大学物理实验误差理论与数据处理

1、 大学物理实验课程安排 v 本学期（8次课32学时） （1 1）误差理论与数据处理）误差理论与数据处理 4 4学时学时 （2 2）实验项目）实验项目7 7个个 2828学时学时 Eg1.Eg1.视觉的误差视觉的误差.avi.avi 本次课程内容：本次课程内容： 一、基本概念一、基本概念 二、随机误差的正态分布率二、随机误差的正态分布率 三、数据处理三、数据处理 * *（重点）（重点） 五、五、物理实验课的基本程物理实验课的基本程 序和要求序和要求 四、实验常用的四、实验常用的数据处理数据处理 方法方法 * *（重点）（重点） 1） 含义：含义： 1 1、测量、测量 一、基本概念一、基本概念 2

2、） 测量结果：测量结果： 例如：例如：测量结果测量结果 L=25.26cm. L物理量名称、物理量名称、 mm测量单位、测量单位、25.26比值（单位的数目）比值（单位的数目） 以确定被测对象量值为目的的一组操作，即用实以确定被测对象量值为目的的一组操作，即用实 验的方法，将验的方法，将物理量物理量与作为与作为单位量单位量的某量值相比的某量值相比 较，得到其比值的过程。测量是物理实验的基础。较，得到其比值的过程。测量是物理实验的基础。 由测量得到的赋予被测对象的量值。由测量得到的赋予被测对象的量值。 测量测量 结果由结果由比值比值和和测量单位测量单位两部分组成。两部分组成。 3）测量的分类）测

3、量的分类: 按照测量量按照测量量获得的方式、途径获得的方式、途径进行分类进行分类 直接测量：直接测量： 间接测量：间接测量： 例如：例如：米尺测长度、秒表测时间、温度米尺测长度、秒表测时间、温度 计测温度等。计测温度等。 例如：例如：体积、密度、体积、密度、粘度等。粘度等。 可以用测量仪器或仪表直接读出测量值的测量。可以用测量仪器或仪表直接读出测量值的测量。 通过测量与被测量有关系的其他物理量，这些通过测量与被测量有关系的其他物理量，这些 量可直接测得，依据它们之间的函数关系，求量可直接测得，依据它们之间的函数关系，求 得被测量。得被测量。 z z) )y y, ,f f( (x x, ,N

4、N x xy yz z 、 为直接测量量为直接测量量 、 N N为间接测量量为间接测量量 依据依据测量的条件测量的条件进行分类进行分类 等精度测量等精度测量: 非等精度测量非等精度测量 : 就是在一定的条件下，由同一测量者，操作同就是在一定的条件下，由同一测量者，操作同 一测量工具，采用同一方法，测量同一对象，一测量工具，采用同一方法，测量同一对象， 这样的测量称为等精度测量即测量的这样的测量称为等精度测量即测量的一切条一切条 件都是不变的件都是不变的，变化的因素很小时变化的因素很小时也可认为是也可认为是 等精度测量等精度测量 依据依据测量可重复性测量可重复性进行分类进行分类 多次测量：多次测

5、量： 单次测量：单次测量： ）测量的目的）测量的目的: 真值：真值： 2、误差、误差 将测量值记为，真值记为，误差记为，将测量值记为，真值记为，误差记为， 即误差即误差 。 Xa aX 误差是客观存在的，有测量就有误差，它将存误差是客观存在的，有测量就有误差，它将存 在于测量过程的始终。在于测量过程的始终。 在一定客观条件下，物理量的真实大小，在一定客观条件下，物理量的真实大小， 它是客观存在的，是一个比较绝对的概它是客观存在的，是一个比较绝对的概 念，一般不可知，我们的测量结果只能念，一般不可知，我们的测量结果只能 逼近。逼近。 ）定义）定义: : 测量值和真值之差。测量值和真值之差。 任任

6、 何何 测测 量量 结结 果果 都都 有有 误误 差差！ 根据误差性质和产生原因可将误差分为以根据误差性质和产生原因可将误差分为以 下几类下几类: : 系统误差系统误差 ）误差的分类）误差的分类: : 随机误差随机误差 过失误差过失误差 定义：定义： 系统误差系统误差 来源：来源： a、仪器本身、仪器本身 b、理论推导、理论推导 c、实验方法、实验方法 d、操作者、操作者 e、环境等。、环境等。 定值系统误差定值系统误差 变值系统误差变值系统误差 在一定的条件下（指仪器、方法、环境和观测者一定），在一定的条件下（指仪器、方法、环境和观测者一定）， 多次测量同一量时，多次测量同一量时，测量误差的

