01—向量的概念与运算-教师版

1、专业引领共成长高二数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号课型预习课课题向量的概念与运算教学目标1. 掌握并灵活运用向量的概念；2. 会求各种类型的向量运算问题.教学重点1 .向量概念的特殊情况；2.各种类型向量运算问题的求法.教学安排版块时长1例题解析602巩固训练303师生总结304课后练习30高二数学暑假班课程向量的概念与运算（教师版）5 / 19热身练习1.已知an【难度】【答案】a53 n 2n 113,a62 .已知数列an满a1 a2a3a4【难度】【答案】47043数列列是Cn向量的概念与运算N ，则数列an的最小项和最大项分别为足：a1为正整数，an 1a2016an与bn的

2、通项公式分别为 an 4n 1, g，则Cn的通项公式为【答案】cn 12n 14等差数列 an的前m项和为30,前2m项和为ioo,【答案】210a23anan为偶数，如果a11，则an为奇数3n 2 ,则它的前5 已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且的个数是它们的公共项由小到大排成的数3m项和为Bn5n 63，则使得邑为整数n 3bn【答案】7知识梳理例题解析1、向量的概念平面向量的相关概念:(1)向量：既有大小、又有方向的量叫做向量;(2)向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 0 ；相等的向量：方向相同且长度相等

3、的两个向量叫做相等的向量;互为相反向量： 方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量;平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量.(1)【例11判断下列命题是否正确，并说明理由: 共线向量一定在同一条直线上.所有的单位向量都相等.向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线.向量a与b共线，则a/ /b .向量AB/CD，贝y AB / /CD .平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量.专业引领共成长高二数学暑假班课程向量的概念与运算(教师版)9 / 19【难度】【答案】(1 )x( 2)X( 3)X( 4)V( 5)V( 6)X【例2】给出命题零向量的长度为零，方向是任意的.若a , b

4、都是单位向量，则a= b.向量AB与向量BA相等.若非零向量AB与CD是共线向量，则 A , B ,C , D四点共线.以上命题中，正确命题序号是A .B .)C .D .【难度】【答案】A【例31如图，在止万形LUUuutA. ABBCuutC. AClULU 返ABABCD 中,B.下列描述中正确的是(LUUABuuuAB【难度】【答案】【例4】在梯形ABCD 中,AD / BC ,都画成有向线段,uuuCDUJILBCABLuu LuTAB BCCD , DE/AB，点E在BC上，如果把图中线段那么在这些有向线段表示的向量中，指出(用符号表示).(1)所有与uuuAB相等的向量.(2)所

5、有与uuuAB互为相反的向量.(3)所有与uuurAD平行的向量.【难度】uult UUL【答案】(1) DE AB ；(2)与uuuAB互为相反的向量:uu uult BA、ED ；uult(3)所有与AD平行的向量为:uuin DA ,uuu uuu uuu BE, EB, EC ,uuu uuu UUL CE , BC , CB.【例5】如图所示，E、F、(1) 在以 A、B、C、E、是写出所有与EF平行的向量；(2) 在以A、B、C为起点，G依次是正 ABC的边AB、BC、F、G为起点或终点的向量中，以E、F、G为终点的向量中,是写出所有与Gf模相等的向量；(3) 在以E、F、G为起点

6、，以A、B、C为终点的向量中,是写出所有与EG相等的向量.【难度】h 【答案】(1) AG,GA,GC,CG,AC,CA, FE ; ( 2) AG, AE, BE, BF,CG,CF ; (3) FC .【巩固训练】1判断下列语句是否正确:(1)用有向线段表示向量时，起点不同但同向且等长”的有向线段表示相等的向量;表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线段的终点有可能相同;uuuULU向量Ab与向量Ba是同一个向量;相等向量一定是平行向量;互为相反的向量不一定是平行向量;(6)平行向量一定是相等向量或互为相反的向量.【难度】【答案】(1 )V(2)X(3 )X(

7、4 )V(5)X(6 )x(B)两个相等向量若起点相同，则终点必相同(C)只有零向量的长度等于0(D)平行的单位向量都相等2.下列命题中的假命题是(UUU UUU(A)向量AB与BA的长度相等【难度】【答案】【解析】D选项，平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量.ihlSn 方专业引领共成长3.下列说法中错误的是（如果向量b与向量a平行，那么存在唯一的实数m使得b ma；如果m、n为实数，那么m(na) (mn)a ；如果m、n为实数，那么(m n)a mana ；如果m、n为实数，那么m (a b) m amb .【难度】 【答案】A4.下列说法中正确的是

8、（若ab，贝 y a / b若a / b，则a若ab，则a若a，则A. 1B. 2C.3D.4【难度】【答案】B2、向量的加减法平面向量的加减法则(1)几个向量相加的多边形法则;【例6】【难度】【答案】(2)填空:LUUABuuuABLUUABuuuAC ；向量减法的三角形法则;向量加法的平行四边形法则.UULTBCuuuABuuuBCuurCALUTBCuuuBAUUTAEUUlTFCuuuEFUULTACuuuBCuuuOAUUITBCulutOCUUTULUTT uuuBC ； AC ； 0 ； BA .【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外,加减法则之间可以转换，比如uuu UULT

