BC =a，若 Di , Ei 分专题三、利用平行线转化比例【例8】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点0，直线I平行于BD，且 与AB、DC、BC、ad及AC的延长线分别相交于点 M、N、R、S和P . 求证：PM ”PN =PR”PS【巩固】已知，如图，四边形abcd，两组对边延长后交于AC的延长线交 EF于G .求证：EG =GF .G

11、【例9】已知：P为MBC的中位线MN上任意一点, 边AC、AB于D、E，求证：譽1BP、CP的延长线分别交对【例10】线，AE、如图，M、N为 MBC边BC上的两点，且满足 BM =MN =NC，条 平行于AC的直线分别交求证：EF =3DE .【例11】AB、AM和AN的延长线于点 D、E和F .分别连【例12】已知：如图,接AC、(1)求证：EF / /CDBD、 MD、 MC在梯形 ABCD中，AB/CD，M是AB的中点, ，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F .(2)若 AB =a , CD =b，求 EF 的长【巩固】女口图，在梯形 ABCD 中，AD / BC , AD =3, BC =9 ,AB=6,CD=4，若EF / BC ,且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，求EF的长。【例13】 (山东省竞赛题)如图，L ABCD的对角线相交于点0,在AB的延 长线上任取一点E，连接OE交BC于点F，若a/D，c E b，=,求BF的值。在MBC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中AF分别交BM 于G、H两点，求证：BG :GH : HM =5:3: 2【例141已知等腰直角 MBC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE =CD，过E、D分别作