数值积分辅导

1、计算机数学基础 (2)辅导中央电大 冯 泰第 12 章 数值积分与微分第 12 章 数值积分与微分、重点内容m 次代数精度求积公式nf (x)dxAk f (xk )k0对于任意不超过 m 次的代数多项式都精确成立 , 而至少有一个 m+1 次代数多项式不成立 该求积公式具有 m 次代数精度牛顿科茨求积公式：b n n f(x)dx (ba) Ck(n)f(kk)Ak f(xk) (xk a kh) .a k 0 k 0其中 Ak=(b a)Ck(n)(k=0,1,2,n)是牛顿科茨求积公式的系数， Ck(n) 称科茨系数，有(n)Ck( 1)k!(n k)!n0 (t - j)dt (k=0

2、,1,2, ,n)0j0jkbab a)n截断误差：Rn(f)f ( x)b抛物线公式： f (x)dxab ah2M2， M2 max12 2 a x b b a a b f(a) 4f ( ) f(b)62它有两条性质： n 归一性，Ck(n) 1；对称性 Ck(n) Cn(n)k (k=0,1,n)k0b f (n 1) ( ) 牛顿科茨求积公式的截断误差Rn(x)= f ( ) n 1(x)dx (a b)a (n 1)!常见牛顿科茨求积公式梯形公式：b b aaf (x)dx f(a) f(b) a2截断误差： R1 f= (b 12a) f ( ) (a b)复化梯形公式：f(x)

3、dx hf(x0) 2(f(x1) f(x2) . f(xn 1) f(xn)(h复化抛物线公式： bh f(x)dx f0 4(f1 f3 . f2m1) 2(f2 f4 . f2m 2) f2m a3其中 fk f(xk) yk (k 0,1,2,.,2m) 截断误差：Rnf 2b88a0 h4M4，M max f ( ) (x) (hb a, n=2m) n科茨公式：b 7 32f (x1)a f(x)dx (b a) 7 f (x0 ) 32a 90 0 9012327f(x2)f(x3)f(x4)909090bn高斯 勒让德求积公式 有 n+1 节点的求积公式 f (x)dxAk f

4、 (xk ) 具有 2n+1 次a k 0代数精度，称为高斯求积公式，其节点称高斯点1 dn(x2 1)n 的零点(高斯点)，且只限于在高斯点为 n 阶勒让德多项式 Pn (x)n n2 n! dx区间 1， 1的高斯型求积公式称为高斯勒让德求积公式其节点和系数可查表得到( n )( )其余项： Rn(x) ( n )!bn (x)dx微分公式1(1)等距节点两点求导公式：f (xk) h(yk 1 yk)h (k 0,1,2,.,n 1)1f (xk 1)(yk 1 yk)h(2)等距节点三点求导公式(k=1,2,n1)(xk ) h( ykyk yk )(xk )( ykyk )h(xk

5、) h(ykykyk )二、实例例 1 试确定求积公式hhf(x)dx hf(0) f(h) ah2f(0) f (h)中的参数 a，并证02明该求积公式具有三次代数精度k 依定义，对 xk(k=0,1,2,3, )，找公式精确成立的 k 数值 解 公式中只有一个待定参数 a.当 f(x)=1,x 时，有hh1dx 1 1 0,即 h=h 02 h h 2h2 h2x1dx 0 h ah2(1 1), 2 2 不能确定 a，再令 f(x)=x2, 代入求积公式，得到x2dx h0 h2 ah2(2 0 2h) ,即 h3 h2 2ah3hhh20f(x)dx f(0) f (h) f (0)

6、f (h) 02121得 a . 求积公式为12将 f(x)=x3 代入上求积公式，有h 3 h 3 h 2x3dx 0 h3 (3 0 3h2)0 2 12 可见，该求积公式至少具有三次代数精度.再将 f(x)=x4 代入上公式中，有hhh2x4dx h0 h4 h (4 0 4h3)0212所以该求积公式具有三次代数精度注：若参数 a 已知时，此题改换为“ 求该求积公式具有几次代数精度”例2 将区间1,98等分，试用复化梯形公式求积分6x 5dx1的近似值，计算过程中保留 4 位有效数字解 计算列表kxkf (xk ) 6x 5011.000122.646233.606344.359455

7、.000565.568676.083786.557897.000h=1, 用梯形公式9 h 7f (xk )1 6x 5dx h2f(x0) f(x8) 2k 12 k 111 7 2(2.646 3.606 4.359 5.000 5.568 6.083 6.557) 2=37.819例3 已知函数 f(x)在x=0，0.125，0.25，0.375，0.5，0.625，0.75，0.875，1处的函数 值为0，0.015624，0.062459，0.140162，0.247404，0.380766，0.533303，0.692988，0.841471， 试用复化抛物线公式计算积分10 f

8、(x)dx的近似值，计算过程中保留 5 位小数 解 取 m=4,即 n=8， h=0,125，用复化抛物线求积公式计算积分 1h0 f(x)dx=3f(x0) f(x8) 4(f(x1) f(x3) f (x5) f(x7) 032(f (x2) f (x4) f (x6)0.125= 0 0.841 471 4(0.015 624 0.140 162 0.380 766 0.692988) 32(0.062 459 0.247 404 0.533303)0.125=0.841 47 4.9181 1.686 33 0.310 2461 例4 用四个节点的高斯勒让德求积公式计算定积分 1 xd

