立体几何100题

1、立体几何100题1.如图，三角形中，是边长为I的正方形，平面底面，若分别是的中点(i)求证：底面；(2 )求几何体的体积.2在三棱锥P ABC中， PAC和 PBC是边长为 2的等边三角形， AB 2，O,D 分别是AB, PB的中点(1) 求证：0D/平面PAC ;(2) 求证：0P 平面ABC ;(3) 求三棱锥D ABC的体积3如图，在直三棱柱 ABC A.BQ,中，BAC 90 , AB AC 2，点M ,N分别为AG, AB!的中点(1) 证明：MN /平面 BBiGC ；(2) 若CM MN，求三棱锥 M NAC的体积.4.如图，在三棱柱中，平面，点是与的交点，点在线段上，平面(1

2、 )求证：；(2 )若，求点到平面的距离5 .女口图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD 是直角梯形，1AB BC, AD/BC, AB BC -AD ,PAD 是正三角形，E 是 PD 的中点.2(1) 求证：AD PC ;(2) 判定CE是否平行于平面 PAB，请说明理由.6如图，在四棱锥 S ABCD中，侧面SAD 底面ABCD , SA SD , AD/BC ,AD 2BC 2CD , M , N分别为AD , SD的中点.(1)求证： SB/平面CMN ; (2)求证： BD 平面SCM .7.如图，在矩形中，平面，分别为的中点，点是上一个动点.(1)当是中点时，求证:平面平面；

3、当时，求的值.&如图，在正三棱柱 A1B1G ABC中，点D,E分别是AC,AB的中点.求证：ED /平面BB1C1C若AB 2BBi求证：AB丄平面B1CE.9如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 2, AD 1,AA 1.(1 )证明直线 BC1平行于平面 D1AC ；(2)求直线BC1到平面D1AC的距离.10如图所示，菱形 ABCD与正三角形BCE所在平面互相垂直，FD 平面ABCD，且AB 2， FD J.(1) 求证：EF /平面 ABCD ；(2) 若 CBA ，求几何体EFABCD的体积.311.在直三棱柱 ABC- A1B1G中，AB= AC E是BC的中点

4、，求证：(I)平面 ABE丄平面 BBCC;(H) AC (1)证明：平面；(2 )求三棱锥的体积.13. 如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，为中点，平面平面.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.14. 已知三棱锥，为的中点，平面，是中点，与所成的角为，且 .(1 )求证：；(2 )求三棱锥的体积.15. 在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，.(1)设是上一点，求证：平面平面 .(2 )求四棱锥的体积.16 .如图，在四棱锥P ABCD中， PA 底面ABCD ,底面ABCD为菱形，ABC 60o, PA PB 1,E 为 PC 的中点(1)求证： PA/平面BDE ; (

5、2)求三棱锥P BDE的体积.17. 如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)ABC AEG中，点G是AC的中点.(1)求证：B1C/平面 ABG ； (2)若 AB BC , AC，求证： AC1 AB .18. 如图所示，四棱锥S ABCD中，平面SAD 平面ABCD , SA AD , AD/BC ,4SA BC AB 2AD 4 .3(1) 证明：在线段 SC上存在一点E,使得ED/平面SAB；(2) 若AB AC，在(1 )的条件下，求三棱锥 S AED的体积.19. (本小题共12分)如图，边长为 3的正方形 ABCD所在平面与等腰直角三角形ABE所在平面互相垂直，uuuv uuu

6、v uuv uuvAE AB，且 EM 2MD , AB 3AN .(I)求证： MN / /平面BEC ； (H )求三棱锥 E BMC的体积.20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点，平面 底面.(1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积21.在直三棱柱 ABC- A1B1G中，AB= AC, E是BC的中点，求证:(I)平面ABE丄平面BBCC ；(n)AC1 ABCD AB2, ADDC CB 1 ADC AC ADC ABC E ABDE, DB(1)求证：BCAD ；(2)求E到平面BCD的距离23. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点.(I)证明：平