7、绝对值和正负符号都保测量误差的绝对值和正负符号都保 持不变持不变，或按，或按一定规律变化一定规律变化，这种误差称为，这种误差称为系统误差系统误差。 发现发现： c、其他的判椐、其他的判椐 系统误差的处理：系统误差的处理： 如：比较法、抵偿法、交换法、替代法等。如：比较法、抵偿法、交换法、替代法等。 a、理论分析、理论分析 b、对比检验、对比检验 a、消除产生系统误差的因素、消除产生系统误差的因素 b、对测量结果进行修正、对测量结果进行修正 c、采用一些实验方法、采用一些实验方法 随机误差随机误差 定义定义: 产生原因：产生原因： 如：如：电磁场等的微扰，测量者的心理等。电磁场等的微扰，测量者的

8、心理等。 在同一条件下，对同一量进行多次测量时，在同一条件下，对同一量进行多次测量时， 如果没有系统误差，测量结果仍会出现一些如果没有系统误差，测量结果仍会出现一些 无规律的起伏，测量误差以不可预知的方式无规律的起伏，测量误差以不可预知的方式 变化，这种误差叫做变化，这种误差叫做随机误差随机误差。 主要是不确定的随机因素，这些因素主要是不确定的随机因素，这些因素 一般难以控制，往往不可抗拒。一般难以控制，往往不可抗拒。 服从的规律：服从的规律： 处理方法：处理方法： 粗大误差粗大误差 由于实验者粗心大意或环境突发干扰而造成的由于实验者粗心大意或环境突发干扰而造成的, 该测量值为坏值，在处理数据

9、时应予以剔除该测量值为坏值，在处理数据时应予以剔除 （采用判据）。（采用判据）。 服从数理统计规律。服从数理统计规律。 多次测量取平均值，也就是用最佳多次测量取平均值，也就是用最佳 估计的办法得近似真值。估计的办法得近似真值。 3 3）研究误差的目的：）研究误差的目的： 提高精度提高精度 减小误差减小误差 4 4）精度：）精度：它反映测量值的准确程度，与误差大它反映测量值的准确程度，与误差大 小相对应，误差大精度低，误差小精小相对应，误差大精度低，误差小精 度高。主要有三个指标：度高。主要有三个指标： 精密度精密度 准确度准确度 精确度精确度 反映随机误差的影响程度。反映随机误差的影响程度。

10、反映系统误差的影响程度。反映系统误差的影响程度。 反映两者综合的影响程度。反映两者综合的影响程度。 举例：打耙实验举例：打耙实验 精密度高精密度高 准确度低准确度低 准确度高准确度高 精密度低精密度低 准确度高准确度高 精密度高精密度高 精确度高精确度高 4 4）误差的表示方法：）误差的表示方法： 是绝对误差与测量真值的比值的是绝对误差与测量真值的比值的 百分数。百分数。 反映测量结果的可靠范围，一般反映测量结果的可靠范围，一般 所说的误差常指绝对误差。所说的误差常指绝对误差。 %* X %* a E100100 绝对误差绝对误差 （ 为真值，为真值， 为测量值）为测量值） X aX a 用用

11、 表示相对误差，则表示相对误差，则 E 相对误差是反映测量误差在测量结果中的比重。相对误差是反映测量误差在测量结果中的比重。 绝对误差：绝对误差： 相对误差：相对误差： 举例：精度大小比较举例：精度大小比较 测量结果有以下两种情况：测量结果有以下两种情况： mm.L00100 1 mm.L0020 2 mm.010 1 mm.010 2 如何得知，两种测量结果精度的高低？如何得知，两种测量结果精度的高低？ 绝对误差相等绝对误差相等 求相对误差：求相对误差： %.%* . . %* L E010100 00100 010 100 1 1 1 %.%* . . %* L E050100 0020

12、010 100 2 2 2 21 EE 可知：可知： 的精度高于的精度高于 。 1 L 2 L 二、二、随机误差的正态分布率随机误差的正态分布率（等精度测量）（等精度测量） 1 1、正态分布的特征、正态分布的特征 对某一物理量进行多次重复测量，不考虑系统对某一物理量进行多次重复测量，不考虑系统 误差，假定的对象为误差，假定的对象为 ，真值为，真值为 ，由于随机误差，由于随机误差 的存在，得到的测量列的存在，得到的测量列 ,各数据存各数据存 在一定的差异。根据误差的定义，发现各次测量的误在一定的差异。根据误差的定义，发现各次测量的误 差差 具有以下特征：具有以下特征： n x,x,x 21 xa

