完整版勾股定理综合难题附答案超好打印版

1、练习题1如图，圆柱的高为10 cm,底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底 面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少？2如图，长方体的高为3 cm,底面是边长为2 cm的正方形.现有一小虫从顶点A出发，沿长方 体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米？答案AB=5BCA3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是4、如图，小红用一张长方形纸片 ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm,?长BC?为10cm.当 小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）.想一想，此时EC有多长？ ？AD5如图，将一个边长分别

2、为 使C点与A点重合，则4、8的长方形纸片ABCD折叠, EB的长是（）.C.亦E6.已知：如图，在 ABC 中，/ C=90 , / B=30, AB的 垂直平分线交BC于D,垂足为E, D=4cm.求AC的长.B7、如图，有一个直角三角形纸片, 现将直角边AC沿直线AD折叠, 与AE重合，贝U CD的长为两直角边 AC=6, BC=8,使其落在斜边AB上，且&如图，在矩形abcd 中, AB6,将矩形abcd折叠，使点B与点D重合，C落在C处,若AE: BE 1:2，则折痕EF的长为 DCE沿折痕DE向上翻折，使9、如图，已知：点 E是正方形ABCD的BC边上的点，现将 DC落在对角线 D

3、B上，贝U EB : CE =.10、如图，ad是ABC的中线，/ ADC = 450,把ADC沿AD对折，点C落在C的位置，若 BC= 2BC =.C11.如图ad折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合,A.2cmB.3 cmC.4 cm1,有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm, BC = 8cm,现将直角边 AC沿直线 则cd等于（D.5 cmB图112、有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿/ CAB的角平分线ad折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出E13、如图，在 ABC 中，/ B=9O , AB=BC=6，把 ABC进行折

4、叠，使点 A与点D重合，BD:DC=1:2，折痕为EF,点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。14.已知，如图长方形B与点D重合，折痕为2A、6cmABCD中，AB=3cm , AD=9cm，将此长方形折叠,EF,则 ABE的面积为（）2B、8cmC、10cmD、 12cm2215.如图，将矩形ABCD沿EF已知AB = 3,ad = 9,求be的长.dCA16、如图，每个小方格的边长都为 1.求图中格点四边形ABCD的面积。17、如图，已知：在 ABC中，ACB 90 ,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等.18.如图8,有一块塑料矩形模板A

5、BCD，长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板 PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P:P 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B与点C?若能, 请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由. 再次移动三角板位置，使三角板顶点 P在AD上移动， 直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长 线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE = 2cm?若能， 请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.21.能.设 AP = x 米，由于 BP2= 16+x2, CP2= 16+(10-x)2,而在 Rt PBC 中，有 BP2+ CP2= BC2

6、,即 16+x2+16+(10 x)2= 100,所以 x2- 10x+16= 0,即(x 5)2= 9,所以 x 5= 3, 所以x = 8, x= 2,即AP = 8或2,能.仿照可求得AP = 4.19.如图 ABC 中，ACB90 ,AC 12,BC 5,AN AC,BM BC20、直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（)Jd2 S 2d(B )S d2Jd2 S 2d解:设两直角边分别为a,b,斜边为C,则c 2d,1ab2.由勾股定理，得a所以a2 2ba2 2ab bc2 4S 4d2 4S所以a b2Jd2 S.所以 ab c 2Jd2 S 2d .故选

7、(C)21.在ABC 中,AB AC1, BC边上有2006个不同的点R，P2丄P2006,AP2 bp pc i 1,2,L 2006 则m1m2L m2006 记mi22汇如图所示，在 Rt ABC 中，BAC 90，AC AB, DAE 45,且 BD 3,CE 4,求DE的长.423、如图，在 ABC中，AB=AC=6，P为BC上任意一点，请用学过的知识试求 PC - PB+PA2 的值。C24、如图在RtAABC中，C 90 ,AC 4,BC 3，在abC的外部拼接一个合适的直角三 角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：44要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接

8、方法，在图中标明拼接的直角三角形的 三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）F。25.如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为 AC=1km , BD=3km , CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米, 请你在CD选择水厂位置0,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用f)CA26.已知：如图， ABC中，/ C = 90，点0为ABC的三条角平分线的交点，OD丄BC，OE丄AC，OF丄AB，点D、E、F分别是垂足，且 BC = 8cm，CA = 6cm，则点0到三边A

9、B， AC和BC的距离分别等于cm第28题图27. （8分）如图，在 ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请说明：AB2 AP2=PBX PC。28、如图，已知： C 90，AM CM，MP AB于 P.求证：BP2 AP2 BC29.（本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南 4km的A处牧马，而他正位于他的小屋 B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家.他要完成这件事情所走的最短路 程是多少？小河A 7牧童!IIB 小屋b2.6m4m30.（本题满分6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是 长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，

