常微分方程第三版答案0001

1、习题1.21 .理=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。dx解:=2xdx两边积分有：ln |y|=x 2 +cyx2c2y=e +e =cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2 ,x=0 y=1时c=13特解为y= e x2. y2dx+(x+1)dy=0并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。解:2y dx=-(x+1)dydx两边积分：-丄刃n|x+1|+ln|c|yy=In |c(x+1) |另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1 时c=e特解：y=ln |c(x +1)|3 dl_ 1+y2 dx,3xy + x y解:原方程

2、为:dy _1 + y2dx y1x+x3Fy=y两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=01 VX +1解：原方程为： dy=-dxVx两边积分：In |xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5. (y+x) dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx x血 dydu令=uxu +1代入有:贝 U L =u+x一dx dx1du= dxu +1x2 2ln(u +1)x =c-2arctgu即 ln(y 2 +x2 )=c-2arctg-y2 =0解：原方程为:奢厶凶-j1(y)2dx X X Y x则令Y=ux虬u+ xdudx

3、 dx1J1 -u2解：原方程为:dy = dxtgy ctgx1du=sgnx dxxarcsin =sg nx ln |x|+cx7. tgydx-ctgxdy=0两边积分:In |si ny|=-l n|cosx|-l n|c|siny=-c 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.ccosx cosx所以原方程的通解为 siny cosx=c.y2 七X8 y+e=0 dx y解：原方程为:2dy ey 3x =e dx y2 e 3x-3e=c.9.x(l nx-lny )dy-ydx=O解：原方程为:令=u ,xlndx x贝U=u+ xdxyxdudxdu ,u+ x _u

4、lnudxln(ln u-1)_-l n|cx|y1+l n _cy.x10.nexdx解：原方程为:虬exedx14:5ey_cex11齐(x+y) 2解：令 x+y=u,则 dy =dU-1dx dxdu 2-1_udx1 2 du_dx1 +u arctgu_x+c arctg(x+y)_x+c12.丄 1 dx(x+y)2解:人血dy du彳令 x+y_u,贝y 亠 _ -1dx dxdu 1仁Pdx uu-arctgu_x+cy-arctg(x+y)_c.13.dy _ 2x - y +1dx x-2 y+1解：原方程为：(x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx

5、-(2y-1)dy-(2x+1)dx=02 2dxy-d(y -y)-dx +x_cxy-y 2 +y-x2 -x=cdy = X - y +5dx X - y -2解：原方程为:(x-y-2 ) dy_(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx_01 2 1 2dxy-d( y +2y)-d( - x +5x)_02 2y +4y+x +10x-2xy=c.15:=(x+1)2+(4y+1)2+8xy+1dx解：原方程为:x+4y=u型=(x+4y) 2+3dx则 dy=1du-丄dx 4 dx 4du 1=u2+3dx 44竺=4 u2+13 dx3u= _ tg(6

6、x+c)-122tg(6x+c)= (x+4y+1).316:证明方程d =f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程:y dx2 21) y(1+x y )dx=xdyX dy =2+x2 y2 y dx 2-x2y2证明： 令 xy=u,贝Udx dx则翌J屯-与，有: dx x dx xx du=f(u)+1u dxdu= dxu( f(u) +1) x所以原方程可化为变量分离方程。八人mrt dy 1 du1) 令xy=u 贝U亠=dx原方程可化为:dx将1代入2式有：1xu2(1)x dx x=$1+ (xy) 2xdudx=U(1+u 2)x xu= Pu2 +

7、 2 +cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设(x +y )为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y (x- x )+ y则与x轴，y轴交点分别为：9x= x 0 -也 y= yy0 - x 0 y则 x=2 x 0 = x 0 -匹 所以xy=cy18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中解：由题意得：y =-yx-dy=l dxy xln |y|=l n|xc| y=cx.兀a =4贝 U y=tg a x所以 c=1 y=x.19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则