13、 axi i )n,i (21 n n很大时，由于正负误差相互抵消，很大时，由于正负误差相互抵消， 各误差的代数和趋于零。各误差的代数和趋于零。 有界性有界性 单峰性单峰性 对称性对称性 抵偿性抵偿性 通过数学推导，可以得到随机误差的概率密度通过数学推导，可以得到随机误差的概率密度 分布函数分布函数 2 2 2 1 2 fe 误差的绝对值有界误差的绝对值有界 小误差出现的概率大于大误差出现小误差出现的概率大于大误差出现 的概率的概率 n n很大时，绝对值相等、符号相反的很大时，绝对值相等、符号相反的 误差，概率相等误差，概率相等 n n n 22 2 2 1 2 2 2 2 1 )ax( e)

14、x(f 或者或者 称为标准差称为标准差 称为理论均值称为理论均值 n x a i 1 式中：式中： 作图分析作图分析 作出概率密度分布函数曲线作出概率密度分布函数曲线 )x(f )x(f xa y 1 x 2 x 2 1 1 2 x y 12 a 图（a）图（b） 图图(a)(a)曲线可知：在曲线可知：在 或或 处的领域内具处的领域内具 有最大的概率，同时也说明了有最大的概率，同时也说明了 作为测量列的测作为测量列的测 量结果是最可信赖的。量结果是最可信赖的。 ax x x 图图(b)(b)曲线可知：标准差曲线可知：标准差 愈小，分布曲线愈陡峭，即愈小，分布曲线愈陡峭，即 测量列的分散性越小，

15、也就是测量列的精度愈高；反测量列的分散性越小，也就是测量列的精度愈高；反 之之 愈大，分散性愈大，测量列的精度愈低。愈大，分散性愈大，测量列的精度愈低。 2 2、随机误差的两个数字特征、随机误差的两个数字特征 在不考虑系统误差的情况下，对某一物理量在不考虑系统误差的情况下，对某一物理量 进行进行 次等精度重复测量，假定真值为次等精度重复测量，假定真值为 ，所得到的，所得到的 测量值（测量列测量值（测量列 ） , 则算术均值为则算术均值为 n x,x,x 21 x a )n,i (21 n nxx n i 1 算术均值算术均值 误差：误差： ax 11 ax 22 axn n naxi i n

16、a n x x ii 当当 时时 n i 0 ax )n( 算术平均值是真值的最佳估计值算术平均值是真值的最佳估计值 标准差标准差 最小二乘原理最小二乘原理 最大或然原理最大或然原理 （概率统计中）（概率统计中） 同样由：同样由： 算术平均值是算术平均值是 真值的最佳估计值真值的最佳估计值 它是描述测量数据分散性指标的特征量它是描述测量数据分散性指标的特征量 n n n 22 2 2 1 axi i )n,i (21 式中：式中： a为真值为真值 由于真值我们往往是得不到的，此时我们以由于真值我们往往是得不到的，此时我们以 作为真值作为真值 的最佳估计值，引入残差的概念的最佳估计值，引入残差的

17、概念 x a 残差残差 xxv ii )n,i (21 由真差由真差 与残差与残差 、 之间的关系可以推得之间的关系可以推得 i v i 1 22 2 2 1 n vvv n （ 非常大但有限）非常大但有限）n 称为测量列的标准偏差，它是称为测量列的标准偏差，它是 的最佳估计值。的最佳估计值。 n n n 22 2 2 1 贝塞尔公式贝塞尔公式 算术均值算术均值 （方差）（方差） （期望）（期望） 标准差标准差 真值的最佳估计值真值的最佳估计值 描述测量数据分散性指标描述测量数据分散性指标 x 结论：随机误差的两个数字特征结论：随机误差的两个数字特征 3 3、算术平均值的标准偏差、算术平均值的

18、标准偏差 对物理量对物理量 多次测量可以获得多个测量列，假设有多次测量可以获得多个测量列，假设有 个测量列，可以得到个测量列，可以得到 个平均值个平均值 ，它们，它们 可以构成一个测量列，且符合正态分布规律，所以我们可以构成一个测量列，且符合正态分布规律，所以我们 就可以找到一个反映算术平均值精度的指标就可以找到一个反映算术平均值精度的指标 。 xm m n xxx, 21 )( x n x )( n x )( 到此，我们可以求得到此，我们可以求得 算术平均值算术平均值 n in x n xxx n x 1 21 1 )( 1 算术平均值的算术平均值的 标准偏差标准偏差 被测物理量的结果被测物

