材料力学内部习题集及参考答案

1、精心整理 第二章轴向拉伸和压缩 2-1 一圆截面直杆，其直径 力F=4KN试求此杆的： d = 20mm,长L=40m,材料的弹性模量 E=200GPa,容重丫= 80kN/m3,杆的上端固定，下端作用有拉 最大正应力; 最大线应变; 最大切应力; 下端处横截面的位移 解：首先作直杆的轴力图 最大的轴向拉力为 F N,maxV 3 80 10 4 2 0.0240 4000 5004.8N 故最大正应力为: max F N,max A F N,max d2 4 4 F N,max d 4 5004.8 0.022 15.94MPa 3.14 最大线应变为： max 15.94 106 max

2、9 200 10 0.797 104 当 ( 为杆内斜截面与横截面的夹角) 45时, max max 7.97MPa 2 取A点为x轴起点，Fn Vx F d2 rx F (2512x 4000)N 故下端处横截面的位移为: LFNdx 0 EA l 25.12x4000 dx 0 EA 1 一 (12.56x2 4000 x) 00 2.87mm L。已知杆横截面面积为 A,长度为L,材料的容重为 所以总伸长 lLF凶dx 0 EA L AxL 2试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长 解：距离A为x处的轴力为 dx 0 EA2E 2-3图示结构，已知两杆的横截面面积均为A=200m

3、m2材料的弹性模量 E=200GPa在结点A处受荷载F作用，今通过试验测 得两杆的纵向线应变分别为e 1= 4 X 104, 2= 2X 10 4,试确定荷载P及其方位角0的大小。 解:由胡克定律得 相应杆上的轴力为 取A节点为研究对象，由力的平衡方程得 解上述方程组得 2-4图示杆受轴向荷载 F1、F2作用，且F1= F2= F,已知杆的横截面面积为 A,材料的应力一应变关系为e = Cb，其中C、n 为由试验测定的常数。 (1) 试计算杆的总伸长； (2) 如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？ (3) 当n = 1时，上述两解答是否相同？由此可得什么结论? 解：(1)轴力图如图(a

4、)所示。 根据 /2F、n C(2AF) ,2nFn 11 aC I1 I2 (2n 1)acFn An (2)采用叠加法。 精心整理 4Fl1 l x 于疋，2 E1d1 l 4Fl2x E2d22l (2).当 F 30kN,x 1.08m时，两拉杆横截面上的正应力分别为 单独作用 Fi时，轴力图如图（b）所示。 单独作用 F2时，轴力图如图（c）所示。 I2 2a n I2 Fn 2aE An (3)当 3acFn An n=1时，上述两解答相同。结论： 只有当 2- 5试求图示构架点 C的铅垂位移和水平位移, 解：取C点分析受力情况，如图（b） 与成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。

5、已知两根杆的抗拉刚度均为EAp 所示，得 Fcd F,Fbc 0 因此只有CD杆有伸长心EA 变形几何图如图（c）所示，得 x FL EA 2-6刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮 荷载F= 20KN,试求C点的铅垂位移（不计绳与滑轮间的摩擦）。 解：首先要求绳的内力 G P B C D Ji m 由平衡方程: Ma 解得：T 80 KN 7 2 G、H。已知钢丝的E= 210GPa,绳横截面面积 A= 100mm2, T。刚性梁ABCD的受力分析如图（b）, I T J (a) 绳的原长L 绳的伸长量为 4 2 8m (b) G P AAB C D TL L EA 可得

6、： 再由三角几何关系得： 由（1）、（2）式联立可得: 又因为： 803 10 8 7_964.35 210 10 100 10 10 3m在F作用下结构变形如图（c）, (c) 所以， LC 2.49 10 3 m 2.49mm AC为钢质圆截面杆，直径 d1=20mm , d2= 25mm , E=100GPa,试求： （1）外力F作用在何处（x=?）时AB梁保持水平？ 2- 7图示结构中 AB杆为刚性杆，杆 E1=200GPa；杆BD为铜质圆截面杆，直径 则两拉杆横截面上的正应力各为多少？ 解：（1）.容易求得AC杆、BD杆的轴力分别为 从而AC杆、BD杆的伸长量 (2)如此时 F= 3

7、0kN , 若要AB梁保持水平, 则两杆伸长量应相等，即 11 l2. 2-8图示五根杆的铰接结构，沿其对角线AC方向作用两力F= 20kN，各杆弹性模量 E=200GPa,横截面面积A= 500mm2, L= 1m，试求: （1）AC之间的相对位移 “ （2）若将两力F改至BD点，则BD点之间的相对位移 bd又如何？ (a) 解：（1）取A节点为研究对象，受力分析如图（b） 由平衡方程: 得 Fab Fad 2 2 同理，可得： B节点受力分析如图 0, F cos45Fab 0 F 10.2kN (c) (b) Ab 20kN cos45 AB , BC , CD, DA四杆材料相同，受力

8、大小相同，所以四个杆的应变能相同，可求得整个杆件应变 能为： FX0， FBD 1 力F作的功为：W F AC 2 由弹性体的功能原理得：w 2当两力F移至B.D两点时，可知，只有 BD杆受力，轴力为F (c) 题2 - 8 图 所以1 F 2 从而BD BD 2FL EA 2F2L 2EA 2 20 103 960.283mm 200 10500 10 2-9图示结构，已知三根杆 AF、CD、CE的横截面面积均为 A=200mm2,E=200GPa试求每根杆横截面 上的应力及荷载作用点 B的竖向位移。 解：取AB为研究对象，选取如图所示坐标轴， 故Fx 0，即 FndFne , Fy0 ,即

