常微分方程自学练习题

1、常微分方程自学习题及答案一填空题：一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是方程y-2y+y =0的基本解组是一个不可延展解的存在区间一定是 方程加口的常数解是方程X p(t)x+=q(t)x =0 个非零解为xi(t),经过变换若4(t)是线性方程组X = A(t)X的基解矩阵，则此方程组的任一解 4(t)=89102倍，则此曲线方程为一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的满足条件的解，称为微分方程的特解.如果在微分方程中，自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为11一阶线性方程y + p(x)y=q(x

2、)有积分因子(卩=).12求解方程理=-x/y的解是(dx).852 2 213 已知(axy +3x y)dx +(x + y)xdy=0为恰当方程，则a =14y(0) =0,R： X 1, y 1由存在唯一性定理其解的存在区间是().15方程16方程dxj-5dx+6y=0的通解是(+ y3 +x = y5的阶数为).17若向量函数Y1(x); Y2(x);Y3(x厂 Yn(x)在区间D上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式w(x)=19、u(0,t)=g1(t),；ru；第三类边界条件F-WD-knuPDu)，ex018若P(X)是方程组 鱼=A(x)Y的基本解方阵则该方程组的通解可表示为

3、 dx一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件第二类边界条件 皂(0,t)=u(t)，exT皀(L,t) kdJt) =v(t)，其中k0,k1,T都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。 exd20、在偏微分方程组中，如果方程个数 未知函数的个数，则方程组为不定的。反之，如果方程的个数未知函数的个数，则方程组称为超定的。(选填“多于”、“少于”或“等于”)21,、cU,、cU+ d(x, y) +e(x, y) + cxcy般 2 个自变量 2 阶线性偏微分方程有如下形式：2 2 2C UC UC Ua(x,y)+2b(x,y)+c(x, y)f(X, y)u =

4、g(x, y)，其中a(x,y),b(x,y),c(x,y),d(x,y),e(x,y),f(x,y),g(x,y)都是(x,y)的连续可微函数,ex次刃2C UC U0。方程中 a(x, y) +2b(x, y)+ c(x, y)2F Ua(x,y),b(x,y),c(x,y)不同时为2 ，、，” “、，八 J 称为方程的2阶主収曲dy部。若其2阶主部的系数a,b,c作成的判别式 =b2-ac在区域C中的某点(X0,y0)大于零，则称方程在 点(X0,y0)是型的；如果 =0,则称方程在点(X0,y0)是型的；如果 0,则称方程在点(X0,y0)是型的。(选填“椭圆”、“双曲”、“抛物”)单

5、项选择：1方程 吐=X 2 + y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是().dx(A)上半平面(B)xoy平面方程一=77+1()奇解.dx(A)有一个(C)下半平面 (D)除y轴外的全平面(B)有两个(C)无(D)有无数个+在下列函数中是微分方程y叶y=0的解的函数是().(A) y=i(C) y =sin Xx(D) y = e方程 yy =ex=x的一个特解y*形如().x(A) ae =bX(B) axe+ bxx(C) ae + bx + cx(D) axe + bx + cf (y)连续可微是保证方程= f (y)解存在且唯一的 dx()条件.(A )必要(B)充分二阶线性非齐

6、次微分方程的所有解(A)构成一个2维线性空间(C)不能构成一个线性空间(D)必要非充分(C)充分必要().(B)构成一个3维线性空间(D)构成一个无限维线性空间方程 业=3y3过点(0,0)有(dx).(A)无数个解初值问题x=(011(B)只有一个解1 )!x , X(0)=-0 丿 ro) 11 丿(C)只有两个解(D)只有三个解在区间，一上的解是().ft 、fe、ft 、fe、(A) U(t)1lt丿(B) U(t)=1lt丿(C) U(t)-le丿(D) U(t)-r e丿方程型+x2y+COSX =0 是() dx(B) 一阶线性方程(D)二阶线性方程(A) 一阶非线性方程(C)超