19、理量的结果: : )( xxx %100* ) ( x x E 单位单位 一定要记住一定要记住! 举例：举例： 测量某一物体长度测量某一物体长度, ,获得以下数据获得以下数据: : 次数次数12345 (mm) 20.005 19.996 20.003 19.994 20.002 i i L 千分尺测千分尺测* * *物体长度物体长度 数据记录数据记录: : L 精度精度0.01mm0.01mm 试计算试计算, ,给出测量结果表达式。给出测量结果表达式。 怎么做怎么做？ 思考：思考： * * *物体长度计算：物体长度计算： 数据处理数据处理 000.20 5 1 5 1 i LL mmmm 0

20、05. 0 ) 15( 2 5 2 2 2 1 vvv mmmm 残差残差 LLv ii 002. 0 ,006. 0,003. 0 ,004. 0,005. 0 数值分别为数值分别为 测量列标准差测量列标准差 算术平均值标准差算术平均值标准差 001. 0 5 ) ( Lmmmm 4 4、粗大误差的剔除、粗大误差的剔除 * * *物体长度为：物体长度为： )001. 0000.20() ( LLL %005. 0%100* ) ( L L E mmmm 准则准则( (莱以达准则莱以达准则) ) 3 两个判据两个判据: : 肖维涅肖维涅 n Cx 三、三、数据处理数据处理 1 1、直接测量、直

21、接测量 （1 1）多次测量）多次测量按以下步骤进行：按以下步骤进行： 依据肖维涅准则审查数据，是否有粗大误差依据肖维涅准则审查数据，是否有粗大误差 若有，舍掉偏差最大的若有，舍掉偏差最大的1 1个数，重复、个数，重复、 ； 观察仪器是否有零点读数，若有要记录；观察仪器是否有零点读数，若有要记录； 多次测量，列表记录数据；多次测量，列表记录数据； 计算计算 ； , x 计算计算 ； )( x 计算相对误差；计算相对误差； 表达实验测量结果。表达实验测量结果。 )( xxx %100* ) ( x x E 单位单位 举例：举例： （2 2）单次测量）单次测量 1 xx) 2 ( 分度值 2 2、间

22、接测量、间接测量 设设 为间接测量量，为间接测量量， 为直接测量量且相为直接测量量且相 互独立互独立 Nzyx, ),(zyxfN 2 2 2 2 2 2 )() ln )() ln )() ln ( )( z z N y y N x x N N N 或或 ),(zyxfN 2 2 2 2 2 2 )()()()()(z z N y y N x x N N 计计 算算 3 3、有效数字及其运算、有效数字及其运算 举例说明：举例说明： 举例：用最小刻度为举例：用最小刻度为mmmm的直尺测长度的直尺测长度 结果为结果为 35.26L cmcm 处于处于3 3，4 4之间的中间之间的中间 位置是估读

23、出来的，位置是估读出来的， 称为称为可疑数字可疑数字，虽为，虽为 估读但是有意义估读但是有意义 可以准确读出可以准确读出 称为称为可靠数字可靠数字 测量结果是由测量结果是由可靠数字可靠数字加加可疑数字可疑数字合合起来的起来的 （1 1）如何判断有效数字）如何判断有效数字 测量结果的第一位非零数字之前的测量结果的第一位非零数字之前的“0”不属不属 有效数字；有效数字； 非零数字后的非零数字后的“0”均为有效数字。均为有效数字。 如：如：0.0125 0.0125 是三位有效数字。是三位有效数字。 如：如：19.000 19.000 是五位有效数字。是五位有效数字。 （2 2）有效数字的运算规则）

24、有效数字的运算规则 只要与可疑数字相运算，结果都为可疑数字，只要与可疑数字相运算，结果都为可疑数字， 有可靠数字与可靠数字运算，结果才为可靠数字。有可靠数字与可靠数字运算，结果才为可靠数字。 多个测量值作加减法运算时，小数位数较多的值，多个测量值作加减法运算时，小数位数较多的值， 只需比小数位数最少的多保留一位，而计算结果与只需比小数位数最少的多保留一位，而计算结果与 小数位最少的那个测量值相同。小数位最少的那个测量值相同。 如：如：1425.4 + 343.1 + 11.243 + 9.74271425.4 + 343.1 + 11.243 + 9.7427 = 1425.4 + 343.1