9、 F F NA 2Fnd sin30 0, 于是得F FNA Fnd Ma 0，即 3 2Fnd sin30 6F 2F 2 10 20KN ， 10KN 于是Fnd 解得：Fne 20KN，Fna 所有构件的应变能为 由功能原理得， F作的功在数值上等于该结构的应变能 1 即: lf 2 2V F 2 42.5 38.5mm- 10 103 2- 10图示结构，已知四根杆 AC、CB AD、BD的长度均为a,抗拉刚度均为EA试求各杆轴力，并求下端 解：（1）以B结点为研究对象，受力图如图（a）所示 所以B B点的位移。 由Fx0 得 F3F4 得 F3F4- F 2 以刚性杆为研究对象，受力

10、图如图（b）所示 由Fx0 得 F1F2 由Fy 0 得 Fl F2（2=1）F 42 由于1 , 2杆的伸长变形，引起 CD刚性杆以及B结点的下降（如图（c） 由于3，4杆的伸长引起B点的继续下降（如图（d） 则 1bIbib （ EA2）Fa 290N的拉力作用下将被拉断 2-11重G=500N,边长为a=400mm的箱子，用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。已知此麻绳在 （1）如麻绳长为1.7m时，试问此时绳是否会拉断？ （2）如改变a角使麻绳不断，则麻绳的长度至少应为多少？ 解：（1）取整体作为研究对象，经分析得本受力体系为对称体系. 由于箱子重G=500N,由竖直方向的受力平衡可知，每根

11、绳子竖直方向受力为 F=250N. 即F 而cos 0.972 则 F 257N290N 0.972 于是,此时绳子不会被拉断. （2）绳子被拉断时 其中Fu 290N 则 cos 0.862 290 解得：L 0.789m 答：(1)N=417N(2)L=1.988m 2-12图示结构，BC为刚性杆，长度为L,杆1、2的横截面面积均为 A，其容许应力分别为b 1和（T 2，且b1=2（72，荷载可沿 X取何值时，F的容许值最大，Fmax等于多少? 梁BC移动，其移动范围0 vxv L,试从强度方面考虑，当 解：分析题意可知，由于1、2两杆横截面积均为 A,而1杆的容许应力为2杆的二倍，则由公

12、式 F A可知，破坏时 2杆的轴力也为1杆的二倍。 本题要求F的容许值最大，即当力 F作用在距离B点X的位置上时，1、2两杆均达到破坏所需的轴力，即 F BD 2fec 此时，对力的作用点求矩得: 解得：X 3 此时，由竖直方向的受力平衡得： 2-13图示结构，AC为刚性杆,BD为斜撑杆，荷载F可沿杆AC移动，试问：为使BD杆的重量最轻,BD杆与AC杆之间的夹角。应 取何值？ 解：如图所示，取整体为研究对象，对 A点取钜，由Ma 0得: 而 F BD ABD FL 1sin2 2 WABD 1BD 要想使重量最轻，应该使 sin2 9最大，即2 9 =90o 解得=45o 2-14铰接桁架承受

13、水平力 F=150kN,桁架所有杆件的许用应力b =125Mpa,试求AB杆和CD杆所需的横截面面积。 解：由零杆的判别条件知，图中BC杆为零杆。 取整体为研究对象，对 A点取钜，由 Ma 0得: 1 F 2 FD 60 解得：FD F 3 取D节点为研究对象，由平衡方程得： 则可以解得: Fbd 同理，对于B节点，也有平衡方程: 则可以解得： 于是，由许用应力定义得： FCD D Fd 2-15圆截面钢杆如图所示, 应力。 已知材料的E=200GPa 若杆内应变能U=4N -m,试求此杆横截面上的最大正 解：各截面压力相同为F F2l1 F2l2 F2l3 2EA 2EA2 2EA3 应变能

14、U 代入数据可得F 28.36kN max F Amin F A2 90.3MPa 2-16图示杆件的抗拉（压）刚度为EA,试求此杆的应变能。 解： 如图所示，为杆件的轴力图，则杆件的应变能计算应该分为两部分。 其中：U1 F12L 2EA (3F)2 2a 2EA 9F2a EA 9F2a F2a 19F2a 则：U U U2 EA 2EA 2EA 第三章扭转 3-1直径d=400mm的实心圆截面杆扭转时，其横截面上最大切应力t max=100Mpa，试求图示阴影区域内所承担的部分扭矩。 解：法1距圆心 处切应力为 阴影部分扭矩Me 0.1 0.05 ()2 d 73.6 k m 2 精心整

15、理 法2: 距离圆心处切应力为 73.6kN Gb 和 Ga。 3-2将空心管B和实心杆A牢固地粘结在一起而组成一实心圆杆，如图所示。管B和杆A材料的剪切弹性模量分别为 试分别求岀该组合杆承受扭矩Mt时，实心杆与空心管中的最大切应力表达式。 Da 答：实心杆: max Mt- 2，空心管: mtdb 2 GAI pa I PA max GbI pb I PB 解：设实心杆受扭矩 Ma,空心管受扭矩 Mb，且两杆的最大切应力出现在外边缘处, 由已知得Ma + Mb = Mt ; 对两杆接触截面的相对转角相同，即 A= B ； MaI MbI Gai pa Gb I p 所以Mb = Gai pa