10、高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.31. 在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20米处的池塘的A处；另 一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这 棵树高多少米？32. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面, 已知红莲移动的水平距离为 2米，求这里的水深是多少米？33. 长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角（如图所示），贝U梯子的顶端 沿墙面升高了m.34.已知：如图， ABC中，/ C = 90，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE

11、丄 DF.求证：AE2 + BF2 = EF2.-CB35.已知：如图，在正方形 ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE= 4 ，求 证：AF丄FE.36.已知 ABC中，a2 + b2+ c2= 10a+ 24b + 26c 338,试判定 ABC的形状，并说明你的理由.37.已知a、b、c是 ABC的三边，且a2c2 b2c2= a4 b4，试判断三角形的形状.38.如图，长方体的底面边长分别为 1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点 A开始经过 四个侧面缠绕一圈到达点 B,那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点B，那么所用细线最短需要多

12、长？Bhemcm40.三角形的三边长为（a bf2ab，则这个三角形是（）（A）等边三角形（B） 钝角三角形（C）直角三角形（D）锐角三角形.41. （12分）如图，某沿海开放城市 A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已:CAD1图BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从 B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?42. （14分） ABC中，BC a，AC b，AB c，若/ C=90 ,如图（1），根据勾股定理，则2与

13、c的关系，并证明你的结论.2 2 2 2 2 a b 。，若 ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a b.解：若 ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2 若ABC是钝角三角形，/ C为钝角，则有a2+b20, x0 2ax0/ a2+b2c2 当ABC 是钝角三角形时,43. （10分）如图，A市气象站测得台风中心在 A市正东方向300千米的B处，以10方 千米/ 时的速度向北偏西60的BF方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域.44、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子 露在杯子外面的长度为h

14、em，则h的取值范围是（）.A . h8cm C. 15cm h 16cmD . 7cm h 16cm45如图，已知：=,妙丄血于p.求证：朋2二肿2十左夕46【变式2】已知：如图，/ B= / D=90 边形abcd的面积。,/ A=60 , AB=4 , CD=2。求：四DsCBPC M 启47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂,rr.（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直 角三角形问题来解决.49、如图所示， ABC是等腰直角三角形，AB=

15、AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、 AC边上的点，且 DE丄DF，若BE=12，CF=5.求线段EF的长。50如图，在等腰 ABC中，/ ACB=90 ，D、E为斜边AB上的点，且/ DCE=45。 求证：DE2=AD2+BE2。ACCCDEEADAD51 如图，在 A BC 中，AB=13,BC=14,A C=15，贝U BC 边上的高 A D=52如图，长方形ABCD中，AB=8 , BC=4,将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部 分 AFC的面积是。B5354在 A BC 中，D 是 BC 所在直线上一点，若 AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17 ,求 ABC的面

16、积。在ABC中，AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12,试求BC边的长.55.若ABC三边a b、c满足a2+b2+c2 + 338=10a+24b+26c ABC是直角三角形吗？为什 么？56.在 ABC 中，BC=1997, AC=1998, AB2=1997+1998,则ABC 是否为直角三角形？为什么? 注意BC、AC、AB的大小关系。AB BCvAC。AB2+BC2=1997+19972+1998=1997X( 1+1997) +1998=1997X 1998+1998=19982= AC2。57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点 A处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的

17、顶点 C1处，如图，已知长方形长6cm，宽5 cm,高3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形 的表面向上爬，它要从 A点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着 怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？9腔图58.木箱的长、宽、高分别为 40dm、30dm和50dm,有一 70dm的木棒，能放进去吗？请说明理 由。12題图59.已知 ABC的三边a、b、c,且a+b=17, ab=60, c=13, ABC是否是直角三角形？你能说 明理由吗？160.如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，延长AB到F,使BF= 4 AB，那么FE与FA相等吗？为什么？F61

18、.DABC如图，/ A=60 , / B=/ D=90。若 BC=4, CD=6，求 AB 的长。62.如图，/ xoy=60, M是/xoy内的一点，它到ox的距离MA为2。它到oy的距离为11。 求0M的长。MO20題图带答案版的用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（1）中，所以宀宀f方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。机一 a） +）了图（2）中正”2,所以八W。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图 的正方形。3） 1和（3） 2所示的两个形状相同ab,求证：边长为2ab、a2 b2、a2+b2的三角形是直角三角形40