7、越方程10方程徨)+3dy =0的通解是().Idx 丿dx11(A) C1 + C2e3x(B) C1X +C2e3(C) C1 +C2eX(D) C2ex方程fdyV+4 dy + 4v = 0的一个基本解组是(). dx(A)x,eX(C)x2,/X(D) e X, xe-2x12若y1和y2是方程p(x)+q(x)y = 0的两个解，则 y =0丫1 +02丫2 (e1,e2为任意常数)dx(A)是该方程的通解I(C)不一定是该方程的通解13方程= 7y2过点(0,0)的解为dx(B)是该方程的解(D)是该方程的特解=sin X,此解存在).(A)(y,畑)(B) ( = ,0(C)0

8、严)兀兀(D)H-,y11214 方程 y = 3x y -e(A)可分离变量方程15微分方程dy 一丄ydx Xc(A) y = (B)X(B)齐次方程=0的通解是(C)全微分方程(D)线性非齐次方程).y=cx (C) y 二丄+c (D)y = x + cXX=eX(D) axe + bx + C18初值问题X0丿 IT丿在区间-处上的解是().16在下列函数中是微分方程y + y =0的解的函数是().(A) y =1(B)y = x (C)y=s in x (D) y17方程y-y =ex中x的一个数解yx形如().XXX(A) ae +b (B) axe +bx (C) ae +b

9、x+c、ft1(C)U(厂4(D) U(t)=丿l-e丿V.-4-t-e(B) u(t)= f三求下列方程的解求下列方程的通解或通积分(1)字ny孚=1打+丫dxdx lx 丿孚= y + xy5dx2 2 2xydx +(X - y )dy = 03 y =xy+2(y)求方程的解解方程:求方程：5求方程:求(3x2101112xpx-02=y cosx并求出满足初始条件：当x=0时,y=2的特解dxdy y +tg y=+tg x xdxdydx=6- -xy2的通解x223+6xy )dx+(6x y+4y )dy =0的通解.求解方程:dt4.4. 2d X丄cd X丄c+ 2 +x

10、=0dt2求方程:dt5 t dt41匕=0的解求方程y”-5y = -5x2的通解dx求下列方程组的通解监Idty = x-y求初值冋题Jy(_1)=0求方程的通解(1) dydxyx + y2=-xR: x+1 1y J 2丿J23解方程组22c u 丄 c u2 2Au = 0,_=c20、x点yf0,x cO u / y =0 = luoZO21、求解初值问题r 2c u2逬u/t =0 =a22 C U ,x R,t aO-X2x,R旦/t =0 =x, X 迂 Ra22、23、（提示：使求解初值问题D Alembert 公式)2巴=仝，亠0往x0, X c 0, c为常数u/t =

11、0 = lc,x0I ct求解第一初边值问题L 2CU2 C U 2亍abu.gst0t xu/t =O=W(x),OxlU / X = 0 = u / X =1 = 0,t 二0四名词解释1微分方程2常微分方程、偏微分方程3变量分离方程4伯努利方程5 Lipschitz 条件6线性相关五证明题1 在方程 y+ p(x)y+q(x)y = 0 中已知 p(x);q(x)在(丄c;+=c)上连续求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.2设X1(t)、X2(t)分别是非齐次性线方程d#+G1(t)加十+Gn(t)X= f1(t)dtdtd# + G1(t)加+Gn(t)X= f2(t

12、)dtdt证明：X1(t)+X2(t)是方程 今+G1(t)Xdtndt+Gn(t)X= f1(t) + f2(t)的解。3设f (X)在0 ； +9上连续且lim f (x)=0求证：方程 包+ 丫=仪)的一切解y(x)；XT 处dx均有 lim y (x)=0XT处4在方程y+ p(x)y+q(x)y =0中p(x)、q(x)在(一乂，+)上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w(x)是(-处，中处)上的严格单调函数。5 证明：X1(t)+X2(t)是方程c1(t)dednxdt+ an(x)t + f2 (t)的解。c72X. ZnX6证明：函数组e ,e