16、 MtGaI pa M tGb i pb 则实心杆: max 空心管: max GBI PB Da Ma2 I PA Mb DB I PB B - Ga i paGb i pb GAI PA Mt 2 GaI PA GbI PB Gb i pb Gai PA Gb I PB I PA Mtdb I PB 3-3图示受扭轴，AB段因安装手轮，截面为正方形，试从强度方面考虑，轴的容许扭矩因此降低了多少（用百分比表示）？ 解：由题意可知，从强度方面考虑， 即: Tmax 圆: max 截面为圆时，Tmax圆p圆 d3 16 当截面为正方形时，如图b ，边长b 查表可得，当m h 1时, b 0.20

17、8 所以 Tmax正p正0.588r3 所以降低为：1 k 62.500 =0.1rad, 3-4受扭转力偶作用的圆截面杆， 长L=1m，直径d = 20mm，材料的剪切弹性模量 G= 80GPa,两端截面的相对扭转角$ 试求此杆外表面处沿图示方向的切应变丫、横截面上的最大切应力Tmax和扭转力偶矩 Me。 答：Y =1X 103，T max= 80MPa，Me= 125.6N?m 4 解：由公式 Mld ,IP = GIP32 得出 Me= 125.6N?m 精心整理 V 且 M=125.6 8 =80MPa, max _ 8 wp 157 10 由 G ，得 80 10 G 80 10 9

18、 =1 10 3-5圆截面橡胶棒的直径 d = 40mm ,受扭后，原来表面上互相垂直的圆周线和纵向线间夹角变为 86o,如杆长L = 300mm试求 G = 2.7 MPa，试求杆横截面上的最大切应力和杆上的外力偶矩 Me 解： 90 86 4 4 rad 180 所以 1.047 rad max G 2.7 106 4 0.188 MPa 180 端截面的扭转角；如果材料的 另外因为 MeL GI 32MeL 2.367 N m G d G d4 32 L 3-6 一根在A端固定的圆截面杆 AB如图所示，图中的a、b及此杆的抗扭刚度 GI均为已知。杆在B端焊有一根不计自重的刚 性臂，在截面

19、C处有一固定指针，当杆未受荷载时，刚性臂及指针均处于水平位置。如现在刚性臂的端部悬挂一重量为F的重物, 同时在杆上D和E处作用有扭转力偶 Md和Me。当刚性臂及指针仍保持水平时，试求 Md和Me。 解：扭矩图如图(a)所示 要保证指针及刚性臂保持水平 则 ACcb 0 (Fb Me GI P Me 2Fb 0 (2)两式联立 所以Me 2.367N m M d )a (Fb Me) AC Gl p a、 0 得 2Fb 2Me Md 0 (1) 得Fb (1 )、 得MD (2) 4Fb Me 3Fb 3-7图示圆截面杆，其全长受集度为 m = T的均布扭转力偶作用，并在中点受其矩为 L T的

20、扭转力偶作用，试作此杆的扭矩图, 并求杆的应变能。 解：对1-1截面，有 I Mx 0, T m(L x) 0. Tx (L x) T LL 对2-2截面，有 Mx 0, T2 m(L x) T 0. T2 T L(l 作岀扭矩图. x) T- . L (2)杆的应变能 7x 0 2GI p L(T)2 2 L 0 2GI dx p L互 L 2 2GI p T)2 dx t2l 24GI p 第四章弯曲应力 4-1试作下列梁的剪力图和弯矩图。 精心整理 解：(a) 1、计算支反力由平衡方程: M A 0 即 Fb 2a qa 3a qa T 丫 0 即 FaFb qa qa 0得Fa qa

21、2 2、列剪力、弯矩方程 AC 段：FS(x) qx qa 2 M(x) 2 qx V CB 段：Fs (x)qx 3qa 2 M (x) qa x 2 2 qx 2 (0 x 3qa x 2 2 qa a) (a x 2a) 3、作剪力、弯矩图 (b) 1、计算支反力由平衡方程: qa 2 30 sw 屯0-3 qa| qa Y 0 即 FA Fb 60 60 0 得 Fa 30kN 2 亠、qa2 2、列剪力、弯矩方程 -8 AB 段:Ms(l) 15x2I 60 x30 - 20 0 得 Fb Fs图 (kN) 30 M q =60kN/m 2m M =20kN m 5x3 3、作剪力、

22、弯矩图 (c) 1、计算支反力由平衡方程：(a) L qL 64 M a 0 即 Fb L cIqL 4 丫 0 即 FaFb qL 4 2、列剪力、弯矩方程 AC 段：Fs(x) CB 段：Fs(x) 5L 6 0得Fb q4L 0 得 常30你 qL 4 IHH 29.36 q。 11 WH屮 2m 29.36 触I 111 20 Fb 1 P _ Fa 27 q0 (b) i 1 i Ci I i 1 i Fb 2 qx L 2 qox qx L qx SL 4 qL M(x) M(x) 3 qx 3L qx qLx 3 qox 3L 2 CIqX 2 qLx (c) (0 x L) q