8、y =kx则：y=kx 2 +c即为所求。常微分方程习题2.1= 2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得dyy2 2=2 xdx ,两边同时积分得：In I y| = X + c,即y = c ex把x =0, y = 1代入得2c =1,故它的特解为 y = eX。22. y dx +(x +1)dy = 0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：1 1dy,当y H 0时，两边同时积分得；In|x+1=+g即y=；yc + l n|x + 1-丄dx 二X+1 y当y=0时显然也是原方程的解。当x=0, y=1时，代入式子得c

9、= 1,故特解是1y _1 +ln1 +x23 上唇dx xy + X y解：原式可化为：222dy 1 + ydx yrHO,故分离变量得 dy=13dx两边积分得Inl22+y=In故原方程的解为（+ In|c|(c H 0),即(1 + y)(1 + X2)= c X2 21 + y)(1 中X)=cx#5: (y +x)dy +(y -x)dx =0解：也=口,令 VRy-ux-u+x巴 dx y +x xdxdx血du u +1 卄日八 ZBu +1,1,贝y u +x=,变量分离，得：-du =-dxdx u +1u+1X1 2两边积分得：arctgu +-ln(1+u )=-ln

10、|x| +c。6 xdhy+Jx-V解：令y =u,y=ux,dy =u+x,则原方程化为: Xdxdx1du =sgnx dxx彳22JXu),分离变量得：亠dx xj1-u2两边积分得：arcsinu =sgnx .In冈 +c代回原来变量，得 arcsin =sgnx .In|x| +cx2o另外，y =x2也是方程的解。7: tgydxctgxdy =0解：变量分离，得：ctgydy=tgxdx 两边积分得：In|siny| =-1 n|cosx +c.2y书x 8:鱼一*- dx y解：变量分离，得 丄Tdy = -jJcy3e9 : x(ln X In y)dy -ydx =0解：

11、方程可变为：-In 乂dy-乂 dx=0x x令 u =y，贝y有:-ddl nuxx 1 +ln u代回原变量得：cy=1+l n#。x10:%3dx D解：变量分离e ddx两边积分ey =ex +c4:(1 +x)ydx + (1 -y)xdy =0解：由y =0或x=0是方程的解，当xy H 0时，变量分离 上？ dx = Xdy = 0x y两边积分Inix +X +ln故原方程的解为Inxyy =c,=xy =Gy=0;x=0.即ln|xy + x- y = c.dyx_ydx=e解：变量分离,两边积分得：exdy = e dxx=e +c23dydHx+y)解：令X +y =原方

12、程可变为:变量分离得:代回变量得:t,则 虫+1 dx dxdU 丄+1dxt212dt =dx,两边积分 arctgt =x+c t +1arctg (x + y) = x + c12. = 2 dx (X + y)令x+y=t,则3=吏-1,原方程可变为史=4+1dx dxdx t、 t2 、变量分离t2 dt = dx，两边积分t-arctgt=x +c，代回变量X + y - arctg (x + y) = x + c13 dy _ 2x - y -1 dx X -2y +11 1解：方程组 2x-yT =0,x-2y+1 =0;的解为 x = - ,y = -3 3令x=x，y=Y+

13、1,则有必二J33 dX X -2Y1-2U, 2 令Y=u，则方程可化为：X也-22U 2UXdX变量分离仇dy _x-y+5dx X y - 2解：令x_y=5=t,则史=1-史，dx dx原方程化为：1 -史=，变量分离(t - 7)dt - 7dxdx t -71 2两边积分-t -7t = -7x +c2t1 2代回变量专(x-y+5) -7(x-y+5) = 7x + c.dy2215. dN1) +(4y+1)8x1解：方程化为 dy =x2 +2x +1 +16y2 +8y+ 1 +8xy + 1 = (x + 4y +1)2 +2 dx令1+x+ 4y = u,贝U关于X求导

