概率论和数理统计公式集锦

1、概率论与数理统计公式集锦、随机事件与概率公式名称公式表达式德摩根公式ABAB, ABAB古典概型p(a) m A包含的基本事件数n基本事件总数几何概型P(A) ),其中卩为几何度量(长度、面积、体积)求逆公式P(A) 1 P(A)加法公式P(A U B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) = 0 时，P(A U B)=P(A)+P(B)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB), BA 时 P(A-B)=P(A)-P(B)条件概率公式与乘法公式P(B|A) p(ab)1P(A)P(ABC) P(A)P(B A)P(C|AB)全概率公式nP(A)P(Bi)P(A|Bi)i 1贝叶斯公

2、式(逆概率公式)P(B,|A)巩“畑P(Bi)P(A|BJi 1两个事件相互独立P(AB) P(A)P(B) ; P(B|A) P(B) ; P(B A) P(B A);二、随机变量及其分布1、分布函数P(XQ密您圏菌数,P(a X b) F(b) F(a)y项分布y h*b(n, p)3、续型随机变量及其分布分布名称分布律0 -1分布XNb(1,p)k1kP(X k) pk(1 p)1k, kO,1分布名称F(x) P(X x) xf (t)dt2、离散型随机变量及其分布k kn kP(X k)c； pk(1 p)nk,kO,1,n泊松分布X ”P()P(Xk) k!ke,kO51,2,11

3、1MiM1XXi yj Zk0,x a均匀分布1 Kx a,a x b f(x) b aF(x).5a x bx W (a,b)0,其他d a1;xb分布名称密度函数分布函数指数分布X駅()e x, x 0 f(x)0,x 0F(x) 1ex,x0,x 0正态分布2xm(,)1f(x)* e 2X1XF(x)e2 dt42标准正态分布X 何 N(0,1)(X)前 & TX1X ,(x)e2 dt424、随机变量函数丫=g(x)的分布离散型：P(Y y)Pj,i “III,g(Xj)y连续型：分布函数法，公式法fv(y) fx(h(y) h(y)(x h(y)单调)三、多维随机变量及其分布1、离

4、散型二维随机变量及其分布分布律：P(X人，Yyj)Pj ,j,j1,2,| 分布函数 F (X , Y)PijXiXy. y边缘分布律：PiP(x x)Pj PjP(Yy)Poi条件分布律：P(x X.Y yj)Pij j 1,2,III，P(YPj VXx)旦，jhzllly,Pi2、连续型二维随机变量及其分布分布函数及性质分布函数:F ( x, y)yf (u,v)dudv性质：f(1,甞f (x，y)，呱 y)G)f (x, y) dxdy 边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：Fx(x)f(u,v)dvdu密度函数:fx(X)f (x,v)dvFv(y)f(u,v)dudvfY(y)f(

5、u,y)du条件概率密度fyx(yx) Mx，y),fxY(xy)f(x,y)fx(X)fY(y)3、随机变量的独立性X随机变量X、丫相互独立F(x,y) Fx(x)FY(y),离散型：P连续型：f(x,y)fx(x)fY (y)4、二维随机变量和函数的分布Xi yj Zk连续型:fz(Z)f(x3z x)dxf(z y,y)dy四、随机变量的数字特征1、数学期望定义：离散型E(X)XkPk,连续型E(X)k 1xf (x)dx 性质:E(C) C, EE(X) E(X), E(CX)CE(X), E(X Y) E(X) E(Y)E(aX b) aE(X) b,当 X、丫 相互独立时:E(XY

6、) E(X)E(Y)2、方差 定义:D(X) E(X E(X) E(X ) E (X) 性质:D(C) 0, D(aX b) a2D(X), D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)当X、丫相互独立时：D(X Y) D(X) D(Y)3、协方差与相关系数 协方差：Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y),当 X、丫 相互独立时：Cov(X,Y) 0 相关系数： xyCV(X,Y),当X、丫相互独立时：xy 0(X,丫不相关)jDWuWy 协方差和相关系数的性质：Cov(X,X) D(X), Cov(X,Y) Cov(Y,X)Cov(Xi X2,Y) Cov(Xi.Y) Cov

7、(X2,Y), Cov(aX c, bY d) abCov(X,Y)4、常见随机变量分布的数学期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 b(1, p)PP(1-P)二项分布b(n, p)npnp(1-p)泊松分布P()均匀分布U(a,b)a b2(b a)212正态分布N(, 2)2指数分布& )11五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) ,D(X)2,对于任意0 有 PX E(X)DX12E(Xi)i,D(Xi)*且i2c,则:丄Xini 1伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件则0,有：lim Pn皿p n12、大数定律：切比雪夫大数定律：若XlXn相互独立,n辛钦大数