23、cL2( 12 L) 3、作剪力、弯矩图 .| lfcZ . (d) 1、计算支反力由平衡方程: 4 qa 4a 2 qa qa a 22一33f 才 0得Fb 3qa 4 Fs图 3qa 4 wk 丫0 即 Fa Fb qa0 得 Fa 列剪力、弯矩方程 2、 AC段: CB段: 3、 Fs 段图 qxfqa 2 Fs(x)2qx24 2a4 作剪力、弯矩图 2 Fa M=qa 2/3 3qa 4 a Fb 3qa x 3 M (x) A 6a iiiiin+MfxW 5qa里 2 qx (d) qa (c) 4-2作图示梁的剪力图和弯矩图。 解：(a) 1、计算支反力由平衡方程： 2 a)

24、 7qa2 rT (d) M a 0 即 Fb 2a qa a 2qa a 2 qa 0 得 Fb qa C 精心整理 丫 0 即 FaFb qa 2qa 0 得 Fa 2qa 2、列剪力、弯矩方程 CA 段：Fs (x)qa M(x) qax AB 段：Fs (x)qx 2qa M(x) (0 2 qx 2 x a) 5qa2 2qax 2 (a x 3a) 3、作剪力、弯矩图 (b) 1、计算支反 Fs图 M A 0 即 FB 10kN 15kN Fs图 (kN) rnjw 55kN 5kN -m kN/m 丫 0 即 Fa Fb 5 20 0 得 Fa 2 2、列剪力、弯矩方程qa ca

25、段： AD段： qa2 qa2 FSdX图“5ii川川血1樹)1乔5仙111(0 1) c Fa M 图.dill Lli 1m b DB段: Fs(x)10 M(x) 10 x 15 (1 (2)N -m) Fs(x)10 x 30 (a) M (x) 5x2 30 x 40 (2 4) (b) 3、作剪力、弯矩图 (c) 1、计算支反力由平衡方程: a M A 0 即 M A qa 2qa2 2 3a qa 2 qa 2a 0 得 M A 5qa2 丫 0 即 Fa qa qa qa 0 得 Fa qa 2、列剪力、弯矩方程 AB 段：Fs (x) qx qa M(x) BC段：Fs (x

26、)qx 3qa M(x) 2 qx2 qax 5qa 2 厘 3qax 2 (0 x 4qa2 a) 3、作剪力、弯矩图 (d)1、计算支反力由平衡方程：2qa Ma Fs即 FBI開1腳制+丄2110得FB輕 qa 26 AC段： Fs (x)翌 6 M (x) qax 6 CD段： Fs (x)qx 7询 6 M(x) DB段： Fs(x)警 6 M (x) 3、作剪力、弯矩图 2 (e) 1、计算支反力由平衡方程: 6 2 h2 3qa 丫 0 即 Fa Fb qa 07得a$A 5qa2 2、列剪力、弯矩万程 (0 x a) qx2 7qa 2 x 6 5qa2 a M c 0 即 M

27、c qa qa 2 qa 2 0得Me 2 qa Y 0 即 Fc qa qa 0 得 Fc 2qa PR 2m Fb + III 5 P=qa Maq 1 dl J v J, li V B c q * a a A F (c) 2 M= 2qa (a x 2a) qa 2 qa Fs 图 AL Fa 2 qa 2 (2a I5qa a 八 a 6 a qa qa2Jdal+| (a x(d)2a) 3a) B Fb r厂 i 1 1 B a4 a qa q A Fc Mc 2/2 2 (ax 2 a) 精心整理 2、列剪力、弯矩方程 AB 段：Fs(X)0 qa M(x)(0 x a) BC

28、段：Fs(x)qx M(x) 2 qx 2 2 qa 3、作剪力、弯矩图 (f) 1、计算支反力由平衡方程: 0.51 Ma Fs 图卩 Fb 4.5 2.5 qa2|4|0 得 FB 卅 2qa Y 0 即 Fa Fb 0 得 Fa 0.51kNqa2 M图，訂I- 2、列剪力 CA段： 0.51kN Fs图 (kN) 1.2kN AD段: DB段: Fs(x) Fs(x) Fs(x) 0罟 0.51 M图 (kN -m) 2.16 .7伽 3.6 心8 2.3m “ 0.51 M(x) (eM (x) M(x) 1.2x(0 0.69x 0.92 0.51x 3.22 3、作剪力、弯矩图

29、4-3已知简支梁的剪力图如图所示, 梁内若有集中力偶，则作用在右端。 解： 依据剪力与弯矩的微分关系作图 1.8) (1.8 x 4) (4 x 6.3) 试作此梁的弯矩图和荷载图。 qL 解: Fs图 得F Ax x 0即荷讯 4-4已知简支梁的弯矩图如图所示，试作此梁的剪力图和荷载图。 依据剪力与弯矩的微分关系作图 4-5试作图示简单刚架的内力图。 丫 0 即 FAy qa 2、列内力方程 AB段：Fn(灯图 qa BC段：Fn荷载图 0 得 F Ay- qa (a) Fs(x) F F 11 II 111 11+ 2FL q 荷载图, 1 片9 J (b) 1 N 图 qax qa qx

30、 , 2 2kN *m M荷载图 3、作内力图 (c) qa F Ax qx Fs图 M x 2a) 8kN *m a 精心整理 BC 段：Fn(X) Fs(x) M 2a M(x) CD 段：Fn(xJ M 2a Fs (Xi) M (x1) M x 2a 0 M (0 2a) (0 (a X1 X a) 2a) 3、作内力图 (d) 1、计算支反力由平衡方程得F Ax qa Ay 2、列内力方卑 AB段: 3qa 2 FS-口 M 2a qa BC段: Fn (X qa FsX) Fn图 3q CD段: FN (X2) qa 2 FS ( X2 ) qa 0 (0 (a M(x) Fs图