19、.三角形的三边长为(a bfc22ab，则这个三角形是()(A)等边三角形(B) 钝角三角形(C)直角三角形(D)锐角三角形.41. (12分)如图，某沿海开放城市 向100km的B处有一台风中心，沿A接到台风警报，在该市正南方BC方向以20km/h的速度向D移C动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险， 正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?42.a2（14分）ABC中，BC a , AC b, AB c ,若/ C=90 ,如图（1）,根据勾股定理，则2与c的关系

20、，并证明你的结论.2 2 2 2 b 。，若 ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3）,请你类比勾股定理，试猜想a b.解：若 ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2 若ABC是钝角三角形，/ C为钝角，则有a2+b20 2ax0 a2+b2c2 当 ABC是钝角三角形时,43. （10 分）时的速度向北偏西60的BF方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域.（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子 露在杯子外面

21、的长度为hem,则h的取值范围是（）.D . 7cm h 16cmA . h8cm C. 15cm h 16cm45如图，已知： =二场，迹丄血于P.求证：加二护十丧UA思路点拨：图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形.因此，我们考虑 构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样，实际上就得到了 4个直角三角形.那 么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系 .解析：连结BM，根据勾股定理，在中， 而在超中，则根据勾股定理有加=-沪 _/0）=-+ 卫0.炉二RM -曲+亦.二肋.EP二肘十丄卩2加=啟-如. 血二血-苗.又 3 =（已知）,在中，根据勾股定理有

22、46【变式2】已知：如图，/ B= / D=90 的面积。,/ A=60 ,AB=4 , CD=2。求：四边形 ABCDD可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简 单。解析：延长AD、BC交于E。V/ A= /60,/ B=90,. / E=30。 AE=2AB=8 , CE=2CD=4, BE2=AE2-AB2=82-42=48, BE=。V DE2= CE2-CD2=42-22=12,. DE二尿=2出。 S 四边形 abcd=Saabe-Sacde= AB -B

23、E-CD DE=47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？ Drr【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH .如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD丄AE, 与地面交于H .解：OC = 1米（大门宽度一半）, =0.8米（卡车宽度一半）Rt OCD中，由勾股定理得： =如-防=4诃=0 .6米， H=0 .6 + 2 .3 = 2 .9（米）2 . 5（米）. 此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.itOD在CDflffAP= 160m。48、如图，公路

24、MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30,点A处有一所中学，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行 驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？A Q思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A ,实质上是看A到公路的距离是否小于 100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段 AB并计算其长度。(2)要求 出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行 至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

25、B。ABP = 90，/ APB = 30, AP = 160,解析：作AB丄MN，垂足为 AB =2 AP= 80。在 Rt ABP 中，/(在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半)点A到直线MN的距离小于100m,.这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC = 100(m)，由勾股定理得：BC2= 1002-802= 3600,. BC = 60。同理，拖拉机行驶到点 D处学校开始脱离影响，那么，AD = 100(m), BD = 60(m), 二 CD = 120(m)。拖拉机行驶的速度为：18km/h= 5m/st

26、 = 120m* 5m/s= 24s。答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24秒。(一)转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直 角三角形问题来解决.49、如图所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、 AC边上的点，且 DE丄DF，若BE=12，CF=5.求线段EF的长。DF CEA路点拨：现已知BE、CF,要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化, 根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD .解：连接AD

27、.因为/ BAC=90 ，AB=AC . 又因为AD为ABC的中线，所以 AD=DC=DB . AD 丄 BC .且/ BAD= / C=45.因为/ EDA+ / ADF=90. 又因为/ CDF+ / ADF=90 .所以/ EDA= / CDF. 所以 AEDCFD (ASA). 所以 AE=FC=5.同理：AF=BE=12 .在RtAAEF中，根据勾股定理得：财2二卯+且戸二号1,二132，所以eF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。50如图

28、，在等腰 ABC中，/ ACB=90 ，D、E为斜边AB上的点，且/ DCE=45。求证：DE2=AD2+BE2。F分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造 直角三角形。51 如图，在 A BC 中，AB=13,BC=14,A C=15，贝U BC 边上的高 A D=答案12。52如图，长方形ABCD中，AB=8 , BC=4,将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部 分 AFC的面积是。BAA设 EF=x，那么 AF=CF=8-x，AE2+EF2=AF2, 所以 4A2+xA2=(8-x)A2,解得 x=3，S=4*8/2-3*4/2=10答案：1053 在ABC 中，AB=15 ,AC=20,BC 边上的高 A D=12， 答案25或754 在 A BC 中，D 是 BC 所在直线上一点，若 AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17， 答