7、面； (H)设，求三棱锥的体积.24. 如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，为中点，平面平面(1)证明：；(2)求三棱锥的体积25. 如图1 ,在矩形中，是的中点，将沿折起， 得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面(1) 证明：平面；(2) 设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请 说明理由26如图，在四棱锥 P ABCD 中， ABC ACD 90,BAC CAD 60,PA 平面ABCD , PA 2, AB 1 .设M,N分别为PD,AD的中点(1) 求证：平面 CMN /平面PAB ； (2)求三棱锥P ABM的体积27. 如图所示，在长方体

8、 ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA| 2 ,P为棱BB1上的一个动点(1 )求三棱锥C PAA的体积；(2) 当AP PC取得最小值时，求证：PD1 平面PAC.28. 在三棱柱ABC A1B1C1中，已知侧棱CG 底面ABC,M为BC的中点，AC AB 3,BC 2,CG 2 (1)证明:B1C 平面AMC1 ； (2)求点A到平面AMC1的距离.29. 五边形ANB1C1C是由一个梯形 ANB1B与一个矩形BB1C1C组成的，如图甲所示，B为AC的中点，AC CC1 2AN 8.先沿着虚线 BB1将五边形 ANB1C1C折成直二面角A BB1 C，如图乙所

9、示.(I)求证：平面 BNC 平面C1B1N ； (n )求图乙中的多面体的体积.30.如图1, AFA中，FA FAi,AAi 8, CF 2，点B,C,D为线段AAi的四等分点，线段BE,CF,DG互相平行，现沿BE,CF,DG折叠得到图2所示的几何体，此几何体 的底面ABCD为正方形.(1)证明： A,E,F,G四点共面；(2)求四棱锥B AEFG的体积.31 如图，三棱锥P ABC中，PC 平面ABC， F,G,H分别是PC, AC, BC的中点，I是线段FG上的任意一点，PC AB 2BC 2，过点F作平行于底面 ABC的平面DEF交AP于点D，交BP于点E.(1) 求证：HI /平

10、面ABD ;(2) 若AC BC，求点E到平面FGH的距离32.如图，已知正方体的棱长为 3,分别是棱、上的点，且 .(1)证明：四点共面；(2 )求几何体的体积.33 .如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C 平面ABCD ,且AB BC CA .3, AD CD 1 .(1)求证： BD AA ； (2)若E为棱BC的中点，求证：AE/平面DCC1D1 .34. 如图，在三棱柱 ABC AEG中，底面 ABC是等边三角形，且 AA 平面ABC, D为AB的中点，(I)求证：直线BG / /平面ACD ；(n )若AB BB1 2,E是BB1的中点，求三棱锥 A C

11、DE的体积；35. 如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线，垂足分别为，四边形为菱 形，且(1)求证：平面；(2)若，求该几何体的体积.136. 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PC AD CD AB 2， AB/DC，AD CD， PC 平面 ABCD.(1) 求证：BC 平面PAC ;(2) 若M为线段PA的中点，且过C,D,M三点的平面与线段 PB交于点N ,确定点N的 位置，说明理由；并求三棱锥 A CMN的高37.如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD是边长为2的正方形，侧棱 0B 底面 ABCD，且侧棱0B的长是2，点E,F,G分别是AB,OD,BC的中点.

12、(I)证明： 0D 平面EFG ; (n )求三棱锥 O EFG的体积38如图，多面体 ABCDEF 中， AD/BC, AB AD , FA 平面 ABCD, FA/DE , 且 AB AD AF 2BC 2DE 2.(I) M为线段EF中点，求证：CM /平面ABF ;(n)求多面体 ABCDEF的体积.39 .在如图所示的几何体中，四边形BBQ.C是矩形，BB, 平面ABC ,AB, / /AB, AB 2A,B, E 是 AC 的中点(1) 求证： A,E/ 平面 BB1C1C ;(2) 若 AC BC , AB 2BB1，求证平面 BEA1 平面 AA1C1.40 .如图，四边形AB