31、X2 a) x22 a) M (x) 2 M (x2) qax2 0 qa (a (0 x2a) x22 a) 3、作内力图 4-6试作图示梁的内力图 a 3q )/ b1 由 0得 Fa 2qh,由 因此图示梁 试从弯矩来考虑，说明为什么双杠的尺寸常设计成 4-7 ? Fs图 Fn 图. 解：由题意只需要考虑两种临界情况即可。 梁的内力图如图 b2所示 (M图#有问题q 1、当力F在中间位置时，由对称可知 Fa Fb F/2 M图 解: 由 对系统进行受力分析a(如图 0得F 2+ 3X 得 o 一 最大弯矩发生在正中，即 Mmax1 F LFL 2 24 2、当力F在最边缘位置时，由平衡条

32、件: Ma 0 即 Fb L F (L a) 0 得 Fb r,ra Y 0 即 Fa Fb F 0 得 FaF - 最大弯矩发生在B处，即Mmax2 Fa 所以，根据材料的许用强度可知，当两者相等时最佳，即 FL 4 Fa| 即 a 4-8试推导梁受均布弯曲力偶m时的荷载与剪力、弯矩之间的微分关系 解:由题意如图所示，由平衡条件: M A 0 即 FB L m 0 得 Fb m A 、 w,b Y 0 即 Fa Fb 0 得 Fa- F B 所以AB段：FS(x) M (x) 4-9已知悬臂梁及其剪力图如图 a、b所示，若在梁的自由端无弯曲力偶作用，试作此梁的弯矩图及荷载图。从剪力图和弯矩

33、图直接求岀支反力和支反力偶，并在荷载图上画岀其方向和转向 精心整理 解：由剪力图知AC段受均布力作用，大小为 q ; C点受集中力F qL ; BC段受均布力，大小为 q 则可作岀荷载图与弯矩图如下： 4-10 一悬臂梁承受沿梁全长作用的分布荷载，梁的弯矩方程为M (x) =ax3+bx2+c，其中a、b和c为有量纲的常数。x的坐标 原点取在梁的自由端，试求分布荷载的集度，并说明常数c的力学含义。 解：M (x) ax3 bx2 c 当x=0时，M() c因此c表示自由端作用的弯矩为c。 由M (x) ax3 bx2 c为三元一次函数得知，集中荷载为一元一次函数， 令q ex f并且以自由端为

34、原点建立坐标系(如图所示) x 得 M (x) c q(l)(x l)dl ax3 bx2 c .一 I x32 即(el f)(x l)dl ax bx 所以 q 6ax 2b。 4-11 一端外伸的梁在其全长 L上有集度为q的均布荷载作用，如欲使梁在此荷载作用下的最大弯矩值为最小，试求外伸端的 长度a与梁长L之比。 解：1、计算支反力由平衡方程： M A 0 即 Fb (L a) qL 2 0得Fb qL2 X1孕 2( L a) r J / ” r Y 0 即 FA Fb qL 0 得 Fa qL(L ”2(L 2a) a) / / - 2、列剪力、 弯矩方程 AB 段：FS(x) qx

35、 qL(L 2a) 2( L a) 2 M (x)qx qL(L (L 2a)x a) (0 x L a) BC 段：Fs(x) qx qL M(x) qx qLx qL 2 2 (L a x L) 3、作弯矩图 2 2 2 4、由弯矩图可知，当qL (L 2討qa时，最大弯矩值最小， 8 (L a) 2 解得 a 0.293L 或 a 1.707L (舍去) 4-12独轮车过跳板，如跳板的支座A是固定铰支座，试从最大弯矩考虑，支座B放在什么位置时，跳板的受力最合理? 解：如图(a)所示，当F位于AB中点C或者位于跳板的右端点 D时，会在跳板上产生最大的弯矩。 当F位于C处时： Fy 0所以F

36、a Fb 0 L x 又 Ma 0 所以 FFB (L x) 0 所以Fa Fb F此时弯矩图如图(b)所示。 2 当F位于D处时：Fy 0所以FA Fb F 0 M A 0 所以 FB (L x) F L 0 得fbfl因此Fa L x F Fb Fx L x 此时弯矩图如图(c)所示。 精心整理 最合理时Mmax1 Mmax2， 4-13开口圆环，其受力如图所示, 解：如图，在任意截面1-1处， 在1-1截面与开口之间取一小段长为 即Fx牛，得 x 5，因此当x 已知环厚为h (垂直于纸面) L时最合理。 5 ，p为均匀压强，试求此环在任意截面1-1上的弯矩。 对截面1-1处的弯矩为M F

37、Rsin 所以对整段环的合弯矩为 4-14如图所示，已知 的内力与载荷的微分关系。 解得: 再由 Rd ，宽为h，则所受合力 2 phR sin d 2 2 M 0 phR sin d phR (1 cos bx h的矩形截面杆，其弹性模量为E, p( x m n = L x m n dx L 题4 -14 图 Fy 0，即 dFs(x) dx Me 0， pdS phRd 承受三角形分布载荷 P (x)，其方向与x轴夹角为，试导出杆 解：取坐标为x和dx处的两横截面，设坐标为 弯矩分别为Fn (x)、Fs(x)和M(x)。该处的荷载集度为q(x)，则在坐标为x dx 处横截面上的轴力、剪力和

