数值计算方法试题集和答案162

1、计算方法期中复习试题一、填空题:1、已知/（1）= 1，/=12 /= 1.3,则用辛普生（辛卜生）公式计算求得丄如答案:，用三点式求得广2、/（1）= 7 /=2, /（3） = 11则过这三点的二次插值多项式中疋的系数为,拉格朗日插值多项式为o答案：3、近似值=0 231关于真值a = 0.229有（2 ）位有效数字;4、设/（X）可微,求方程x = f的牛顿迭代格式是（）;心+1 =心答案1 一广（占）5、对/U）= x3 + a + 1j 差商/0,1,2,3 =（1/0,1,2,3,4 =（0）；6、计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差；7、用二分法求非线性方程f （x）=0在

2、区间（s,内的根时，二分力次后的误差限b_a为（诃 ）;8、已知f（l）=2, f（2）=3, f（4）=,则二次Newton插值多项式中#系数为（ ）;f/Wdv打血-+ 八2）11、两点式高斯型求积公式J。八（Jo22血2厲 ），代数精度为（5 ）;“346y = 10 H112、为了使计算x-1 （x-1）- （x-1）-的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为y = 10+（3 + （4 6小）人 t =x-l ,为了减少舍入误差，应将表达式V2ooi - 71999改写为、/55T+Vi 。13、用二分法求方程/（X）= Q + x_ 1 = 0在区间0, 1内的根，进行一步后根的所

3、在区间为，1，进行两步后根的所在区间为，。14、计算积分匚5低肚，取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为，用辛卜生公式计算求得的近似值为梯形公式的代数精度为1 ,辛 卜生公式的代数精度为3。15、设/（）= 丿（1）= 16,/（2） = 46,则 /心）=_/i（x） = -x（x-2）_, f（x）的二次牛顿 插值多项式为 _N2（x） = 16x + 7x（1）_。b16. 求积公式o的代数精度以（高斯型）求积公式为最高，具有（2“ + 1）次代数精度。17.已知f *）叽（12=l,f =5,f （5）=-3,用辛普生求积公式求）。18、设 f （1）=1,A2）=2, f =0

4、,用三点式求广（ ）o19、如果用二分法求方程，+ 4 = 0在区间IM内的根精确到三位小数，需对分 （10）次。x30%15（A）= l（x-l）3+rt（x-l）2 +b（x_l） + c lx2 时PE（ |）乞（理+卅+3）/讥劝=42 ox-o（ x + x +3）。22、区间“切上的三次样条插值函数S（Q在，上具有直到2阶的连续导数。_23、改变函数=（xl）的形式，使计算结果较精确1y/x+ +yx24、若用二分法求方程/心）=在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。s（Q屮丁严si25、设 x-+ax+bx + c, lx是兀的有（B ）位有效数字的近似值。A

5、. 6B. 5D. 74用l+x近似表示所产生的误差是（）误差。A. 模型B. 观测C.截断D.舍入5、x用1+亍近似表示时所产生的误差是（）误差。A.舍入B.观测C.模型D.截断6 -324. 7500是舍入得到的近似值,它有（C ）位有效数字。A. 5B. 6D. 87.设f （-1）=1, f （0）=3, f （2）=4,则抛物插值多项式中空的系数为（A ）oA.-0. 5B. 0. 5D. -2&三点的高斯型求积公式的代数精度为（C )oA. 3B. 4D. 29、( D )的3位有效数字是X102o(A) X103(B) X10-2(C)(D) X10-110. 用简单迭代法求方程

6、f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x= (x),则f(x)=0 的根是(B )oy= (x)与x轴交点的横坐标 坐标(B) y二只与=(x)交点的横(D)尸x与y= (x)的交点11、拉格朗日插值多项式的余项是(B)，牛顿插值多项式的余项是(C ) O(c) y=x与X轴的交点的横坐标(A) f (x, x0, xlj x2, xn) (xxl) (xx2) (xxn1) (xxn),(n +1)!(C) f(x，x0,xl,x2,，xn) (xxO) (xxl) (xx2)(xxn1) (xxn),(D)心 W =化 W =%(X)12. 用牛顿切线法解方程f(x)=O,选初始值x