13、 e(其中当i H j时几i主几j)在任意区间(a ,b)上线性无关。lmsin Nx -7试证：习题答案一填空题：2线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)XXe ; xe开1、2、3、4、5、y = 16、X =X1 Jydt7、*(t)c,c为常数列向量2y=x +c9、初始10、常微分方程11、e Jp(x)dx1712、x2+y2=c ; c为任意正常数/13、14、已15、_56_56_c_6 _61 2p6p16、17、18、 (x)c ;其中c是确定的n维常数列向量19、u(l,t)=g2(t),20、多于，少于21、双曲，抛物，椭圆二单项选择1、D3、C4、D7、A 8、D

14、9、A 10、C11、D三求下列方程的解12、 B 13、 D14、D15、 B 16、 C17、 D 18、 D1 (1)解：当 y H0, y 时,分离变量取不定积分，得通积分为 1ny= Cex(2)解：令y= xu，则dy =u+x ,代入原方程，得 dxdxdu r T x一 = v1 -u dx分离变量，取不定积分，得du,dx 小 ccf 2 =【+1 nC( C H 0)_ux通积分为：arcs in = 1 nCx x(3) 解：方程两端同乘以y-5,得-5 dy-4y 二 ydx令y -4= z，则2詈代入上式，得=x1 dz-z4 dx通解为z =Ce4-X原方程通解为y

15、 =CeX1-X + 4(4) 解：因为凹= 2，所以原方程是全微分方程。取(X0,y0)=(0, 0)原方程的通积分为Xy 2J0 2xydx - 0 y dy = C213 cX y- y =C3(5) 解：原方程是克莱洛方程，通解为:dxdx 12解：设y =则方程化为-ydtdt t于是 X=C1t5+C2t3+C3t2+c4t+C5C 3y = cx+2c“，积分后得y = ct即知ct其中c1 , C2 , C3 , C4 , C5为任意常数G(t)+ Gn (t)X1 + d-X(+G1(t)dtdt響+G1(t)沪+ Gn(t)X2(t)=fl(t) + f2(t)故 X1(t

16、)+X2(t)为方程 gnO+GHt)+GnX(t)=f1(t)+f2 (t)的解。dt3解：将变量分离,得到=cosxdx y两边积分，即得因而，通解为1sin X +c这里c是任意常数。x=0 , y=1代入通解中以决定任意常数 C,得到C = -1因而，所求特解为解：以-=udxdy= x+u代入，则原方程变为dxdux + u = u +tgudxdutgudx将上式分离变量，即有两边积分，得到ctgududxTn|s in u=n x| + c这里c是任意函数，整理后，得到sin u = ec x令 ee = c ,得到sinu = cx解：令z = y-1得dzdx-2-ydydx

17、代入原方程得到dzdx这是线性方程，求得它的通解为x6代回原来的变量y，得到这就是原方程的通解。此外，方程还有解y=0。2223这时解： 这里 M =3x +6xy .N = 6x y+4y ，殂=12xy型=12xy科cxC 2 丄 r2=3x + 6xy因此方程是恰当方程。现在求u ，使它同时满足如下两个方程= 6x2y+4y3由（1）对x积分，得到u =x3 +3x2y2 +(y)10为了确定（y），将（3）对y求导数，并使它满足（2）,即得巴=6x2y + 竺Q =6x2y +4y3dy=6x于是积分后可得将半（y）代入（3），得到因此，方程的通解为这里c是任意常数解：特征方程A +2

18、atsint故通解为解：令积分后得皿4y4dy化y）=y43224u = x + 3x y + y3 c 2 24x + 3x y + y =c=0即特征根几=i是重根，因此方程有四个实值解cost、tcost、si nt、x =（C 什C2t）cost +（C3 + C4t）sin 其中 C1 ； C2 ； C3 ； C4 为任意常数d 4xdt4y=ct=y则方程化为：齐卩d4x即T = Ct 于是 x=C1t5 + C2t3 + C3t2 + C4t1 + C5dt4其中C1 ； C2C5为任意常数，这就是原方程的通解。2解 对应齐次方程的特征方程为几-5 = 0,特征根为人=0,2 =