38、弯矩分别为Fn (x) dFN (x)、Fs (x) dFs(x)和 M (x) dM (x)。梁段在以上所有外力作用下平衡。 x处的横截面上的轴力、剪力和 即 Fn (x) Fn (x) dFN (x) p(x)dx cos 0， 解得: dFN(x) dx p(x)cos Fs(x) Fs(x) dFs(x) p(x)dxs in 0, p(x)sin 即 M (x) dM (x) M (x) FS(x)dx p(x)dxs in dx p(x)dxcos h 0， 2 2 二阶无穷小项得：dM(x) Fs(x) p(x)hcos dx s2 4-15宽为b=30mm，厚为t=4mm的钢带

39、，绕装在一个半径为 (T p，试问圆筒的最小半径 若要求钢带在绕装过程中应力不超过 R的圆筒上。已知钢带的弹性模量 E=200GPa,比例极限(rp=400MPa, R应为多少？ 解：由题意钢带的曲率为 1 R M EI pW即R EI EI 可知 pWz p越大，R越大; 所以Rmi min EI Ey max 93 10 2 10 pWz 200 400 106 1m 空心圆截面梁如图所示。试求横截面1-1上K点处的正应力，并问哪个截面上相应于此K点位置的正应力最大，其值等 4-16 于多少？ 解：1、求支反力由平衡方程 M A 0 即 FB 3a 7Fa Fa F 2a 0得 Fb 2F

40、 Y 0 即 FaFb F F 0 得 Fa 2F 2、求1-1截面处的弯矩皿勺! 2F Fa 3、求该截面上K点处的正应力 Mi iy Fa d sin 45 4 Iz d4 64 3.84 Fa 4、求max由于无均布荷载，根据微分关系可知最大弯矩在拐点处， 其中 Ma 7Fa，MC 7Fa 2Fa 5Fa，MD 2Fa，MB 0 所以 Mmax Ma 7Fa，则 4-17用相同材料制成的两根梁，一根截面为圆形，另一根截面为正方形，它们的长度、横截面面积、荷载及约束均相同。试 求两梁横截面上最大正应力的比值。 解：设截面面积为A,圆形截面直径为d,正方形截面边长为 a，则有 A 4 2 d

41、2 a即一 a 由公式 M得最大正应力分别为 所以 正方形 3 6d 6 2 3 0.847 圆形 32 a 32 厂 4-18T形梁截面如图所示。已知截面上M=3.1kNm，lz=53.1X 106m4,试求截面上、下边缘处的正应力及中性轴以上部分截面 的正应力构成的总压力及压力作用点的位置。 解:根据 My得 Iz M 0.075 上边缘 Iz 3100 0.075 Pa 4.379MPa （“ - ”号表示压应力） 53.1 10 6 2 2 0.025 My0.075 My 0.05dy 0.025 I z *My M z Fn a dA y A I0 I 1 z1 z 4-19梁的横

42、截面如图所示。如果已由实验测得上端纵向纤维的压缩应变 截面上阴影部分总的法向内力。已知材料的 E=200GPa E 得: 0.15dy 解得 a 52.6mm =0.0003，下端纵向纤维拉伸应变 =0.0006。试求 My Iz 由于同一截面上E M及Iz相同，故与y成正比 由上端上 0.0003，下端下 0.0006得: 3 y上- 450150mm, 9 y下 450 300mm， 9 M E下8 故4 10， Izy下 阴影部分总的法向内力为： 4-20矩形截面梁的截面尺寸如图所示。已知梁横截面上作用有正弯矩 的法向内力及切向内力。 M=16kN - m及剪力Fs=6kN，求图中阴影面

43、积I及U上 解: 分析截面： 由对称知中性轴既是形心主轴 由 My * 皂旦积分得 Iz Izb FnI * dA Ai 0.075 My0.1Mo.75 0.1dyydy 142.2kN （压力） 0.025 II0.025 精心整理 Ai dA dAn 0.075Fs a。25 Iz 0.1 0.025 M y 0 Iz 0.075 y 0.1 0.075 y 0.05dy 0.05M Iz 0.025 0 ydy O.ldy Fs 0.1 Iz 2 0.075 0.0752 0.025 dy 1.556kN 8.89kN （拉力） 0.025Fs 0.075 0 Iz 0.12 弯曲强度

44、，如图所示在矩形截面上增加肋板，如肋板的高度较小时，反而会使弯曲强度降低，已知尺寸 最低时的肋板高度h 1。 Fsn An dAc -0.1 0.075 y 0.05dy Fs 0.05 0.025 解：梁的正应力强度条件为 Mmax max 由题意可知 Iz h h ymax h, 而max1，所以只需求解 2 Iz h，将梁截面分为 ABC三部分 Iz 2 2 0.075 y2 dy 0.723kN 4-21 为了提高梁的 b、bi、h，试求抗弯强度为 令 Z h 0 得: h z hi h b1h1 3 巴0 6h1 所以hi3 b h3 2b1 2b1 图示圆形截面悬臂梁，受均布荷载q

