数值分析试卷及其答案2汇编

1、学习 - 好资料1、（本题5 分）试确定22 作为的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。227解因为=3.142857 = 0.314285710 17=3.141592所以220.0012640.005110 21 1013（2分）722这里， m0, mn12, n3由有效数字的定义可知22 作为的近似值具有3 位有效数字。（1 分）7而相对误差限2270.0012640.00041380.000513（2 分）r102211x142、（本题6 分）用改进平方根法解方程组：123x25 ；131x3621 11d11 l 21l31解设123A LDLTl 211d 21l3213

2、 1l 31l321d31由矩阵乘法得：d12, d2527, d325（3 分）117l 21,l 31, l32225由 Ly b, LT xD 1 y 解得y(4,7, 63)T , x(10 , 7 , 23)T（3 分）599910x1x35x473、（本题6 分）给定线性方程组x18x23x3113x12x28x3x423x12x22x37x4171）写出 Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式；2）考查 Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性；解1） Jacoib 迭代格式为更多精品文档学习- 好资料x1(k 1)( 7 x3(k

3、)5x4(k) ) 10x2(k 1)(11x1( k)3x3( k) ) 8（2 分）x3(k 1)(233x1( k)2x2( k)x4(k) ) ( 8)x4(k 1)(17x1(k )2x2( k)2x3(k ) ) 7Gauss-Seidel 迭代格式为x1(k 1)( 7 x3(k )5x4(k) ) 10x2(k 1)(11x1(k 1)3x3(k ) ) 8x3(k 1)(233x1( k2x2(k 1)（2分）1)x4(k ) ) ( 8)x4(k 1)(17x1(k 1)2x2(k 1)2x3(k 1) ) 72）由于所给线性方程组的系数矩阵10015A1830328112

4、27是严格对角占优的， 所以 Jacoib 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式均是收敛的。 （2 分）4、（本题 6 分）已知方程x3x20.80在 x01.5 附近有一个根。将此方程改写成如下2 个等价形式：x3 0.8 x 2 , xx 30.8构造如下两个迭代格式：1） xk 130.8xk20,1,2, k2） xk 1xk30.8, k 0,1,2,判断这两个迭代格式是否收敛；解1）记 ( x)3 0.8 x2 ，则 ( x)2 x 2)2 3 ，3(0.8x (1.5)21.5110.4755 1（2 分）3( 0.81.52)2 3(0.81.52)2 33.052

5、3所以该迭代格式是局部收敛的。（1 分）2）记( x)x30.8 ，则(x)23x20.8，x3 (1.5)31.521（2 分）21.532.1030.8更多精品文档学习 - 好资料所以该迭代格式是发散的5、（本题 6 分）设 f (x)( x3a) 2（1）写出解 f (x)0 的牛顿迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。解（ 1）因 f ( x) (x3a) 2，故 f ( x)6x2 ( x3a) ，由牛顿迭代公式xk 1xkf ( xn )， k0,1,f ( xn )得 xk 1xk( xk3a) 25xka ， k0,1,6xk2 (xk3a) 66xk（ 2）因迭代函数(

6、x)5 xa，66x2( x)5a3，63xx*3a故 ( x* )5a1063(3 a )32此牛顿迭代格式是线性收敛的。6、（本题 9 分）给定数据x0235f(x)1-3-42（ 1） 写出 f (x) 的 3 次 Lagrange 插值多项式 L3 ( x) ；（ 2） 写出 f (x) 的 3 次 Newton 插值多项式 N 3 (x) ；解（ 1）由题意知 x0 0, x1 2, x2 3, x35f ( x0 ) 1, f ( x1)3, f ( x2 )4, f ( x3 ) 2L3( x)f ( x0 ) ( x x1 )( x x2 )( x x3 )( x0x1)( x

7、0x2 )( x0x3 )f ( x1) ( x x0 )( x x2 )( x x3 )( x1x0 )( x1x2 )( x1x3 )( x x0 )( x x1 )( x x3 )f ( x2 )x0 )( x2x1)( x2x3 )( x2（1分）（ 1 分）（ 2 分）（ 1 分）（2 分）更多精品文档学习 - 好资料f ( x3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 )（3 分）( x3x0 )( x3x1 )( x3x2 )1( x2)( x3)( x5)(3)( x0)( x3)( x5)(02)(03)(05)(20)(23)(25)(4)( x 0)( x2)(

8、 x5)2(x0)( x2)( x3)(30)(32)(35)(50)(52)(53)1 ( x2)( x3)( x 5)1 x( x3)( x 5)3022 x( x2)( x5)1x( x 2)( x3)（2 分）315（2）用牛顿插值公式，构造差商表01232341135234135（3 分）则有 N3 ( x)12(x 0)1 ( x0)( x2)1 (x0)( x2)( x 3)3512x1 x( x2)1 x(x2)( x3)（1 分）357、（本题 6 分）作一个 5 次多项式H (x) 使得H (1)3, H (2)1,H (4)3H (1)2, H (2)1,H(4)2解构造