14、得1+ 4=竺，所以1-du = u2 +9, dx dx4 dx42 28du =dx，两边积分得 arctg(-+-x + -y) = 6x + c,是分离变量*原方程的解。16.dydx-2x22c 5,22xy +x y解:dydxz 3、2 c 2(y ) -2x2/C 3,2 y (2xy +xadx一 3(y3)2-2x22xy + x2令y =u,则原方程化为dudx2xu+ x2u ,2 +1 xdu丄dz则z +x ,dxdx所以3u2侮2_予-62dz z -z-6x一 =dx 2z + 1y3 =3x或y3 =-2x是方程的解。3z2 -6 丄 dz=z + X 一,d

15、x -z-6=0,得z =3或z =-2是(1)方程的解。2z+112dz = dx,-z -dx即(y3 -3x)7(y3 +2x)3 = x5c,又因为y3 =3x或y3 = 2x包含在通解中当 的解为(y3 -3x)7(y3 +2x)3 =x15c=zz2当z2- z - 6 H 0时，变量分离2z+1(1)两边积分的(z 3)7(z + 2)3=x5c,c = 0时。故原方程3 3317.2x3 +3xy+xdy _23解:dy x(2x2+3y2+1)dy2 2x3y12 =原方程化为-22dx y(3x +2yJ ， ，J-1) dx2 23x +2y -1=u, ；x2 =v；贝

16、 y dv 2: +3u +13v +2u -1(1)方程组3：；篇鳥的解为（1）；令Z丫1,2z +3y =0则有,，从而方程（1）化为|3z+2y=0dz2+諾=z3 + 2#z2 + 3ti+z生，所以t+z=,dzdzdz 3 + 2tdt 2-2t2z一 =dz 3+2t2 -2t2=0时，即t =1,是方程（2）的解。得=X2 -2或y2 = -x2是原方程的解22-2t H0 时，3+2t12299分离变量得盲d匕0两边积分的y +x 7 -X+ 2)5c另外y2 =x2 -2,或y2 = -X2,包含在其通解中，故 原方程的解为y2 +x2 =（y2-X2 +2)5cdx 3x

17、2y+ 2y -ydu得:援一1血),dx=y(f(u) +1)故此方程为此方程为变程。解(1):当x =0或y =0是原方程的解,当xy H 0s时，方程化令xy =u,则方程化为dx匚(2u+u3),变量分离得：2u+u斗X dy d丄 22为-=1 + x y y dx 入 yUdxx2两边同时积分得:一UU +22故原方程的解为原2x y2=cx，即 一X y +22=Cx ,x =0.2=cx ,y = 0也包含在此通解中。2解(2)令xy =u,则原方程化为 =丄2兰 +比=丄上企 dx X 2-ux2-u2 2d+c,这也就是方程的解。4分离变量得2 -u24udu =-dx，两

18、边积分得In=x19.已知 f(x)xJ f (x)dt =1,x HO,试求函数f (x)的一般表达式.0解：设 f(x)=y,X1y = -1 y则原方程化为Jf(x)dt=-两边求导得y20y-ydydxJ J J J J J J J J J jZX dx1=-3 .y dy- 1 1；两边积分得x+CU7；所以宀618.证明方程=f(xy)经变换xy =u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程 y dx2 2(1) .y(1 +x y )dx =xdy.c22xgy=2+x y)y dx 2-x2y2证明：因为xy =u,关于x求导导得y + x =,所以x =-du-y dx dxd

19、x dx=-(f(u) +1 (uf(u) +u)xx扌巴y =1 代入J2x +cx 1 _ 1!7!rCdtT2x+C;沖gc)42x+c 得 c，所以以20.求具有性质 x(t+s)=x(t) +x(s)的函数x(t),已知x (0)存在。1-x(t)x(s)解：令 t=s=0 x(0)=册=200w 若x(0) H0 得 xj 矛盾。所以 x(0)=0. x ” -十(15”0)(1+扣)Atdx(t)dt2= x(0)(1+x (t)dx?=x(0)dt 两边积分得 arctg x(t)=x (0)t+c1 +x2(t)x(t)=tgxx(t)=tgx(O)t+c 当 t=0 时 x