45、作用，试计算梁横截面上最大切应力、最大正应力及它们两者的比值。 解：剪力图，弯矩图如图所示。 4-22 max Mmax Wz ql2 2 口2 2 由圆形截面知 所以, max d 3l max 4-23矩形截面梁高为 h， 试问在距中性轴多远处，横截面上的切应力等于平均切应力？ 解：距截面中性轴为y处的切应力 其中 Sz 平均切应力为 题4 23图 FsSz Izb s为截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩。则 b b川 丫阿J , y2 4 Fs，式中 A y2) A bh，要使截面上切应力等于平均切应力，即使 Fs bh 解得y 4-24木制悬臂梁受载如图所示。试求中性

46、层上的最大切应力及此层水平方向的总剪力。 答：T max=0.3MPa民*=30kN 0.14 12 解：分析截面Iz 4 a 12 丄 12 44*43 10 m Sz 0.0250.10.051.25 10 m 梁所受剪力为Fs 3 2 x 10 N 则中性层上的最大切应力为 max F Smax Sz Izb 34 2 101.25 10 Pa 0.3MPa 14 10 0.1 12 精心整理 此层水平方向的总剪力为 FS 3 2 2 x 101.25 10 dA0.1dx 30kN 0 右 104 01 4-25T形截面梁如图所示。 已知 Fs=100kN, lz=11340X 108

47、m4,试求中性轴及翼缘与腹板交界点处的切应力。 解：分析截面Sz中性轴 162.5 50 2 162.5 10 96.6 10 4 m3 由 FS Sz得 Izb 中性轴上 100 103 交界点处 4-26 6.6 104 8 Pa 11.64MPa 11340 100.05 100 103 6.25 10 4 Pa 11.02MPa 11340 100.05 已知梁横截面上的弯矩 M=60kN m,横截面尺寸如图所示。试求此截面上的最大正应力。 解：分析截面 |z 1 0.24 0.164 1.0 1 2 1 0 4 m4 1264 3 60 10 0.1 4 Pa 59.3MPa 1.0

48、12 10 My max max Iz 4-27由50 a号工字钢制成的简支梁如图所示。试求横截面上的最大正应力和最大切应力。 解：1、计算支反力由平衡方程： 所以 Ma 0 即 FB 6 180 0.5 180 1 30 6 30 得 Fb 135kN 丫 0 即 FaFb 180 180 30 60 得 Fa 405kN 2、作剪力图与弯矩图 405 405kN M Fs图 3、求最大正应力和最大切应力135 135 4-28试求图示梁横截面上的最大正应力和最大切应力，并绘出危险截面上正应力和切应力的分布图。 由图可知FSmax 390 f|23S 伯和 30 4.5 + II 川15 二

49、 4.5303.75kN m 24.5m 解: 2、作剪力图与弯矩图 由图可知 FSmax40kN Mmax 求最大正应力和最大切应力图L (kN) 3 20 200 2 分析截面Iz M max y max 1 z 4.0N m + 1 I 上 h. 182 20 2040 12 M图 40 (1屈51珂0 3 ” +a 40 绘岀危险截面上正应力和切应力的分布图 39.693 10 6 40 j|l + 3 100 400722 100 20 4 八_64 mm 39.693 10 m 1211 1 ill II Ln 4-29在图中如以虚线所示的纵向面和横向面从梁中截取一部分，试求在纵向

50、面mn 并说明它与什么力平衡，用图表示。 解：求支反力：由平衡方程 m上由微内力 TdA所组成的合力, Ma 0 即 FbL qL2 0 得 Fb 步 4、 精心整理 Y 0 即 Fa F 0 得 Fa 牛 求合力T:分析小块，在nn处所受切应力为 由受力平衡则 xx 21 L 2x 4bh :竺 L 2x bdx 0 4bh 它与nn所在横向面所受拉应力平衡。 4-30从图示梁中取出一脱离体， (1) 所受合力为T a xdA 3qx L x 试求其横截面AA 4h (2) (3) (4) 最大、最小正应力； 最大、最小切应力； 正应力组成的法向内力F 切应力组成的切向内力F (5) 解：

51、纵向面上切向应力 T 。 (1)对于横截面 AABB来说, BB段上的正应力最大，其值为: Bmax Mmaxymax Iz pl h 2 2 bh3 3pl bh2 12 AA段上的正应力最小，其值为: A min M max ymin 匚 pl h 2 4 bh3 12 2bh2 (2) AA段上的切应力最大，其值为: FsS z max h 2 h _4_ ydA -by2 2 max Izb bh3 . b 12 加b 12 9p 8bh BB段上的切应力最小，其值为: min FsSz Izb Fs 0 Izb (3) 正应力组成的法向内力为: * dA A A*M；dA M Iz

52、* ydA pl 2 bh3 12 h h2ydA 4 9 pl 16h (4) 切应力组成的切向内力为: Fs a* dA h2 (5) 纵向面AA c c上切应力组成的切向应力 4-31 一根木梁的两部分用单行螺钉连接而成, 为700N,试求螺钉沿梁纵向的间距 a。 解：截面上 AA处由剪力Fs引起的切应力为 由切应力互等定律木梁两部分连接面上有切应力 容许剪力为700N Iz A*ib(v )dy p bh3 12 h2 h21b(h- 4 24 y2)dy 5p 32 其横截面尺寸如图所示。已知剪力 Fs=3kN, lz=113.5X 106 m4, 螺钉的容许剪力 FsSz Izb