13、CD为梯形， AB PCD , PD 平面 ABCD ,BAD ADC 90 , DC 2AB 2a, DA 、3a, E 为 BC 中点(1) 求证：平面PBC 平面PDE ;(2) 线段PC上是否存在一点F ,使PAP平面BDF ?若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由.41已知四棱锥 S ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， BAD 60 ,_sfSA SD 5, SB 7，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且,SC1SABEF F EBCC 1)证明：丄平面；(2)求三棱锥的体积.444.由四棱柱ABCDAiBCD截去三棱锥 C1- BQD后得到的几何体如图所示

14、，四边形ABC为正方形，O为AC与 BD的交点，E为AD的中点，AE 平面ABCD(1) 证明：A1O /平面 BQD;(2) 设M是OD的中点，证明：平面 AEM 平面BCD.45如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，PD AD , DAB 60o, PD 底面ABCD .(1)求证:AC PB (2)求PA与平面PBC所成角的正弦值.46如图，三棱柱 ABC- A1B1G中，各棱长均为 2, D, E, F分别为棱 AB, BC, AQ的中点.(I)证明EF/平面 ACD(n)若三棱柱 ABC-A1B1G为直棱柱， 求三棱锥的体积.47 .如图所示，四棱锥 A BCDE ,已知平

15、面BCDE 平面 ABC ,BE EC, DE PBC, BC 2DE 6,AB 4.3, ABC 30.(I )求证： AC BE ; (II )若 BCE 45，求三棱锥 A CDE的体积.48. 在四棱锥P ABCD中， PAD为正三角形，平面PAD 平面ABCD , AB/CD , AB AD , CD 2AB 2AD 4.(I)求证：平面 PCD 平面PAD ; (n)求三棱锥 P ABC的体积；(川)在棱PC上是否存在点 E，使得BE/平面PAD?若存在，请确定点 E的位置并证 明；若不存在，说明理由.49. 如图，已知多面体的底面是边长为 2的正方形，底面，且.(I)求多面体的体

16、积；(n)求直线与平面所成角的正弦值；(川)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行， 要求保留作图痕迹， 但不要求证明.50 .如图，三棱柱ABC A1B1C1的侧面ABB1A为正方形，侧面BB1C1C为菱形，CBB160o, AB B1C .(I)求证：平面 ABBjAbb1c1c ；(n)若 AB 2，求三棱柱 ABC A1B1C1的体积.51.在三棱柱ABC ARG中，AC BC 2, ACB 120 , D为的中点.(1) 证明：AC /平面 BC1D ；(2) 若A1A AC,点A在平面ABC的射影在AC上，且侧面A1ABB1的面积为2 3 ,求三棱锥A BC1D的体积52

17、 .女口图： ABCD 是平行四边行， AP 平面 ABCD ,BE AP AB AP 2 BE BC 1 CBA 60 EC PAD PAC EBC P ABCDPAD ABCD ABCD AB/CD AB 2DC 2、3 PAD ABD E AD G PAD(1)求证： GF/平面PDC ； (2)求三棱锥G PCD的体积.54.如图，边长为2的正方形ABFC和咼为2的直角梯形 ADEF所在的平面互相垂直，AF BC O,DE2 , ED/AF 且 DAF 90 (1) 求证： DE(2) 过O作OH平面BCE ;平面BEF，垂足为H，求三棱锥 A BCH的体积55.如图，在直三棱柱 AB

18、C-ABC中，AB=BC=BB AB1 A, B E , D为AC上的点，BC/ 平面ABD(1)求证：BDL平面AiACCi ; (2 )若AB 1,且AC AD 1，求三棱锥 A-BCB的体积.56如图，四边形 ABCD为菱形， G为AC与BD的交点， BE 平面ABCD .(1) 证明：平面AEC 平面BED ;(2) 若 ABC 1200,AE EC，三棱锥E ACD的体积为一6，求该三棱锥的侧面积3(平面ACD为底面).169 n57. 已知球内接正四棱锥 P ABCD的高为3, AC, BD相交于O ,球的表面积为 竺,若9E为PC中点(1)求异面直线BP和AD所成角的余弦值；(2