20、(0)=0 故 c=0 所以 (0)t习题22求下列方程的解dy 丄. 丄=y +sin x dx解:(dx_ldxy=e 、( Jsinxe、 dx+c)1=ex e ( sinX + cosx )+c21=c e X - 一( sinx+ cosx)是原方程的解。2dX+3x=e2tdt解:原方程可化为：一=-3x+e2tdt所以：x=e 戶 dt (J ee 戶dt dt + c)解:=et ( le5t +c)5=c e d + 1e2t是原方程的解。5ds 一 1. c=-s cost + sin2tdt2f-costdt” 1dt ,s=e ( Jsin 2t e、dt +c )，

21、2=e sint ( fsintcostesintdt+c)-sint ,. xjint Jint .亠 、=e ( sinte -e +c )ucent +sint -1是原方程的解。dy x一 y =e dx nn为常数.解:原方程可化为:dydXxx n=y +e x ny=e3(JexxneTxdxdx+c)=xn(eX +C)是原方程的解.dy 1 -2x+y.2 ydx x1=0dy =dx1 2x 亠 1解：原方程可化为:y +1X2xAJ-2xFdx卜xy = eX ( e X dx + c)(In X2 41)_ln X2 丄=e 2 (fexdx + c)2=x1(1+ce

22、x)是原方程的解.6. dydx4.3X +x2 xy解:包dxX4 +x32xy=u3 X2 y+!Xdxdxdu x因此:u +x = 2dx udu -丄dx u2u2du =dx u3 =x +c3u3 -3x = X +c(*)将-=u带入(* )中得：y3-3x4=cx3是原方程的解.X7.理一空=(x+1) dx X +1解空=空*+1)3 dx X +1P(x)=二,Q(x)=(x+1)3X +1= (x+1)2ef(x)dx方程的通解为：y=e=(x+1)(=(x+1)(=(x+1)P(x)dx_(x)dx(JeQ(x)dx +c)2 f*(x+1)dx+c)(x+1)22J

23、(x+ 1)dx+c)2(92即: 2y=c(x+1)2+(x+1)即7 +cy是方程的通解，且y.0也是方程的解。为方程的通解。8理二亠dx X + y的 dx x+y 1 丄 2解:=-x +y2dy y y则 P (y)= l,Q(y) =y2yp(y)dyEdy=ye L = e方程的通解为：p(y)dy-p(y)dyx=e=y(JeQ(y)dy+c) jl*y2dy+c)y39空=ay+U,a为常数dx x x解：P X)=a,Q(x)=也xxef(x)dxC10.x虬 y = x2 3 dx解:巴一1y + x3dx x31=x3方程的通解为：y= ef (x)dx(e(x)dxQ

24、(x)dx +c) P(x- ,Q(x)=xa/1 x+1 ,(Jxv-dx+c)IP(x)dx-f-dxe =e Xa=0时，方程的通解为方程的通解为:a=1时，方程的通解为y=y=x+In /x/+cp(x)dx_P(x)dxe(Je Q(x)dx+c)y=cx+x In /x/-1a H 0,1时，方程的通解为y=cx1- a a1 3(x*xdx+c) x3c4方程的通解为:x3x c y= + 4 xdy3 311.+ xy = X y dx两边除以y 3dy2,33=-xy +xy dx dy-2解:理=-xy +x3y3 dxeJp(xdx=ePxdx方程的通解为：=ex2z=e

25、 b(x dx( gJP(xdxQ(x)dx +c)=ex ( Je (-2x3)dx +c)=x2 +cex2 +1故方程的通解为:y2(x2 +cex2 +1)=1，且y =0也是方程的解。In x 1+-24c 212.( y In X-2)ydx =xdy-x4解:型=Iny2 j!dx x两边除以y2dy In x 2yy2dxxdy 丄 Inx 2ydx令yzdz 2 In x =z dx xP(x) =2,Q(x)xIn x方程的通解为:P(x) dx_p(x)dxz =e 厂(Je Q(x)dx +c)gdxgdxIn X 1 丄、9.1In Xz=e. (Je -(-)dx+

