论文函数最值问题1

1、函数最值问题解法探讨摘要函数最值问题是函数的核心知识，在现实生活中也有着广泛的应用，是中学数学教学与研究的重点内容，同时函数最值问题也与数学中众多知识与方法是紧密相关的。本文主要就函数最值问题的基本求解方法与技巧加以讨论，并结合一些具体的例子进一步说明这些方法在解题当中的应用。AbstractThe maximum andminimumof the function is the core knowledge of function, which is also widely applied in real life, and is the key content of middle scho

2、ol mathematics teaching and research. Meanwhile, it is closely related to numerous knowledge and methods in mathematics. This article mainly discusses the basic calculation methods and skills of the maximum and minimum of the function, and combines with some concrete examples to further illustrate t

3、he application of these methods in the problem solving.关键词:函数 最值 解法 目录1引言32函数最值问题解法探讨33例题探讨54总结语13参考文献13 一、引言函数是中学数学的主体内容,贯穿于整个中学阶段,而函数最值问题是函数的重要组成部分。并且函数最值问题也与数学中众多知识与方法是紧密相关的，根据平时教学中教授知识内容，我认为总结函数最值问题解法很有必要，对提高学生解决问题的能力有很重要的作用。一般函数的求最值的方法可归纳为十种：判别式法、配方法 、不等式法 、三角函数法 、换元法、数形结合法 、函数单调性法 、复数思想 、求导法 、

4、线性规划法等，这些方法具有极强的针对性，每一种方法针对性不同。本文就常用的几种方法进行探讨。二、函数最值问题解法探讨函数最值的定义设函数y=在内有定义，如果有 ,使得对于任一,都有（或）成立，则称函数在点处有最大（小）值()。 1、 判别式法有些函数经过适当的变形后，可整理为 ()的形式，根据x是实数，因而可以用判别式求最值，但要注意把变形过程中函数值域扩大（或缩小）的部分去掉（或找回）。12、配方法当函数是二次函数,或者经过变形后可以转化为二次函数时,就可以利用这种方法进行求解。当涉及到具体问题,在使用配方法时必须注意题目中的隐含条件及问题的转化、换元。经转化后问题一般就成了求函数y = (

5、 a 0)在闭区间 或区间( 、) 上的最值,此时就可以用二次函数的单调性来确定最值。23、不等式法有些函数可利用已证过的重要不等式来求最值，特别是均值不等式在求最值的问题中更是应用广泛。著名的平均值不等式：若R+则 当且仅当是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。34、三角函数法求三角函数最值，主要利用正、余弦函数的有界性，结合函数的图像和性质来求解。求三角函数的最值方法：1） 可用辅角化为其中 2） 可化为3） 可换元转化为二次函数4）与同时存在型可换元转换5）或可用分离系数法或由来解决，可化为重分式求解。6）可用斜率公式求解决5、换元法 换元法

6、就是通过引入一个或几个新的变量，来替代原来的某些量的解题方法，达到化抽象为具体形象，化繁杂为简单明确，化难为易的目的，换元法主要有代数换元和三角换元。用换元法时，要注意换元后变元的范围。6、数形结合法数形结合能将抽象的问题直观化、形象化，函数最值也常借助数形结合方法来解。7、函数单调性法一般对于可化为y=型（或化为余弦函数形式）的三角函数，在自变量的范围限制在某个区间的情况下，函数最值问题通常通过三角恒等变换将已知函数式直接转化为一个角的三角函数的形式，将异名三角函数化为同名三角函数，然后利用三角函数的单调性来求解。48、复数思想复数z 是形如 (R)的数,它与以原点O为起点的向量建立一一对应

7、关系后，从侧面获得了：（1）长度的含义，即 | z | =；（2）非零实数的性质，即| z |0，这样| z |就列入到求最大（小）值问题了，其解法有以下四种：（1）运用图形的直观性求解；（2）运用复数的三角不等式求解；（3）运用复数的几何意义求解；（4）运用共轭复数的性质求解。9、求导法如果函数f(x)在闭区间a,b上是连续函数，那么f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值，它的最大值（最小值）是函数f(x)的极大值与极小值以及f(a)、f(b)中最大的（最小的）。510、线性规划法线性规划问题，一般可用图解法求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题。分为三个步骤：第一步，在平面直角