19、)求点E到平面PAD的距离.58. 如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.(1)证明：面；(2)证明；(3)求三棱锥的体积.59在四棱锥 P ABCD 中， ABC ACD 90o,BAC CAD 60： PA 平面 ABCD, E 为 PD 的中点，PA 2 AB 2 .(1)求四棱锥P ABCD的体积V ; (2)若F为PC的中点，求证 PC 面AEF .60.在三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB BC CA AA12，侧棱AA 平面ABC，且D , E分别是棱 AB1 , AA1的中点，点F棱1AB 上，且 AF AB .4(1)求证：EF/平面BDC, ； (2)求三棱锥D BEC

20、,的体积.61.如图，四棱锥 P ABCDK ADL平面 PAB APLAB(1)求证：CDL AP (2)若 CDL PD 求证：CD/平面 PAB62.如图，已知三棱锥 P ABC 中,PA AC , PCBC ,E为PB的中点，D为AB的中点，且 VABE为正三角形(I)求证：BC 平面PAC ;(n)请作出点 B在平面DEC上的射影H，并说明理由若BC3,BH125 ，求三棱锥P ABC的体积63.如图，在三棱锥 P ABC中，PA PB AB 2,BC3,ABC90，平面PAB 平面ABC , D , E分别为AB , AC中点.(1) 求证： DE/ 平面 PBC ; (2)求证：

21、 AB PE ;(3)求三棱锥P BEC的体积.64.如图，在四棱锥 E ABCD 中，AELD E, CDL平面 ADE AB丄平面 ADE CD=DA=6 AB=2, DE=3.(1 )求B到平面CDE的距离(2) 在线段DE上是否存在一点 F，使AF P平面BCE ?若存在，求出 兰的值；若不ED存在，说明理由.65. 在如 图所示的多面体中，DE 平面ABCD, AF /DE,AD /BC, AB CD, ABC 600, BC 2AD 4DE 4.(1 )在AC上求作点P，使PE/平面ABF，请写出作法并说明理由；(2)求三棱锥A CDE的高.66.如图，直角梯形 ABCD中，AB

22、PCD , AB 丄 CD , AB BC ,平面 ABCD 平面 2BCE,BCE为等边三角形，M ,F分别是BE,BC的中点，DN -DC .4(1)证明：EFAD ;(2)证明:MN P平面 ADE ;若AB 1,BC 2,求几何体ABCDE的体积.67.如图，正三棱柱中，为中点，为上的一点，(1)若平面，求证：(2 )平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积 为，求(I )证明：平面平面；(II )求三棱锥的体积69如图，在三棱柱 ABC A3G 中，AA 底面 ABC， ACB 90，AC BC 1，AA 2 , D是棱AAi的中点.(I)求证：B1

23、C1 P平面BCD ； (n )求三棱锥 B GCD的体积；(川)在线段 BD上是否存在点 Q，使得CQ BC1 ?请说明理由.70. 如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，(I)求证：平面；(n)求点到平面的距离.71. 如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，点在上，且(1 )已知点在，且，求证：平面平面；(2 )若的面积是梯形面积为，求点E到平面的距离72. 如图，在直角梯形中，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面.为线段的中点，为线段上的动点.(I)当点是线段中点时，求二面角的余弦值；(n)是否存在点，使得直线(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的高75.如图七面

24、体 ABCDEF中 ,面ABCDADEFABGf都是正方形.MN分别是棱 FGDE的中点(1)求证：直线MN/平面CEG (2) 若AE=a,求三棱锥 M CEG勺体积76 .如图，在四棱椎P ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD 面ABCD ,BC 1, AB 2,PCPD 2 , E为PA中点(1)求证： PC/平面BED ； (2)求三棱锥E PBD的体积77.已知在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，且 AD 2, AB 1,PA 平面 ABCD , E,F分别是线段AB,BC的中点.(1) 证明：PF FD ；(2) 若PA 1,求点E到平面PFD的距离78 .如图在