9、有重节点的牛顿插商表13132214621151143213252264320155541236（4 分）则有 H ( x)3 2( x1)6( x1)211( x1) 2 ( x2)25( x1) 2 ( x2)255(x1)2 ( x2)2 (x4)（2 分）636更多精品文档学习 - 好资料8、（本题 6 分）已知数据如下，试用二次多项式来拟合：xi0123456yi15141414141516解设 y14y, x3x ，则上表可化为xi3210123yi1000012这时，取0 ( x)1,1 ( x )x,2 (x )x 2 ，并设所求二次多项式为* ( x)a*0(x )a*1(x

10、)a*2( x) ，容易得到2012333(0,0)127，( 0, 1)xi0，( 0, 2)xi228i3i3i3333( 1 ,1 )xi228， (1,2 )xi30 ， (2 ,2 )xi4196i3i3i 3333( 0 , y)yi4 ， ( 1 , y)xi yi5 ， ( 2 , y)xi2 yi31（3 分）i 3i3i3得正规方程组如下：7a0*28a2*428a1*528a0*196a2*31解得 a0*1 , a1*5 , a2*5即 y1 5 x5 x2（2 分）7282872828回代得 y1415 ( x3)5(x3)2（1 分）72828x01 , x13 ,

11、试推出计算积分19、（本题 5 分）给定求积节点f ( x)dx 的插值型求积公式4401 , x13解由于 x044x31l 0( x)4(4 x3)所以（1 分）13244更多精品文档学习 - 好资料x114l 1( x)（1 分）1(4x 1)3244A01111l 0 ( x)dx( 4x 3) dx（1 分）02 02A111 ( x)dx111l( 4x 1)dx（1 分）02 0211 f (1)f ( 3)故求积公式为 f (x)dx0244（1 分）910、（本题 6 分）分别用梯形公式和辛普森公式计算积分：xdx n 41解（ 1）用梯形公式n4 ， h9124h f (1

12、)3T42f ( xi ) f (9) 17.22774022i1（ 2）用辛普森公式h33S4 f (1) 4f ( xi 1) 2f (xi ) f (9) 17.3320876i 02i 1111 、（ 本 题8分 ） 求 高 斯 型 求 积 公 式x f ( x)dxA0 f (x0 )0A0 , A1及节点 x0 , x1.解令0 (x)1, x 0,1, 构造以( x)x为权的二次正交多项式1 ( x)( x1 ) 0 ( x)2 ( x)( x2 ) 1 ( x)1 0 ( x)1由 1( x 0 , 0 )0x1 2 xdx 3得3(0,0)11 251 (x) x50x dx

13、（3 分）（3 分）A1 f ( x1 ) 的 系 数：（1 分）更多精品文档学习 - 好资料11 2x(x3)2dx(x 1 , 1 )x5230再由 20.5111111（2 分）( 1, 1 )311 2(x2dx45x)0511 232(1,1 )x( x)dx12050.06857（1 分）10 ,0 )1(0x1 2 dx175得2 ( x)(x23)( x3) 0.06857x21.11111x0.23809666455所以2 (x)0 的根为 x00.289951, x10.821159（2 分）A011xx1 dx0.277555xl 0 ( x)dxx00x0x1（2分）1

14、1x x0 dxA10.389112xl1 (x)dxx00x1x012、（本题 6 分）设f ( x)为k次多项式，012,xn 为 n1个互异点， Ln ( x) 为 f (x)x, x , x的 n 次插值多项式。若kn ，试证 Ln (x)f ( x) 。解：因为 f ( x) 为 k 次多项式，所以， f ( k ) ( x) k!（2 分）又因为 k n ，故有 f (n 1) ( x) 0（2 分）f (n 1)(x)(x) Ln( x)（2 分）由插值关系可知：f (x) Ln (x)n 1(n1)!所以， Ln ( x)f ( x)13、（本题53, A, A及谱半径 ( A

15、) 。10 分）设 A，求 A3512解由定义得maxnA 1aijmax 8,88（2 分）1 j ni 1maxnAaijmax 8,88（2 分）1 i nj 1更多精品文档学习 - 好资料又由于A 2(T)maxAA，而AT A5353343035353034AT AI3430(343034所以， A2648。因为AI53(535所以( A)8（2 分）)2302(64)(4)（2 分）)29(8)(2)（2 分）14、（本题6 分）写出用y 83 y4 阶经典龙格 -库塔法求解初值问题的计算公式，并取y(0)2步长 h0.2，计算 y(0.4)的近似值，小数点后至少保留4 位。解f

16、( x, y)83y ，于是yn 1yn1 ( k12k22k3k4 )6k1hf (xn , yn )1.6 0.6 ynk2hf (xnh , ynk1 )1.120.42 yn（4 分）22k3hf (xnh , ynk2 )1.2640.47 yn22k2hf (xnh, ynk3 )0.84160.3156 yn故 yn11.20160.5561yn ，由于 y(0) y0 2故y(0.2)y12.3138（2 分）y(0.4)y22.488315、（本题9 分）给定矩阵993A 的按模最大的特征值，精确至 5A0.9试用幂法求出33位有效数解幂法计算公式：取u0 ，作如下迭代：vkAu k 1 ，mkmax( vk ) ，ukvk ， k 1,2,mk更多精品文档学习 - 好资料其中 max( vk ) 表示 vk 中（首次出现的）绝对值最大的分量，则1lim (mk )（1 分）k计算如下：u01Au09931