8、坐标系中作出可行域；第二步，利用平移直线的方法在可行域内找到最优解析对应的点；第三步，将最优解代入目标函数求出最大值或最小值。三、例题探讨例 1 ：已知函数 求其最值解：由得， 即 例 2 ：已知实数满足求的最大值!解：从已知条件推得 =又 解得当时，（）=,无最小值。例3：的最小值 解： 原式2+1=5当且仅当时，即x=3时，等号成立。注意：1）、两个正数的和为定值，则积有最大值，两个正数的积为定值，则和有最小值；2）、应用均值不等式求最值时，要注意三点“一正、二定、三相等”。例4（1）：求函数的最大值与最小值解：函数的几何意义为两点P(-2,0),Q连线的斜率K,而Q点的轨迹为单位圆，可知

9、 例4（2）：函数满足且求函数f(x)的最值解：把代入得例4（3）：已知函数， 1、求函数的最小值2 、求1中的最大值 解： f(x)取得最小值 当a=1时，例5：函数f(x)=2+,x1,9求的最大值、最小值解：由可得，定义域令 则t=0, t=1,例6:求函数的最大值和最小值。解：= 这可以看作是定点A( -4,-3)与单位圆上的点 p连线的斜率。由下图可知，过点 A( -4，-3)作单位圆的切线时，斜率有最值。故 y 的最值就是当直线 AP 与单位圆相切时的斜率。A(-4,-3)xyOPP因为单位圆 中斜率为k的切线方程为: 由于该切线过点A(-4,-3)，故 ，-3=-4所以 即 例7

10、：已知函数，,求函数的最值。解：=当即时， 函数f(x)取得最值得自变量x的集合是例8：已知复数z满足| z |=2，求的最大值和最小值。解法一：设z=,(R) | z |=2 = = 设t=a+,则t-=a, 4-2 bR，tR, =-160 解得-4t4,即-44 代入得 =0 =4解法二： | z |=2， 点z是圆上的点，表示z与-1-的对应点间的距离。由于点P（-1，-）在圆上，如下图：pxyO22 |PZ|的最小值为0，最大值为4，即 =0 =4解法三：由不等式-+，得 04 =0 =4解法四：设z=（R),则由| z |=2 得 =(x+1)+(y+)(x+1)-(y+) =(x

11、+1)+ (y+) = = 由于，故可令 于是上式可化为=8+4( =8+8 =8+8 016 即 =0 =4在求函数的最值时,如果函数能够变形为平方和的形式,不妨引进复数,利用复数的模来求解,利用复数的模的不等式性质,往往使问题迎刃而解。例9：已知a为实数，f(x)=(x2 -4)(x-a)若f(-1)=0,求f(x)在-2,2上的最大值与最小值。解：由原式得：f(x)=x3-ax2-4x+4a f(x)=3x2-ax-4由f(-1)=0得a= ,此时有由得或又，所以在-2,2上最大值为，最小值为。注意：1、函数的最值是对函数在整个区间上的函数值相比较而言的，函数的极值反映函数在某一点附近的

12、情况，是在局部对函数值得比较，故函数的极值不一定是最值，在某一区间上最值不一定是函数的极值； 2、连续函数在开区间（a,b）上不一定有最大值或最小值，如果连续函数在开区间（a,b）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值。例10：已知实数x,y满足，求的最大值和最小值解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示Oy426ACDBx=4x+y-6=04x-3y+12=046x令z=,则y=xz故求的最大值与最小值就是求不等式组所表示的平面区域内的点与原点连线的斜率的最大值与最小值，由图易知，最小，最大，由得故C（4,2），= 由得故A =6故的最大值为6，最小值为注意：线性目标函数的最大值或最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得；求目标函数的最优解，要注意分析目标函数所表示的几何意义。四、总结语本文通过函数最值问题及例题探讨，总结出求函数最值问题几种解法，碰到现实问题时，要根据不同题型,不同情况来区别对待,没有一套固定的公式和定式。我们只有通过全面分析，结合所学的已知知识，用综合的手段，面准确的考虑最值的各种可能