9、 uuuAB AC CB 是高二数学暑假班课程向量的概念与运算（教师版）11 / 19专业引领共成长高二数学暑假班课程向量的概念与运算（教师版）13 / 19UUTULLTUULUULuuu利用减法法则，箭头指向被减数，同时ABACABCACAAB CB，这样运算复杂了，但也是一种思路.【例7】如图，已知平行四边形 ABCD,对角线AC与BD相交于点uurr uurrrO.设 OAa, LLLBb，试用 a、b表示下列向量:UUT UUT OC , OD ,UUL uuuLULTUULAB , BC , CD , DA .【难度】ULLTr ULLT【答案】OC a ;ODur LUU r r

10、 uuu r b;AB b a ;BC br uuua ;CD【解析】利用平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分的性质来求解以上向量:uurOCLuuOAr lult a ； ODuuur uuuLUUUULrr lultOBb; ABOBOAba ; BCUUTOCuuuOBr r UUT a b ; CDLUU r r AB a b ;umrDAuuuBC【例8】【难度】【答案】【例9】【难度】【答案】A.uuu ABUULT DCB.UUTADuuu ABULLTACC.LUU ABUULTADULLT BDD .UULTADuuu CBr0如图，在平行四边形 ABCD中，下列结论中错

11、误的是（已知任意四边形ABCD 中,E,F分别是AD,BC的中点，求证:BuuuEF1 LUU (AB2uuur DC).略【例10】下列说法中正确的是（专业引领共成长高二数学暑假班课程向量的概念与运算(教师版)17 / 19A. AB ACBCB .对任意两个向量 a,b a - b,与ba都是相反向量C .在ABC 中,AB BCAC 0D .在四边形ABCD中，（AB BC）(CD DA)0【难度】【答案】B【巩固训练】UUU1.计算：（1） ABuuuBCuuu ;OEULUEF(2)uuuAEuuuFCuuuEF(3)uuuABuurBCuur uur uur CD DE EFUUU

12、UUUUUU【答案】AC,OF ；AC ；UULUJU2.如果OA5 ,OB3,【难度】【难度】ulu那么AB的取值范围是umr AF .【答案】UULAB【解析】AbOua OB，当0、A、B三点共线时,UUL LUILOA OB分别取最大值与最小值LUu uuu,OA, OB同向时取最小值2,方向相反时取最大值 8,所以2AB3.如图，多边形uuuABCDEF是正六边形，设ABr uuu rr ra, BC b。试用向量a和b表示向量OA, OC ,mu uuiuuuuOE .【难度】【答案】uuoOAr uuub ； OCULUTOEEC4下列说法中正确的是（A. AB AC BCB .

13、对任意两个向量a,b a - b,与b a都是相反向量C .在 AABC 中，ABBC AC0D .在四边形 ABCD 中，(AB BC) (CD DA) 0【答案】3，则5 .已知【难度】【答案】6 若0是VABC所在平面内一点，且满足Luw ULurOB OCuuu uur uuuOB OC 20A ,则 ABC的形状为【难度】【答案】直角三角形7. ABC，若对于任意实数t ,都有BAtBCAC ，贝y ABC曰 定是三角形。【答案】直角三角形3、向量的数乘运算(1 )实数与向量相乘的运算设k是一个实数，a是向量，那么k与a相乘所得的积是一个向量，记作ka .如果k 0，且a 0，那么k

14、a的长度kaka的方向：当k 0时ka与a同方向；当k IU|专业引领共成长高二数学暑假班课程向量的概念与运算（教师版）25 / 19【解析】由题意得,uur AB uurADLuu BN uuur DMuu AB1 uur -AD2r nLuu1 uuuLrAD-ABm2LuuAN即Luur ,即AM解方程组，得【例19】如图, uur uLU 写出AB、EF【难度】【答案】【解析】uuuABuurAD4r一 n3411-m32U-m32r一 n3ABC 中,E为AC的三等分点，F、H为BC的三等分点，CA a , BC b ,uuua r、GH关于a、EF PGH PAB .uuu uji

15、r uuu AB AC CBb的组合，并通过向量证明又 G、E为AC的三等分点，F、H为BC的三等分点,1r a 3uuiu Luu二 GH GCuurCH2 r -a3Ib，uuu uur EF ECuuuCFEF、GH、AB之间的位置关系.B即 EFPGH PAB.【巩固训练】r1 r-a-brr r1 .若 2 xc3x b32【难度】【答案】x4 r 一a丄b1r c .2177【解析】r1 r -a-r r r2 xb c 3x32r 4 r1 r1 rx 一a-b-c .21770，其中a、b 0,c为已知向量, 2X 3X2求未知向量 x.1b 丄c.2 22如图，在ABCD是A