26、c)=x(JFxx x)dx+c)皐x2+n4方程的通解为：y(cx2+也+$=1，且y=0也是解。4241322xydy = (2 y dy 2y2 -X-x)dxdx 2xyy !_x 2y这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以y*dx xdx dxdz 二 2y2-1dx x=丝-1xP (x)= -Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式ldx(dxz =ex (Jex dx+c)X + x2,3_yx 中 X e c =x +x2c14 dydx两边同乘以令ey=zdzdxey +3xx2eyeyydxdz一 =edxz2 +3xzx2两边同除以y dydxxx2丄z2 dxP (x)

27、=亠 Q(x)=dTdz1 dz z2 dx dTdxdx-1x(ey)2 +3xeyx2这是n=2时的伯努利方程。31+-丁 2xz x令-=Tz-3T+丄x2由一阶线性方程的求解公式Cdx_1pdxT =exdx+c) x_31 2x (一一 X +c)21 1 , =-X +cx2zLX+cx A) =12cx) =1y .14e (-x21 2 y . y 3 -x e +ce =x=c215业dxxy+x3y3dx ,33=yx十y X dy这是n=3时的伯努利方程。两边同除以x3晋片y3x dy x33空一2x血dz矿2y2xdydy33-2y = 2yz-2y P (y)=-2y

28、 Q(y)=由一阶线性方程的求解公式Z =e Pydy( J -2y3eTdydy +c)2 3 2= e-y (-J2y3ey dy+ c)=-y2 +1 +ceyx2(-y2 +1 +cey)=1x2ey2(y2 +1+cey)=ey2ey (1 -X2 +x2y2) =cx2x16 y= ex y(t)dtdxdy , x =y +e dxP(x)=1 Q(x)=ex由一阶线性方程的求解公式|1dx x 1dxy =e (Je e dx +c)=ex( fexedc)=ex(x 中c)eX(x +c) =eX + 0 eX(x +c)dxc=1y= ex(x +c)17设函数申(t)于s

29、t + s上连续，0(0)存在且满足关系式W(t+s)= (t) W (s)试求此函数。2令 t=s=O 得 W (0+0)=申(0)护(0) 即 (0)=护(0) 故 W (0)=0 或 (0) =1(1)当 (0)=0 时护(t)=W(t +0) =W(t)申(0) 即 (t)=0/t 迂(g，+ g) 当W (0)=1时仏=iimf 叫At.申(t)(护 3t)-1)= ,.(At+0)-申(0)、to =也(t)Atte（0）w（t）于是竺=0(0)申(t)dt变量分离得 孚= （0）dt积分 W = cet由于护（0） =1，即t=0时 =11= ce0 = c=1故cp （t）之的

30、20. 试证：（1） 一阶非齐线性方程（2 .28 ）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3 ）之解;（2）若y = y（x）是（2.3 ）的非零解，而y = y（x）是（2.28 ）的解，贝9方程（2.28 ）的通解可表为y = cy（x） + y（x）， 其中c为任意常数.（3）方程（2.3 ）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3 ）的解.=P(x)y +Q(x)(2.28 )证明：dy-dx(1)dydx=P (x)yyi，(2.3 )y是（2.28 ）的任意两个解学十(x)yQ(x)dx(x)y2+Q(x)dx(1)-得d (y1 - y2)dx=P (x)(y1-y2

31、)y = % - y2是满足方程（2.3）所以，命题成立。由题意得：dr=P （x）yd y(x)L斗P (x)y(x)+Q(x)1）先证y =cy +y是（2.28 ）的一个解。于是 cx（3）+（4）得cdy d yL臥+丁 cp(X)y+p(x)y+Q(x)d(cy + y)Ldx=P (x)(cy + y) +Q(x)故 y = cy + y 是( 2.28 )的一个解。(5) (6)得352）现证方程（4）的任一解都可写成cy + y的形式设yi是（2.28）的一个解于是从而所以,dyidx=P(x)yi+Q(x)(4)d(yi -y)dx(4)(4)得=P(x)(yi -y)LfP