9、x ，计算过程保留小数4位解 高斯勒让德求积公式只求积分区间为 1,1上的积分问题需作变换，令 u1x ，当 x=1 时， u=1;当 x=0 时， u= 1于 221 1 11 xdx 3u du22是，3 0.8611)2 2 )0.347 9 ( 3 0.8611223 0.340 0 3 0.3400)2 2 2 2 )0.652 1 (11 0.347 9 2.423 6 0.6521 2.445 5 1.218 92例 5 用三点公式计算 f(x) 在 x=1.0,1.1,1.2 处的导数值 .已知函数值(x )f(1.0)=0.250 000, f(1.1)=0.226757,

10、f(1.2)=0.206 612解 三点导数公式为f (xk ) h( ykyk yk )f (xk) h( ykyk )f (xk ) h(ykykyk )k=1,2,3, ,n 1本例取 x0=1.0, x1=1.1, x2=1.2, y0=0.250 000,y1=0.226757,y2=0.206 612, h=0.1.于是有计算f(.)( . . . ) . .f(.)( . . ) . .f ( . ) ( . . . ) . .例 6 选择填空题1. 将积分求积 0， 0.5四等分，有科茨求积公式，它的科茨系数为(4)090,C( 4)13290那么用科茨求积公式计算定积分f(x

11、) dx 中的系数 A2 ()32166(A)(B)(C)9090900.5答案 ：(C)(D)1290解答 ：科茨系数具有归一性和对称性，由 C0(4) 970,C1(4) 3920 ，可知(4)4(4),C390 33290,C(4)2C0(4)C1(4)C3(4)(4)41290牛顿科茨系数与科茨系数的关系为 A2 (b a)C2(4) 0.5 1920 960b2. 梯形求积公式 f(x)dxabab2a f (a) f (b)具有(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3答案 ：(B).解答 ；由代数精度的定义，(1) 当 f(x)=1, 有b左边 f(x)dxaxd1ba,b a b

12、 a右边 f (a) f (b) 1 1 b a22bxdx ab2ba 右边 f(a) f (b)b2 a2b(2) 当 f(x)=x,有左边 f (x)dx aba a b 222 b b 2b3 a3(3) 当 f(x)=x2,有左边 = f (x)dxx2dxaa3右边 = b a f (a) f (b) b aa2 b2 左边 22可见该求积公式只有 1 次代数精度3. 已知 n=3 时，科茨系数 C(),C(),C( ) ，那么 C()答案：18解答：由科茨系数的归一性质， C( )C( ) C( ) C( )4. 3 个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 ( ) 次的(A) 5(

13、B) 6 (C) 7 (D) 3答案 ：(A)解答：有 3个节点，即 n=2，高斯型区间公式的代数精度是2n+1，故选项 (A)正确b n n5. 牛顿科茨求积公式 f(x)dxAkf(xk)，则 Ak .a k 0 k 0答案 ： b a 解答：牛顿科茨系数与科茨系数的关系为Ak (b a)Ck(n)n n nAk(b a)Ck(n) (b a) Ck(n) b ak 0 k 0 k 0三、练习题1. 求积公式bf (x)dx anAk f (xk ) ，若 ( k0)，则称该公式具有 m 次代数精度4. 高斯勒让德求积公式5. 当 n=6 时， C( ) =(A)C(6)641840(B)

14、 C3(6)272840(C)C4(6)27840(D) C1(6)216840(A) 对于 m 次多项式该公式精确成立， m+1 次多项式不成立(B) 对于大于 m 次多项式该公式精确成立， m 次多项式不成立(C) 对于小于 m 次多项式该公式精确成立，大于 m次多项式不成立(D) 对于不超过 m 次多项式该公式精确成立，有 m+1 次多项式不成立2. 已知函数值 f(0.7)=0.343, f(1.1)=1.331, f(1.5)=3.375 ，用抛物线求积公式计算定积分 1.5 1.5f (x)dx ，那么 f (x)dx .3. 高斯勒让德求积公式只限于讨论积分区间为 的数值积分问题

15、1f (x)dx f(x0)+f(x1)，那么节点 x0, x1 分别为).6. 将积分求积 0， 0.5四等分，有科茨求积公式，它的科茨系数为(4)090,C( 4)13290那么用科茨求积公式计算定积分0.50 f(x) dx中的系数 A3()(A)329016(B) 1960(C)90(D)12907. 以的零点为高斯点的高斯型求积公式称为高斯勒让德求积公式8. 等距二点求导公式(A) f (x1) f (x0) (A)x1 x0f(x1) ( )f (x1) f (x0 )(B)x0 x1f(x0) f(x1)(C)x0 x1(D) f (x1) f (x0) x1 x09. 已知函数

16、值 g(1)=1， g(2)4，g(3)=9，以及等距三点求导公式：12h yk 1yk 1 ，1f (xk 1) 2h 3yk 1 4yk yk 1 ， f (xk)1 f (xk 1) yk 1 4yk 3yk 1 ，2h 那么， g (2) 10. 试确定求积公式的待定参数，使求积公式f (x)dx A f ( ) A f ( ) A f ( )的代数精度尽可能的高11.用复化抛物线公式计算定积分xxdx 取n=4,保留 4位有效数字.12.试用四点 (n=3) 高斯勒让德求积公式计算积分试推导 n=3 的科茨系数 C0(3) C3(3) 1 ,C1(3)0 3 8 1b已知区间 a,b上的抛物线求积公式f (x)dxa6证明将区间 a,bn=2m(整数 )等分，则复化抛物线求积公式为h13.1