16、B边的中点，E是(1)用中，BA、BC表示向量DE ;用Luu uuu 亠一亠= uur CA、CB表示向量DB .【难度】EBC延长线上一点，且专业引领共成长高二数学暑假班课程向量的概念与运算（教师版）27 / 19UUIT【答案】（1） DE1 UUT UULTUUT-BA 2BC; (2) DB21 UJT -CB21 LUT -CA.2【解析】（1）UULT / DEUUJ UJUDB BE ,D是AB边的中点,且 BE= 2BCUJLT .DE1 uu BA2uuu2BC ；UUT 1 UUJ DB -AB ,2UJU DB1 UJIT-(AC2UUT 1 UUT 1 UUTCB)

17、-CB -CA .2 23.已知平行四边形ABCDUUT的对角线AC与BD相交于点O ,设OALUU TUUTOB b，分别求向量OC、UULT UUOD、 AB、TUUT TBC关于a、b的分解式.【难度】UUT【答案】OCT UULT T UUT a ;OD b ;ABT UJU T T b;BC ba.4.已知点A、B、C在射线OM上,D、E、F在射线ON上，PB OAOEODki,OCOAOF k2 .设ODUUT T UUT OA a , OD（1）分别求向量Ad、UJUBE、ULUCF关于a、b的分解式;（2）判断直线AD、BE、CF是否平行.【难度】【答案】【解析】UULTTT

18、ULUTADab ;BEk1(bAD、BE、CF两两平行.UULTUUTUJLTT TADAOODa b ;(1)直线t uut ta) ;CF k2(ba)； OBOE ,OC OF ,k1 ,k2,OAODOA OD OBk1OA, OEkQD , OCk2OA,OFUUTUJU UUTUJUUULTTT BEBO OEkOA kQDk1(ba).UUJ 同理CFT T k2 (b a)uunUULT UUJUULT BEk, AD;CFk2 AD ,kzOD .直线AD、BE、CF两两平行.(1)高二数学暑假班课程向量的概念与运算(教师版)33 / 19反思总结在向量的概念中，需要特别注

19、意不能遗忘零向量的特殊情况向量的几何运算是高中少见的与平面几何结合的内容，体现了向量沟通代数与几何的工具性 有关这一类问题的解决，需要回忆起初中平面几何的常见性质与方法，然后加以解决实数与向量的积（1）实数与向量a的积是一个向量，记作a它的长度与方向规定如下:|=0时，a的方向与a的方向;当 V 0时，a的方向与a的方当 =0时,(a + b )=(2)(ia)=（3）共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入使得课后练习uuu1已知，向量 AB的方向是东南方向，且LUILnUULAB 5，那么向量 2AB的方向是uu2BA【难度】【答案】西北方向；10.【解析】本题考查共

20、线向量的方向和大小.2 .如图，在平行四边形 ABCD中，E、F、uuT rLULT rrG、H分别为各边的中点.设 CG a , CH b，试用a、专业引领共成长b表示向量Dio、FHf和BD .【难度】【答案】uur r uurr ujirrrDC2b ;FH2a ; BD2b2a.【解析】 H是CD中点,ULuruuu DC 2CH E、F、G、H分别为平行四边形各边的中点,利用平行四边形的性质，可得:uur uur ruur uuuFH2CG2a ; BD CDuuu rCB 2b2a .3下列说法正确的有(1)零向量是没有方向的向量;(2)零向量的方向是任意的;【难度】【答案】【解析

21、】(3)零向量与任意向量共线;(A) 1(B) 2(C)(4)零向量只能与零向量共线.(D)以上都不对本题考查零向量的概念，零向量的方向是任意的,与任何向量共线.4.已知不平行的两个向量b，求作向量 a 2b5a 1b.2 2【答案】化简结果得3 a2-b，作图略.2【解析】本题考查向量的合成，利用三角形法则或者平行四边形法则完成作图即可.5.下列结论中，正确的是(A)(B)(C)(D)2004厘米长的有向线段不可以表示单位向量若Ab是单位向量，则 BA不是单位向量若O是直线l上一点，单位长度已选定，则I上只有两点A、B，使得OA、ULUOB是单位向计算向量的模与单位长度无关【答案】C【解析】

22、选项 A是错误的，因为单位向量是相对向量,1个单位长度不代表就是1厘米或者1米，如果把2004厘米长的有向线段作为基准的话，它本身就是单位向量.卄 3L1 T1LTT6.若一pqm2q2242 U5PIT r2m 0 ,其中LT Tp、 q为已知向量，求未知向量LT m .【难度】【答案】【解析】LT 4 IT 1 T m -p -q 57去括号：-p23 r4qLT 2m去分母:L30p15qU5mT U10q 2pLT T40m0 ;（可以不去分母）移项合并:LT35mU28 p5q ；LT系数化1: m4L 1 r5P 7q.7.如图，四边形ABCD中，点P、Q、R分别是对角线&已知【难度】【答案】试用T a、LUU1 TPQ-a2/点P、1【难度】【答案】【解析】二 RQ、1b.2ULLL T BC b ,TUUUb表示向量PQ .Q、R分别是对角线 AC BD和边AB的中点,PR分别是VBAD和VABC的中位线.二 RQPAD , RQ1 AD ; RPPBC ,2RP 1 BC .2UUT 1 UUL