32、(x)dxyi - y =ce =cyyi =y + cy命题成立。设y3，y是（2.3 ）的任意两个解dy3dx Fx)y3dy4(5)dx =P (x)y4于是dcy = P（x）（cy3）其中c为任意常数dx也就是y =cy3满足方程（2.3 ）dy3 dy4= P( x)y3 P(x)y4 dx dx即 d(y3y4).丄，dx即=P(x)(y3y4)也就是y=y3y4满足方程(2.3 ) 所以命题成立。21. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。(5) 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；(6) 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项;解

33、：设p(x,y)为曲线上的任一点，则过P点曲线的切线方程为Y-y=y(X-x)从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(x-,0),(0, y-xy)y即横截距为纵截距为y-xy。(6)2#由题意得:(5)y-xy2=x方程变形为dyx=dxdy 1 亠=-y -x dx xl-dxy 心(J(x)e x2y-x于是dxdx +c)= eln%J(-x)exdx+c)斗(J(-x)x dx+c)=x( K -汕1)dx + c) x= x(-x +c)=x2 +cx所以,方程的通解为y = -x2 +cx。y-xyg方程变形为xdy y xx dx 2dy 1一 =一ydx 2x3.39于是4)dxd

34、x +c)1 1_ln凶1-In x|=e2 內(J(2)eY xdx+c)1= x|2(J(；)x dx+c)= X2( J(-1xP)dx+c)1 1= x2(-x2 +c)1=x +cx21所以，方程的通解为 y = -x +cx2。22. 求解下列方程。2(1) (x -1)y-xy+=0解：y学1yx -11X2 1y =e仃一+c) -11/x2-1/2J-x1/x21 dx + c-1/21/x2 -1/2 J-dx3/X2 -1/2+ cc U/1 - X2 / +x(2) y sinxcosx-y-sin3x=0dyy +Sin2 xdx sin xcosx cosx.2p(

35、x)=Q(x)=snzsin xcosxcosx由一阶线性方程的求解公式dxnxcosx dx+c)yeLn xcosxdx (sinXe_jsy = e( Je cosxsin x ,(fsin xdx +c) cosx、sin X(-cosx +c) cosx=tgxc -Sin x习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1.(X2 +y)dx+(x-2y)dy=0解:型=1，匹1.勺dx解:=1 ,=1 .cyex则凹ex则凹所以此方程是恰当方程。凑微分，x(y -3x2)dx -(4y -x)dy =0dx-2ydy+(ydx+xdy) = 0得:x3 + xy -y2

36、=C3所以此方程为恰当方程。凑微分，ydx +xdy -3x2dx -4ydy = 0得 x3 -Xy + 2y2 =C2 彳 彳 2 古一严厂占dy=0解:cM2y(x-y)2 -2y2(x-y)(-1)(X y)cNcXcM2xy(X-y)32x(x-y)2 -2x2(x-y)(X-y)4cN因此此方程是恰当方程。cUcxcu2xy(X-y)3(x-y)y (x-y)(1 )做x的积分，则(3)做 y的积分，则d(y)1(1)X2dyy (x-y)(x-y)2dx- J-dx+ W(y)XIn x + W(y)(1)y2+(x y)2y+d(y)(X-y)dy2xy + y2 异玖y)(X

37、-y)2dyy (x-y)y2 -2xy(X-y)21申(y) = J(T)dy =l ny-yx2 -2xy+y2(X y)1-1x-yTn X + In y -故此方程的通解为Iny =lnxy -y=Inxyx-yx-yx-y2(3xy2 +2x3)dx +3(2x2y + y2)dy = 043解:=12xy，处=12xy .cy次cM则此方程为恰当方程。凑微分，6xy2dx +4x3dx +6x2yd y+ 3y2dy=022433d(x y )+ d(x )+ d(x )=0x4+ 3x2y2 +y3 =C5.( -sinyy y1cos 丄 +1)dx+( cosxy.xx .