7、O满足(A)，则它的解数列xn)n=0,1, 2,定收敛到方程f (x) =0的根。(A) 0(B)/(x0)fV) 0(C) 0(D) f(xQ)f(x) 6,23、有下列数表X012f(X)-2-12所确定的插值多项式的次数是(1)二次； (2)三次； (3)四次； (4)五次15、取厲1732计算*(石-1几 下列方法中哪种最好(16)o28-16V3.(4-2苗儿3S(x) = 26.已知( )(A) 6, 6；2(ir+(心一 2)+)16(V3 + D4 e(c) (4 + 2VJ)，；om2x4是三次样条函数，则Q”的值为(D)123/(X,)-1(B)6, 8；(C)8, 6；

8、(D)8, 80(A)5；(B)4；(C) 3；(D) 2。16.由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是(17、形如的高斯(Gauss)型求积公式的代 数精度为()(D) 3。(A)9；(B)7；(C) 5；18、计算心的Newton迭代格式为()畑气+Z 柿吟+王； (D)0严立+王 仏严立+丄(A)2 孤;22 ； 19、用二分法求方程*+4云-10 = 0在区间【1,2内的实根，要求误差限为(A) 10；20、设)是以*严处，1，9)为节点的,则对分次数至少为()(B)12；(C)8；(D)9oLagrange插值基函数，则)(A) x ；(B) & ；(C) i

9、 ；33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( 5；(B)4；(C)6；2(x-l) +a(x-2) + b(B)6, 8；(D) lo)次代数精度(D)3o0K22K4是三次样条函数，则“上的值为()(C)8, 6；(D)8, 8os(x) =2K己知(A) 6, 6；35、己知方程x3-2x-5 = O在x = 2附近有根，下列迭代格式中在 = 2不收敛的 是( )2x1 +5=3琉一2OX01234(B)(A)无利=強叫+522、由下列数据f(x)1243-5确定的唯一插值多项式的次数为（)4；2；(C)l；(D)3o23、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为（）（A）8

10、； 9；（C） 10；（D）llo三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、已知观察值（心力）（山0,1,2,，用最小二乘法求力次拟合多项式尺3时，几心）的次数力可以任意取。（）2、用1-近似表示cos产生舍入误差。（）（兀一勺）（兀一勺）3、（-）（“-）表示在节点石的二次（拉格朗日）插值基函数。（）4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。3 11)-2 5 35、矩阵用12 具有严格对角占优。四、计算题:ri11求5求积公式mw严护创2的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求1 =匚厶（保留四位小数）。答案：/(x) = l，x,P是精

11、确成立，即2A + 2B = 2 1 22A + -B = -23求积公式为j:1Q11fMdx = -/(-!) + / + -/(-) + /(-)2当时，公式显然精确成立；当fW = xA时，左右二耳。所以代数精度为3。I dx = I (It 2 tJi x5 + 39 -1 + 31 + 39 -1/2 + 31/2 + 397/=心0692861402、 已知Xr1345/（兀）2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求/G）的三次插值多项式4（0 ,并求/（习的近似值（保留四位小数）。L( .)_ (兀 _ 3)(% _ 4)(x _ 5) * (x _ l)(x _ 4)(x

12、_ 5) 答案： _(1一 3)(1-4)(1一5)(3 -1)(3 4)(3 5)i 5(x-l)(x-3)(x-5儿彳(1)(3)(4) (4 一 1)(4 3)(4 5) (5 -1)(5 3)(5 4)差商表为兀yt一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-101/4I(x) = N3(x) = 2 + 2(x-1)-(x-1)(x-3) + -(x-1)(x-3)(x-4)4/胡= 5.55、已知xi-2-1012fM42135求/（）的二次拟合曲线几,并求广（）的近似值。答案：解:12V0-244-816-8161-121-11-222010000031311133425