53、，所以一个螺钉所承受剪力为: 所以 F 700FsS仝 a 700 Iz 所以间距a为42.37mm 4-32用螺钉将四块木板连接而成的箱形梁如图a所示，每块木板的截面均为150mm x25mm，如每一螺钉的容许剪力为1.1kN, 试确定螺钉的间距 a。又如改用图b所示的截面形状，其他条件不变，则螺钉的间距a应为多少？ 答：(a) a=0.117m； (b) a=0.176m F 5 5 解：(a)由平衡条件 MA 0得FB 4 F 1 0则FBkN 1.375kN 44 则 FsmaxF FB 5.5 1.375kN 4.125kN 分析截面(a):由对称知形心主轴即是对称轴 则两极连接处

54、Sz* 87.5 150 25mm3328.125 10 6m3 由题意F剪力b a即1.1 103 2 0.37663 106 50 103 a 解得 a 0.117m (b)同理对截面有 Iz 21 25 1503 2 1 150 253 62.52 150 25 mm4 12 12 Fs75 由T y Izb50y 75 y b 2 75 y dy 200 25得 1 0.393MPa 2 l I I T J- 所以 1.1 1032 6 0.393 10 50 103 a 所以在两极连接处所受的切应力为 43.75 10 6m4 解得 a 0.112m 4-33用20 a号工字钢制成的

55、简支梁如图所示。由于正应力强度不足，在梁中间一段的上下翼缘上各焊一块截面为 10mm的钢板来加强，如材料的a=160MPa，试求所加钢板的最小长度 F A =20kNF =40kN F B =20kN 120mm x F =40kN 20 + ILL (b) -L Fs L1。 解：经查表得20号工字钢的参数Iz 2370cm4， h=200mm，b=100mm。 受力分析知简支梁的受力图，剪力图, 由弯矩图知，距中心 L处的弯矩为 2 max MlV I2 带入数据 弯矩图(如图 Ml 2 70 10L (kN m) 10cm, I z 2370cm4得最小长度 L 3.21m. 4-34图

56、示铸铁T形截面梁，已知 Iz=7.65x 106m4，材料的b h=40MPa， a c =60MPa，试校核此梁的正应力强度。 解：1、求支反力由平衡方程： Ma 0 即 FB 2 12 1 4.5 3 0得FB 12.75kN Y 0 即 Fa FB 12 4.5 0 得 Fa 3.75kN 2、作剪力、弯矩图 3、校核正应力强度 4.5 3.75 4.5 M 图一 | - (kN)1+ 1_ 3.75 精心整理 t maxi 由题意 t max 2 My Iz My Iz 33 3.75 1088 10 6 Pa 43.1MPa 7.65 10 4.5 1052 10 6 Pa 30.5

57、9MPa 7.65 10 t 40MPa t 40MPa 工字钢的 lz=15760cm4, Wz=875cm3。梁的许用应力（r=140MPa, 则此梁不安全。 4-35有一桥式起重机，跨度l=10.5m,用36 a的工字钢作梁， Lo 电葫芦自重12kN，若起重量为50kN时，梁的强度不够，为此在工字钢梁中段的上、下缘各焊一块钢板如图，试校核加固后梁的强 度，并求加固钢板的最小长度 解：由题意当电葫芦在梁中间时，所受最大弯矩最大为 此时加固后 则max Mmaxy Iz 33 162.75 10196 10 Pa 270.769 10 6 117.8MPa 由题意临界情况时, 电葫芦刚好在

58、加固板一端，此时 10.5 L 由平衡条件 Mb 0 即 Fa 10.562 103 10.5 Fa 3 5.9 1010.5 x 则此时 M xFA x Wz Wz 3 5.9 1010.5 x 10 6 140 106Pa 875 解得x 2.64 10：L 则 L 5.22m 4-36在图示工字钢梁截面I I的底层， 若 L=1.5m，a=1m，E=210GPa,试求载荷 F值。 装置一变形仪, 其放大倍数K=1000,标距S=20mm。梁受力后，由变形仪读得 S=8mm。 解：由题意1-1底层处发生的形变为 则此处所受拉应力为 49 E 4 10210 10 Pa 84MPa 由对称可

59、知Fa Fb F则1-1处所受弯矩为 M 2 Fb L 在1-1底层所受压应力为 M 84MPa W F La 即284 Wz 106Pa即6 141 10 106 3 (2) | 解得 F 47.4kN 4-37已知直梁的横截面如图所示，横向载荷作用在对称平面 xcz （即截面对称轴z与轴线x组成的平面）内，该截面上的弯矩 M=12kN m，剪力Fs=12kN，试计算该截面上: B两点处的正应力; （1） A、 (2)1 b I max 和 I T 1 max ； (3 )沿 a a的正应力和切应力分布图。 解：（1） 分析截面：zc 14016028019080100mm 160 280

60、80 100 129.13mm 由公式 max MZmax 12000280 129.13 10 Ix 2.617 10 4 Pa 6.92MPa 精心整理 在中性轴处 maxi F S Sx1 Ix bi 3 12000 1.334 10 4Pa 0.382MPa 2.617 100.16 Fs S max 2 310 879 *120001.334 103160 10.87 109 22 4 Ix b2.617 100.16 0.08 Pa 0.759MPa 所以 max max 20.759MPa 4-38图示简支梁受荷载 Fi, F2, qi, q2和m的共同作用。 (1)试作梁的剪力