38、sin y2 )dy=0 y解：M=1 . sin yy cos I +1xN=cossindM12ysinex12ysin所以,cM1因为一sinyx3cos y yxxpCOS -yy12xcoscos，故原方程为恰当方程exxdx-yxd(-cos )+d (siny所以，d(sin y故所求的解为求下列方程的解:y + s inx x xd+sin yx x策 cos dx+dx+ cosx2 x冷 sin dy+ A dy=0y y y)+dx+d(-x-cos +x -x ysin -cosx2x6. 2x(y e -1)dx+2Xe dy=0解：如=2x1)=0yx+x -ycN

39、ex2=2xex所以，巴=丄，故原方程为恰当方程cy ex2 2又 2xy ex dx-2xdx+ ex dy=02所以，d(y ex -x 2 )=03497.(e解:2故所求的解为y ex -x 2X +3y 2 )dx+2xydy=0x2e dx+3y dx+2xydy=0=C2 dx+3x 2 y 2 dx+2x 3 ydy=032 cy )=0所以，d e x( x 2 -2x+2)+d( x即 d e x( x 2-2x+2)+ x 3y2 =0故方程的解为ex( x 2 -2x+2)+ x 3y 2 =C28. 2xydx+( x +1)dy=0解：2xydx+ x 2 dy+d

40、y=02d( x y)+dy=0即 d(x 2 y+y)=0故方程的解为x 2 y+y=C.2 29、ydx xdy =(X + ydx解：两边同除以 x2+y2Ix即，d arctg = dxVy丿/ 、=X +c故方程的通解为argtglly丿10、ydx -(x + y3 dy =0解:方程可化为:ydx - xdy = ydy即,dg=ydyly丿故方程的通解为：-=1 y2 +c 即: 2x = y(y2+c)2同时，y=0也是方程的解。11、(y _1 _xy dx +xdy = 0解:方程可化为：ydx +xdy = (1 +xy pxd (xy )= (1 + xy dx 即:

41、 d(xy)= dx12、解:13、故方程的通解为：ln|1 +xy| =(y -X2 dx -xdy =0方程可化为:ydx-xdy =dx-JyLdxlx丿故方程的通解为X +c即：y = x(c - x )(X +2y dx +xdy = 0解：这里 M =x+2y, N = xcM丰cNex方程有积分因子匸dxP=ex =x两边乘以卩得：方程X(X +2y dx +x2dy =0是恰当方程 c1故方程的通解为:f(x2 +2xydx + f lx2f(x2 +2xy dx dy = cLJX3+ x3y =c即：X3 +3x2y = c14、 xcos(x + y )+sin(x +

42、y )dx + xcos(x + y py = 0解：这里 M =xcos(x +y)+sin(x + y) N =xcos(x + y)因为 = =cos(x + y )_Xsin(x + y ) 点y&故方程的通解为:=c即:cJ kcox + y )+sin(x + y )hx + Jxcox + y )-上 J Rcox + y)+ sin(x + y 、L釦xsin(x + y )= c15、 (y cosx +xsin X px +(ysin x + xcosx dy =o解：这里 M = y cosx Xsin x, N = ysin x + xcosxcyexcM令旦一 =1方

43、程有积分因子：卩=eJdy=ey两边乘以4得:-M方程 ey (y cosx xsin x dx +ey (ysin x + xcosx dy = 0 为恰当方程故通解为 ：Jey(ycosx-xs inx( 、dx+J N-Jey(ycosx xsinxdx dy = c 、科丿即：ey sin x(y 1 )+ey cosx =c16、x(4ydx +2xdy )+y3 (3ydx +5xdy)=0解：两边同乘以x2y得(4x3y2dx +2x4ydy )+(3x2y5dx +5x3ydy )=0d(x4y2 片d(x3y5 ) = 0故方程的通解为：x4y2 + x3y5 =c17、试导出方程M(X,Y)dx中N(X,Y)dy =0具有形为4(xy)和卩(x + y)的积分因子的充要条件。解：若方程具有 4(x+y)为积分因子,次PM） 次腋）（卩（X + y）是连续可导）即+4dM一 =N刖+卩州cx次即 K.cMcN-N-4( 一+cx点yx(1)令z :=x + y刖