19、5齐次方程的通解为y=C1+C2e5x因为a=0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为2y1（x）=x （Ax + Bx + C ）代入原方程，比较系数确定出B=1 ,51A=-,3原方程的通解为2c= yP+C八1x3+ 1x2 +2x525解：先解出齐次方程的通解2519x=C1FoSt 1+C2fintyfsi ntcost”令非齐次方程特解为P=C1(t)|y1C0Sttl+C2(t)Sinttl-Si nttost JCi(t),C2 (t)满足fcostSintC1 (t) _sint cost ” c； (t) ”丄SintLOcost解得 C1(t)=,C2 (t) =1sin

20、t积分，得 Ci(t)=insi nt|,C2(t)=t通解为FLC1FosT+C2Fintl+cost1恂t+wnt 1 fy-Sintcostsi nt1nSint +tcost11 解： M=max f(x,y)=4 h = min(a,2) q0(x)=0q2(x)=0g2 十x_ x x=3912求方程的通解：K44)=-故解的存在区间为 X中1 - M4-qgo + f(g2-0)dg =g|x=-+-333231.gg , 2g1X-g ;dg =n+77-99363369x 11+604218231) 十 dx X + y解：变形dy x + dx+将y看作自变量，x为未知函数

21、y解齐线性方程dxdy1x ,通解为x = cy y令 x = c (y)y .微分得空二M=dcy + c(y) dy dydy由知汁蚁厂心=沁*y dyydc(y) =1，积分得c(y) = y+故x=(y+) y (是任意常数) dy2) Z+tanYdx x xydydu解：令一 =u贝U y =ux,于是=x+uxdxdxdu则原方程变为 x + u=u+tanudx即生=业dx xdx将上式分离变量有 cotudu =一x积分得Insinu=1门卜+, 为任意常数。整理 sinu = e x令 e& = c H 0得 sin u = cx(c h 0)方程还有解tanu=0即sin

22、u=0,故通解为sinu = cx （c为任意常数）23)(y-3x )dx-(4y-x)dy = 0(三种方法)2解：法一，这里 M=y-3x , N= - (4y-x )= 4-4y=1/=1,因此此方程是恰当方程bycx现求u使J-3x2cx（1），竺=x-4y （2）对（1）中x积分得u = yx X3+Wy)( 3)对（3）中y求导如=7ycydy积分得Wy) =2y2，代入(3)得 u =yx-x3-2y232故通解为yx-x -2y =c, c为任意常数法二，重新组合得ydx - dx3 - 2dy2 中 xdy = 02ydx 3x dx 4ydy +xdy = 0 ,即32d

23、(xy -X -2y =0)32于是通解为xy-x -2y =c其中c是任意常数。dy 4 dy 24) -5(3)dx dxdy 解： 令 p =丄则 p 4一5 p2+4y=0, y =dx5 dp3 dp ,5=-p丄p =(-p P2 dxdx 2对x求导得P52积分得（一p4于是方程通解为+ 4y =0541PqP545214443)dP,(-5 P - P3)dP - Pdx =0dx 24_2_ 4P-c(P=0)13p-p13方程y+4y =3sin2x的通解2解：齐次方程是y+4y=0,入+4 =0,几1,2 =i2iy =0, cos2t +C2 sin 2t由于2i是特征

24、方程单根故所求特解应具形式y, = x( Acos2x + bsin 2x)3代入原方程-4A=3,B=0= A = -,B=043 c/. y,=xcos2x43其中C1C2为任意常数故通解为 y=-xcos2x +cicos2t +c2Sin2t，4d 2x 4dx14+4x=costdt dt解：特征方程 二2 -4入+4=0有重根 打=22t因此对应齐线性方程的通解为X =（C1 +C2t）e ，其中C1,Q为任意常数。因为i不是特征根，现求形如 X = Acost + Bsint的特征解,代入原方程化简(3A - 4B)cost +(4A + 3B)sint =cost于是3A 4B