13、48161020工01510034341正规方程组为50 + 10dr = 15IO = 31 Oa) + 342 = 41103114 =“ =7 1 1014Pi W =10 3 11 ， + . + Q7 1014；（） =311+ x 1073广（o）5（o）=心6. 已知sinx区间,的函数表V/如用二次插值求sinO.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差尽量小，即应使匕心）1尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,060.7最好，实际计算结果Sin 0.63891 = 0.596274,|sin 0.6389

14、1 -0.596274 |11(0.63891 -0.5)(0.63891 -9 - 0.6)(0.63891 -0.7)| 0.55032 xlO-47、构造求解方程，+10龙-2 = 0的根的迭代格式山屮= 0,1,2,，讨论其 收敛性，并将根求出来，I耳+i-耳kier4。答案：解：令 r(x) = ex+10x-2, /(0) = -20且广(x) = e+100对Vxw(-8, + 8),故f(x) = 0在1)内有唯一实根 将方程 f(x) = O变形为尤=丄(2-ex)10则当x w(OJ)时r 1 zo ex I 0(牙)1= _ 1故迭代格式 一矗心)1010% 诂(2-J”

15、)收敛。取A = -5 ,计算结果列表如下:n0123xn127 872424 785877 325n4567xn595 993517 340525 950525 008且满足 I乃一兀6 広0.00000095 V 10“.所以F Q 0.090 525 00810.已知下列实验数据Xif(试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当0只1时，厂d）= e，则f（x）|e,且卜山有一位整数. 要求近似值有5位有效数字，只须误差 怦 近xl即可，解得所以 = 68,因此至少需将0,1 68等份。12、取节点心=內=恥2 T ,求函数fM =在区间o, 1上的二次插值 多项式，并估计误差。P

16、. (x)=八x ZWT) +严x 一上叱匕(0 _ 05)(o _ 1)(0.5 _ 0)(0.5 _ 1)+ 宀(0)( ().5)(1-0)(1-0.5)=2(x - 0.5)( x -1) - 4严 5x(x-1) + 2elx(x - 0.5)/(x) = e9fx)= 一严皿3 = max Ifm(x) 1= 1IR. (x) 1=1- R (x) I x(x 一 0.5)(x-1)1故截断误差14、给定方程rU）=（A-l）ev-l=01）分析该方程存在几个根；2）用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3）说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程（a-i）e-1 = 0（1）

17、改写为x-1 =e(2)作函数=/2(A)=e-A的图形(略)知有唯一根Te(l，2)。2)将方程(2)改写为x = l+e仏=1+严构造迭代格式I/。=1.5伙=0,1,2,)计算结果列表如下：k123456789Xk3）卑（x） = 1 + eA , （px） = -ev当 xel,2时，0（x）w0（2）,0（l）ul,2,且所以迭代格式耳+广俠)伙=02)对任意勺引1,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求厲的近似值。取及二，计算三次，保留五位小数。 解：羽是/(x) = x2-3 = 0的正根，fM = 2xt牛顿迭代公式为y 3X 3Xn+1 = X/r _ -Xn+1 =才 + T-

18、 ( = 0丄2,)2x)i , 即2 2xn取及二，列表如下:n123xn16、已知f (-1)=2, f (1)=3, f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式厶2(朗及f (1, 5)的近似值，取五位小数。22x dm +3少 + 1)(一2)_4少 + 1)(2)解.-(-1-1X-1-2)(1 +1)(1-2)(2 + 1)(2-1)234=q (x _ 1)(% _ 2) _ 牙(x + l)(x-2) (x + l)(x _ 1)wZJ/(l.5)L2(1.5) = 0.0416717、千3,用复合梯形公式求eC，V的近似值(取四位小数)，并求误差估计。解K 咅牆卉2（+尹）+j”