25、四棱锥P ABCD中， PD 平面ABCD , AD CD，且DB平分ADC , AC 与 BD 交于 O 点，E 为 PC 的中点， AD CD 1,PD 2,DB 2、2.(I)证明PA/平面BDE ; (n)证明 AC 平面PBD ;(川)求三棱锥B AEC的体积.79.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形， AD/BC , ADC 90 ,平面PAD 底面ABCD， Q为AD的中点，M是棱PC上的点， PA PD，1BC - AD .2(I)求证：平面 PQB 平面PAD ;1(n)若三棱锥A BMQ的体积是四棱锥 P ABCD体积的-，设PM tMC，试确定t6的值.

26、80如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直与圆O所在平面， G为 AOC的垂心.(1)求证：平面OPG 平面PAC ;(2 )若PA AB 2AC 2，点Q在线段PA上，且PQ 2QA，求三棱锥P QGC的 体积.81.女口图，在三棱锥 A BCD 中，平面 ABD平面BCD, AB AD, CBD 60, BD 2BC 4，点 E 在 CD 上，DE 2EC.(I)求证： AC BE ;(n)若二面角 E BA D的余弦值为一15，求三棱锥 A BCD的体积.582. 如图， ABCD是正方形， DE 平面 ABCD , AF / /DE , DE DA 2AF 2.(1)求证： AC

27、平面BDE ; (2)求证： AC/平面BEF ;(3)求四面体BDEF的体积.83. 如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，已知AB 1,AA| 2, S是AG的中点(1) 求证：AC SD ; ( 2)求三棱锥 A BC1D的体积.84 已知四棱锥 P ABCD中，底面为矩形，PA 底面ABCD , PA BC 1 ,AB 2 , M为PC上一点， M为PC的中点.(1 )在图中作出平面 ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置(不要求给出理由);(2) 求平面ADM将四棱锥P ABCD分成上下两部分的体积比.85. 如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，与相交于，且，矩形底面，为线

28、段上一动点，满足.(I)若平面，求实数的值；(n)当时，锐二面角的余弦值为，求多面体的体积86. 已知四棱台的下底面是边长为4的正方形，且面，点为的中点，点在上，与面所成角 的正切值为2.(I)证明：面；(n)求证：面，并求三棱锥的体积.87. 如图在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面 PAD底面ABCD PA PC ；(1) 求证：平面 PAB 平面PCD(2) 若过点B的直线I垂直平面PCD求证：I88. 在直三棱柱 ABC ABQ,中， AB AC AA, 3,BC 2,D是BC的中点， F是CC!上一点.(1 )当CF 2时，证明：B,F 平面ADF ；(2)若FD Bi

29、D，求三棱锥 Bi ADF的体积.89. 如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD 平面ABCD ,且PAD是边长为2的等边三角形，PC ,13，点M是PC的中点.(1)求证： PA P平面MBD ； ( 2)求四面体 P BDM的体积.16990. 已知球内接四棱锥 P ABCD的高为3, AC, BC相交于0 ,球的表面积为,若E9为PC中点.(1)求异面直线 BP和AD所成角的余弦值；(2)求点E到平面PAD的距离.91如图所示的几何体 P ABCD中，四边形ABCD为菱形， ABC 120 , AB a , PB .3a , PB AB，平面 ABCD 平面 PAB, AC BD O , E 为 PD 的中点， G为平面PAB内任一点.(1) 在平面PAB内，过G点是否存在直线l使OE PI ?如果不存在，请说明理由，如果 存在，请说明作法；(2) 过A , C , E三点的平面将几何体 P ABCD截去三棱锥D AEC，求剩余几何 体AECBP的体积.92如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P , C), 平面ABE与棱PD交于点F .(1)求证： AB PEF ； (2)若平面PAD 平面ABCD，求证： AF EF .93如图，在四棱锥 P ABCD中，已知 PA