25、 + 11.24 + 9.74 = 1425.4 + 343.1 + 11.24 + 9.74 = 1789.48 = 1789.48 = 1789.5 = 1789.5 加减法运算：加减法运算： 有效位数较多的近似数比有效位数少的多保留一有效位数较多的近似数比有效位数少的多保留一 位，计算结果最后应保留与有效位数小的那个数相位，计算结果最后应保留与有效位数小的那个数相 同的位数。同的位数。 如：如：3.142 3.142 2.4 2.4 = 3.14 = 3.14 2.4 2.4 = 7.536 = 7.536 = 7.5 = 7.5 待求量的有效数字位数由误差来确定。待求量的有效数字位数由

26、误差来确定。 乘除法运算：乘除法运算： 函数运算：函数运算： 如：函数如：函数 由微分由微分 ，将，将 的最后一位取的最后一位取 为为“1 1”，计算得出，计算得出 在那一位上，就把函数结果在那一位上，就把函数结果 保留在那一位上。保留在那一位上。 )(xfy xxfy )(x y y 举例：举例： x x y 92. 38 .50ln y8 xyln.50 x8 . 0 x 取取1 00. 0 .50 . 0 y2 8 1 （4 4）有效数字的修约规则）有效数字的修约规则 举例：将以下数值保留为三位有效数字。举例：将以下数值保留为三位有效数字。 3.5425 3.5425 3.5466 3.

27、5466 3.5350 3.5350 3.5450 3.5450 3.5452 3.5452 3.54 3.54 3.55 3.55 3.54 3.54 3.54 3.54 3.55 3.55 四、实验常用的四、实验常用的数据处理方法数据处理方法 1. 列表法列表法 表的名称写在表格上方居中；表的名称写在表格上方居中； 在表中各行或列的标题栏内，标明物理量的名在表中各行或列的标题栏内，标明物理量的名 称、符号和单位。公因子和幂提至标题栏内；称、符号和单位。公因子和幂提至标题栏内； 按递增或递减的规律将数据及处理过程列在表按递增或递减的规律将数据及处理过程列在表 中，各量之间的函数关系应能反映出

28、来；中，各量之间的函数关系应能反映出来； 表中数据应按有效数字法则记录。表中数据应按有效数字法则记录。 作表格要求：作表格要求： 项目次数项目次数 外径外径 d1 （mm） 内径内径 d2 （mm） 高高 h （mm） d1 （mm） d2 （mm） h （mm） 121.70 0.0316.70 0.0843.55 0.19 221.45 0.2816.50 0.1243.70 0.04 321.60 0.1316.45 0.1743.55 0.19 421.90 0.1716.80 0.1843.90 0.16 522.00 0.2716.65 0.0344.00 0.26 平均值平均值2

29、1.73(0.176) (0.18) 0.2 16.62(0.116) (0.12) 0.1 43.74(0.168) (0.17) 0.2 修正后平修正后平 均值均值 21.5316.4243.54 结果结果 1 (21.50.2)dmm 2 (16.40.1)dmm (43.50.2)hmm 测量一段金属管外径，内径，高数据表测量一段金属管外径，内径，高数据表 卡尺精度卡尺精度0.1mm 0.1mm 零点读数零点读数 0.20mm0.20mm 举例：举例： 2. 作图法作图法 作图规则如下作图规则如下： 选纸选纸直角坐标纸，纸的大小以误差位能在图上估读直角坐标纸，纸的大小以误差位能在图上估

30、读 出为出为依据，不要太小；依据，不要太小； 定轴定轴因变量为纵轴、自变量为横轴。轴的矢端标出因变量为纵轴、自变量为横轴。轴的矢端标出 物理物理量的符号和单位；量的符号和单位； 分度分度用容易读数的用容易读数的1 1、2 2、5 5给坐标轴分度，且以有给坐标轴分度，且以有 效位效位数均匀标写分度值；原点可以不从数均匀标写分度值；原点可以不从0 0开始，开始， 使所作曲线能居中充满图纸；使所作曲线能居中充满图纸； 描点描点用细铅笔，以、用细铅笔，以、 、 等一种小符号标出等一种小符号标出 测量点。测量点。 连线连线用细铅笔连线。作直线时应通过大部分测用细铅笔连线。作直线时应通过大部分测 量点，未通过的点均匀分布在直线两侧；作校量点，未通过的点均匀分布在直线两侧；作校 正曲线时，为每两相邻点连成直线，即作折线正曲线时，为每两相邻点连成直线，即作折线; ; 作曲线时，要用曲线板连成光滑曲线。作曲线时，要用曲线板连成光滑曲线。 标注图名标注图名图名标在图的上方或下方。图