辅助圆解题精讲

1、第二十五讲辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决.而我们需要的圆并不存在 （有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并 不是我们需要用的圆），这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出 来，添补辅助圆的常见方法1 利用圆的定义添补辅助圆；2 作三角形的外接圆；3 运用四点共圆的判定方法：（1）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆.（2）同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆.（3）若四边形ABCD勺对角线相交于 P,且PA- PC=PB PD,则它的四个顶点共圆.（4）若四边形 ABCD的一组对边 AB DC的延长线相交于 P,

2、且PA- PB= PC- PD,则它的四 个顶点共圆.【例题求解】一利用圆的定义添加辅助圆【例 1】如图，若 PA=PB / APB=2/ ACBAC与PB交于点P,且 PB=4,PD=3,贝UAD-DC等于（）A 6 B 7 C 12 D 16思路点拨 作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件.注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法.变式练习：如图，已知 OA=OB=QC且/ AOB=k / BOC则/ ACB是/ BAC的（）A 丄k倍 B .是k倍 C 2k D 丄2k二作三角形的外接圆【例2】如图，在 ABC中，AB=AC

3、任意延长 CA到P,再延长AB到Q 使AP=BQ求证: ABC的外心Q与A, P, Q四点共圆.思路点拨 先作出 ABC的外心Q,连PQ QQ将问题转化为证明角相等.变式练习：5.如图，在等腰梯形 ABCD中, AB/ CD AB=998, CD=1001, AD=1999,点 P在线段 AD上,满足条件的/ BPC=90的点P的个数为（）A 0 B 1 C 2 1 D.不小于3的整数（全国初中数学联赛题）三四点共圆1 若有一个四边形对角互补，则四边形的四个顶点四点共圆。【例3】如图；已知 H是厶ABC三条高的交点，连结 DF, DE EF,求证：日是厶DEF的内心.变式练习：如图，直线 AB

4、和AC与O O分别相切于B、C, P为圆上一点，P到AB AC的距离 分别为4cm、6cm,那么P到BC的距离为.（全国初中数学联赛题）思路点拨 连DF, EF,寻找PD PE PF之间的关系，证明 PDFA PFE而发现P、D B F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键.注：圆具有丰富的性质：（1）圆的对称性；（2）等圆或同圆中不同名称量的转化；（3）与圆相关的角；（4）圆中比例线段.适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”2同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆（若能证明其两顶角为直角，即可

5、肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）【例4】如图，在 ABC中，高BE、CF相交于H,且/ BHC=135 ,ABC内的一点，且GB=GC/ BGC= 3 / A,连结 HG 求证：HG平分/ BHF思路点拨 经计算可得/ A=45,A ABE BFH皆为等腰直角三角形，只需证/GHB*GHF=.由/ BGC=M A=135 =Z GHC得B G H、C四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明.注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解.变式练习：已知等腰三角形ABC, AB=AC, AD垂直BC于D, DE垂直AC于E, F是DE中点，求证： AF

6、垂直于 BEo3把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；【例5】如图，P是O O外一点，PA和PB是OO的切线，A, B为切点，P O与AB交于点M,过M任作O O的弦CD求证：/ CPO=/ DPO4把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆.【例6】如图，P是O 0外一点，PA切O 0于A, PBC是O O的割线，AD丄P0于D.求证： 更 更PD CD思路点拨 因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定 PBD与 P

7、CD相似证 明.PA=PD PO=PB PC, B、C、O D共圆，这样连 OB就得多对相似三角形，以此达到 证明的目的.注：四点共圆既是一类问题， 又是平面几何中一个重要的证明方法， 它和证明三角形全等和 相似三角形有着同等重要的地位， 这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中 或转移，而且可直接运用圆的性质为解题服务.5五点共圆（7456）【例7】如图，已知在凸四边形 ABCDEK / BAE=3 , BC=CD=DJE且/ BCD=/ CDE=80 2 .求 证：/ BAC/ CAD=/ DAK（全国初中数学联赛题）课外训练A组21. 如图，正方形ABCD勺中心为 0,面积为1

8、989cm, P为正方形内一点， 且/ OPB=45 , PAPB=5: 14,贝U PB的长为 .2. 如图，在 ABC中，AB=AC=2BC边上有100个不同的点 R、P2，Pioo,记mj AR2 BPi PiC （i=1 , 2,100）,则 m-i m2m100 =.3. 设 ABC三边上的高分别为 AD BE CF,且其垂心H不与任一顶点重合，则由点 A B、 C、D E、F、H中某四点可以确定的圆共有 （）A . 3个 B . 4个 C . 5个 D . 6个（2000年太原市竞赛题）6.如图，AD BE是锐角三角形的两条高,Saabc= 18 , Sa de=2，贝V COSC

9、等于（）&如图，已知 ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD! AB, TE丄 AC.求证:(1) / AHD=/ AHE (2)BHBDCHCE（陕西省竞赛题）1在凸四边形 ABCD的BC边上取两点 E,F , E比F离B更近，如果/ BAE=CDE EAF=/ FDE证 明：/ FACN EDB2如图在 ABC中，AB=AC D是BC边上任意一点 C,是C点关于直线 AD的对称点，C, B与 AD交与P试问当D在BC（除BC中点外）上运动时， AD- AP的值有何变化？请加以证明。13等边 ABC中，D, E分别是BC,CA边上的点，且 BD=CE=2 CD.连接BE, CD交于P,证

10、明：CP垂直AD4如图,NS是？0的直径，弦 AB垂直NS于M P为弧ANB上异于N的一点，PS交AB与R,PM的延长线交？O与Q求证：RSMQC组1.如图，已知点 P是O O外一点，PS PT是O O的两条切线，过点 P作O O的割线PAB交O O A、B两点，与 ST交于点C.求证： 丄 丄（丄 丄）PC 2 PA PB（国家理科实验班招生试题）2.已知BE,CF是锐角 ABC的两条高，求证：ABE的平分线，ACF的平分线与线段 EF的中垂线相交于一点。3已知三角形ABC中,ABC ACB BD,CE是角平分线，求证：CEBD4 ABC中，M为AC的中点，BH AC于H, AP,CQ垂直于B的平分线，垂足为 P,Q求证:M,H,P,Q四点共圆。参考答案例1 B练习1 D例2练习2 C例3练习3例4练习