19、42/(x) = erU) = e 0xl时，I厂(劝匕e19253038至少有两位有效数字。20、（8分）用最小二乘法求形如+处的经验公式拟合以下数据:解：=初1/1192解方程组1 1 1252312382ATAC = ATy/ =19.0 32.3 49.0 73.3其中433913391 3529603173.6179980.7C =解得：0.92555770.0501025所以a = 0.9255577,/? = 0.0501025皿时,试21. （15分）用 =8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）RTj=-h2r(rj)?八8)=亍/(“)+ 2工/(忑)+ /()22=_

20、11 +2x(0.8824969 + 0.7788008 + 0.60653066+ 0.5352614 + 0.47236655 + 0.41686207 ) + 0.36787947 =0.6329434解:用余项估计其误差。用 的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的 近似值。22、（15分）方程V - x -1 = 0在x = 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）兀=阳1对应迭代格式心+广如+1； 1 +丄 x对应迭代格式（3） *疋_1对应迭代格式兀+产尤-1。判断迭代格式在xo=l-5的收 敛性，选一种收敛格式计算2 1.5附近的根，精确到小数点后第三

21、位。1 -解：（1） W = 5（A + 1） （P（1.5）|=0.18 故收敛；（Px）=吕-（2）V % , W（l5）| = 0.17vl,故收敛；（3）03 = 3, |0（1.5）| = 3x1.51,故发散。选择（1）： x0 =1-5,册=1.3572,吃=1.3309,勺=1.3259, x4 = 1.3249 r尤5 = 1.32476, x6 =1.3247225、数值积分公式形如L MW厶-S（x） = A/（0） +巧+ V（0） + 0（1）试确定参数A.及C、D使公式代 数精度尽量高；（2）设/eC40,lf推导余项公式恥）=仙（恥-3（.丫）， 并估计误 差。.

22、A = B = B = D = - J解：将/U） = l,x,A-,A分布代入公式得：20*203020弘（）= /（兀）2 = /（x） = 2 时，J（）32212 .界、3 = = -0 + /?3 + 丄 20一32JM = x 时，Jo 4212.“、 4 f4x = -0 + /4 + /720-4/?3 = /（x）= x 时，Jo52126 ;所以，其代数精确度为3。28、（8分）已知求亦（。0）的迭代公式为：忑+1 =（忑+ ） 旺0 k = 0丄22X#证明：对一切k = 2、,xQ五，且序列心是单调递减的，从而迭代过程收敛。耳+i = xk + ） 了 x 2 x h

23、x 一 =五 k = ,1,2 证明：2 忑 2 V 忑故对一切* = 12,xt -五。J = ：（l + t）W；（l + l）ij I又无 2 忑 2所以忑科心，即序列U是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。f（x）dx29. （9分）数值求积公式是否为插值型求积公式为什么其代数精度是多少X 2x 1门、PW = -一 x / + x/（2）解：是。因为.心）在基点1、2处的插值多项式为1-22-1。其代数精度为1。j()px)dx = |/(1) + /(2)30、（6分）写出求方程4*cos（x）+1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明 其收敛性。(6分)*弓+吨）n=0,1, 2

24、,=4|s，n（V）l-4J/.对任意的初值观【,迭代公式都收敛。31、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算皿的近似值，并利用余 项估计误差。用Newton插值方法：差分表：100121011144112届10+(115-100) (115-100) (115-121)r*=|x2网=上丰!(115 - 100X115 121X115 144)(1 3-100 2 xl5x6x290.00I636832、(10分)用复化Simpson公式计算积分Jo兀的近似值，要求误差限为 0.5x10-5。S0.94614588=扣（。）+4石*（1）卜|/_S2|152-5,| = 0.393 X101/ = 0.94608693或利用余项:X2X4X6牙 8=I+3!5!7!9!X2 X417x2!9x4!冈=28801/4，(/ - 2880 x5/? 2 f I aS?=33. (10分)用Gauss列主元消去法解方程组: + 4x2 + 2x3 = 24 3兀+x2