8、定律：若Xljll，Xn独立同分布，且E(Xi)1n- E(Xi),(n )A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率,3、中心极限定理列维一林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量Xi(i 1,2,川)，均值为，方差为20,当n当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值二未知参数的极大似然估计值充分大时有：斗(Xk n )x n棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：随机变量t2X Tdt(x)lim P巫nn p(1 p)近似计算：P(anXk b)k 1.nN(0,1)XB(n, p),则对任意x有:(b -n )(-):n六、数理统计的基本概念总体和样本的分布函数设总体XH F (x),则样本

9、的联合分布函数F(Xi, X22、统计量样本均值:X 1 11 Xi,样本方差：s2X)2J jXi2 nXi1样本标准差：s1 n(XiX)2,样本k阶原点距:样本k阶中心距:n1 i11 n_Bk-(XiX)k,k1,2,3(|n nAk- nXik,k 1,213、三大抽样分布(1)2分布：设随机变量XiN N(0J) (i 12|,n)且相互独立,则称统计量2xjx；xj服从自由度为n的2分布，记为22n性质： Ef (n)l n,D2(n)J 勿设X讪丫2 (n)且相互独立，则(2)t分布：设随机变量N(0丫2(n),且X与丫独立，则称统计量:X.Yn服从自由度为门的t分布，记为Tt

10、(n)性质: E(T) 0(n1),D(T)n2(n2)nimfn(x) (x) _O(3)F分布：设随机变量X2(n),且X与丫独立，则称统计量F (m,n) X m服从第一自由度Yn为g 第二自由度为n的F分布，记为F性质：设FF(m, n),则1 f - F(n,m)七、参数估计1 .参数估计定义：用(Xi,X2J|,Xn)估计总体参数,称(XnX2A|,Xn)为的估计量，相应的(XnX2A|,Xn) 为总体的估计值。2点估计中的矩估计法:基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩1, 2,|, k,它的前k阶原点求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数矩 iE(X*)(i 1,2,|,k)中

11、包含了未知参数1,2,|, k,即i gi(i, 2A|,k)(i 1,2j|,k)；又设Xi,X2,|,Xn为总体X的n个样本值,用样本矩代替所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数1, 2, |, k的矩估计量1, 2,|, k注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。3.点估计中的极大似然估计设Xi,X2,| |Xn取自X的样本,设Xf(x,)或XP(x,),求法步骤:似然函数:L()nf(Xi,)(连续型)或L()i 1nR(Xi,)(离散型)i 1取对数：In L()nIn f (Xi,)或 In L()i 1nIn 口 (冷)i 111(Xl,X2,|,Xn)In Lm In L

12、解方程：1o,|,0,解得:Ilx1Kkk(xrx2j|-xn)4.估计量的评价标准估 计 曰的 评 价 标 准无偏性设区必，川，Xn)为未知参数 的估计量。右E()=,则称为的无偏估计量。有效性设 11(Xl,X2A|,Xn)和 22(Xl,X2,川,Xn)是未知参数的两个无偏估计量。若D( i) D(2),则称1 hb 2有效。一致性设n是的一串估计量，女口0,有lim P(| nI ) 0则称n为的一致估计量(或相合估计量)o5.单正态总体参数的置信区间条件估计参数枢轴量枢轴量分布置信水平为1的置信区间已知2Z x hjnN(0,1)乔，寿未知2I J SM/nt(n1)X t (n 1

13、 卓,3 t (n 1 灣2寸nn斤已知22nxi2i 12(n)nn22(X.)(X.)i 1i 12(n)i2 (n)2 /(未知222 (n 1 )S22(n1)22(n 1)S2 (n 1)S2 :(n 1)i2 (n 1)扌 2i(2基本思想假设检验的统计思想是小概率原理。小概率事件的概率就是显著性水平常取a=0.05 , 0.01或0.10。基本步骤提出原假设H。;选择检验统计量g(Xi,丿l|, XQ；对于“查表找分位数 入，使P(g(XiJ|,Xn) W),从而定出拒绝域W；由样本观测值计算统计量实测值g(X! |, Xn);并作出判断：当实测值落入W时拒绝Ho,否则认为接受H

14、o。两类错误第一类错误当H。为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H。这时，我们把客观上Ho成立判为H,为不成立(即否定了真实的假设)， 称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记为犯此类错误的概率， 即：P 拒绝Ho|Ho为真=；第二类错误当Hi为真时，而样本值却落入了接受域，应接受H。这时，我们把客观上H。不成立判为H。成立(即接受了不真实的假设)，称这 种错误为“取伪错误”或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即：P 接受Ho|Hi为真 =o两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率冋时都很小。但是，当容量n定时，变小，贝iJ变大；相反地，变小，贝iJ变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。八、假设检验1 假设检验的基本概念2单正态总体均值和方差的假设检验条件原假设检验统计量统计量分布拒绝域Ho：