25、 一1故4A +3B =0_225=_42t 34、故通解为x =(ci +c2t)e +25cost-才nt其中 ci，c2为任意常数15求下列常系数线性微分方程对应的齐次方程为 y-2y+10y =0特征方程为 汇-2a+10=0特征根为几a= 13ia不是特征根,故原方程有形如1 1y*=(ax+b) e2x的特解代入原方程得a=10，b=-50故原方程通解为x11 2xy =e(GCOst+C2sin3t)+(x- )e ，( c, ,c2 为任意常数)105016解：因为aJ2(0i122o012+0o1 而且后面的两个矩阵是可交换的f2 01得至 U exp At =ex piit

26、也2ex P0o12teE +330 02!所以，级数只有两项。因此,【010H0基解矩阵就是0exPAt=e10 0J17解：特征方程为detE A)-1Z - 4因此，几=3是A的二重特征值.为了寻求对应于 二=3的特征向量，考虑方程组1 -nci f】1 -1|C2=0因此,向量c JL1J是对应于特征值 汇=3的特征向量，其中a H 0是任意常数.18解A特征方程为det(A aE)-3-A 5-53 k特征根为 扎12 =35i 对应于1=3+5i的特征向量U = 1满足 山(A-A1E)u =5i 51 = 0 解得 u = a aH0为任意常数5-5i J对应于/2 =3 5i特

27、征向量v = 屮1满足I1! u*（32）Z-3 -219 解:a =阳勺特征方程为det（人E-A） =11 2丿-1Z - 2p为任意常数=（a_1）（a-4）=0(A-Z2E)v =0 解得 v-pf11为方程组解a为任意常数.A1=1,几2=4 为特征根，(A 4E)u =0= 5 =!ra丿(A4E)u =0= U2 =#为方程组解.这样蔦fa/2 鬥ra丿T I为方程的解iP丿yo（x）-be120、解：u( X0，y0)=苻 Lc22 dx口(X-X0)+办y0u0 广 dxrr022(xx0)十y。=业+业2 口yo即u(x, y)=山+山arctan(X)2 ny21、解：由

28、 D Alembert 公式44X公式为 u(x,t) = (x +at) + W(x at) + f ( )d 22a xTt1221 X七U 乂则u(x,t)at) +(x at) +- Jd2 2 2=x +a t +xt1乂 (X-A22、解：由 U(硕c2向C K 令诗/则c0卫2屮律吟doC T|10 eP.0卫2x a (x)已知误差函数定义erf (a)=厶x/n2a fc，0 ed*，故 u(x,t) =?1+erf(2祈23、解：第一步对方程进行化简，使其不包括b2u项。令u=veat，代入方程，有 2v atat2 c v at 2 atve + ave 二a Te b

29、ve，0丈x0/t =0=(x),0xlJv/x=O=v/x=l =0,0xl2令a=-b2,则u= veb t ,v为定解问题L2v2 C U7 =a ,0 ex “t ao衣a点Xv/t = 0 =W(x),0 x 0,使得不等式 f(x.yi) f(x.y2)Lyi y2对于所有(X, yj(X, y2)壬R都成立,L称为Lipschitz常数.6定义在区间at b上的函数x1 (t),x2(t)/ xk(t),如果存在不全为零的常数ci , C2 ,.ck使得恒等式C1X1(t)+c2X2(t)屮+CkXk(t) =0对于所有 “ la,b】都成立，称这些函数是线性相关的.五1在方程y

30、 + p(x)y叶q(x)y =0中，已知p (x),q (x)在(亠,+=c)上连续，求证:该方程的任一非零解在 xoy平面上不能与x轴相切.证明：方程y + p(x)y+q(x)y = 0,设y=(x)是它的任一非零解。若P (x),q (x)在(二，母)上连续，假设y=t(x)在xoy平面上与轴相切。则y = Wx) =0, y = 0与方程有非零解y = Wx)矛盾。故y =Wx)与X轴不相切。2 由已知得丰+Gn(t)X1dtdt=fi(t)dnX+G1(t)d；S-Gn(t)X2dtdtdnxcTx把 X1(t)+X2(t )代入方程+ G1(t)r7 + GnX(t) = f1(t) + f2 (t)由左端得 dtdtdn(x+x(t)+G1宀：(