量子力学复习题--大题

1、1. 2在OK附近，钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv,如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动 eC2），那么如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV，远远小于电子的质量与光速平 方的乘积，即0.51 106eV，因此利用非相对论性的电子的能量一一动量关系式， 这样，便有_h_Kehc9 / 131.24 10m2 0.51 106 390.71 10 m0.71 nm在这里，利用了以及6hc 1.24 10 eV meC20.51 106eV最后，对2 3.7 10931.5 10he2

2、ee2E作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短， 因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这 个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世 界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二 象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。1. 3氦原子的动能是E 3kT （k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德 2布罗意波长。解根据31k K 10 3 eV，知本题的氦原子的动能为333E -kT -k K 1.5 10 eV, 22显然远远小于 核e2这样，便有he.2 核e2E0

3、.37 10 9m0.37 nm这里，利用了核 e24 931101.24 10eV 3.7 109eV最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为 kT,这样，其相应的德布罗意波 长就为hehe.2 c2E 2 ke2T据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波 动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时， 粒子间的相干性 就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布， 而必须 用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。p.52 2.1.证明在定态中，几率流密度与时间无

4、关证：对于定态，可令(r，t)(r)f(t)丄Et(r)eJi*2 ()itEt * * Et Et2 (r)e(r)e )(r)e( (r )e )1 *2 (r)(r)*(r)(r)可见J与t无关。2.2由下列两定态波函数计算几率流密度:1 ikri er(2) 21 ikrer从所得结果说明i表示向外传播的球面波,2表示向内（即向原点）传播的球面波解：JJ2只有r分量在球坐标中ro -r1rsin(1) J1( 11 r1e2 r1）ikreikr) !erikr/ 1 ikr 、-(e )r r rk-o r111-ik_)-( rrrkrr1ik)r。与r同向。表示向外传播的球面波(

5、2) J2(2可见，J2与r反向2-de2 r2-(2 r表示向内ikr/ 1 ikr -(e )r rik-)1 ikr. 1 ikre(e)ror r r-(r2ik1)ror r（即向原点）传播的球面波。补充：设（x） eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化?dx dx2波函数不能按I （X） dx 1方式归一化。其相对位置几率分布函数为21表示粒子在空间各处出现的几率相同#3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 a，如果粒子的状态由波函 数(x) Ax (a x)描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。解：由波函数（x）的形式可知一维无限深

6、势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为()J2sin x, 0 x a(x) a a0,x 0, x a2 a2(n 1,2,3,)能量的几率分布函数为2(E) CnCn(x) (x)dxx (x)dx先把（x）归一化，由归一化条件,2(x) dxA2x2(ax)dxA22(a20 22ax x )dxaA2 0 (a2x2 2ax3 x4)dx55552 a a a 2 aA() A2 325303030 .5 sin aCnax(a x)dxx sin0xdxaa 2 . n x sin xdx0a2 152a24 J|1n3(E)nxcosa.nxsin xaCn1)n240 1

7、960-66 ， nn0, n3a2- n2a3.nsin xa3 3 cos-x na(1)n21, 3, 5,2, 4, 6,2 nx cos x a(x)H? (x)dx(x)2?-2(x)dx聲X(X0a5a)2 dbx(xa)dx30 2a0x(xa)dx30 2(a3 a5 ( 22 a523.10 粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为U(r),r a;0, r a求粒子的能级和定态波函数解：据题意，在r a的区域，U(r)，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数0(r a)由于在ra的区域内，U(r)0。只求角动量为零的情况，即0，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。

8、即粒子的几率分布与角度、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与、无关。设为(r)，则粒子的能量的本征方程为2 r dr2u令 U(r) rE , k2 雪，得dr其通解为u(r) A cos kr B sin krAB(r)_ cos kr sin krrr波函数的有限性条件知，(0)有限，则(r)Bsinkr r由波函数的连续性条件，有(a) 0Bsinka(n 1,2,)EnB n(r)sin rr a其中B为归一化，由归一化条件得(r /r2 sin draB2 sin 20n ,rdr 2 aBa归一化的波函数(r)r.nsin ra4.3 求在动量表象中线性谐振子的能

9、量本征函数。解：定态薛定谔方程为2 2 討 t)2$c(p，t)EC(p,t)12x2222即 22 2 dp2Ctp,t)(E 2)c(p,t)02两边乘以，得c(p,t)(竺丄)qp,t) 01 dp令Pp,2EC(p,t)(2)C(p,t)0跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为En (n 4)1 2p2丄EntC(p,t) Nne2 Hn( p)e式中Nn为归一化因子，即NnTV24.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。2x22x29 / 13Hpp*p(x)R p(x)dx15 / 13ipxedxipx)e2 r(ip)21( P p)

10、x edx2 122 -(p p)xx e dxJ (p p) 1()22丄(P2 epP)xdx22iP /、12 、21-(p P)x(p p)() 2e dx22ip 222f-(pp)222 (p p)p2f-(p2(p p) p5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级:E01及Eo2，现在受到微扰R的作用,微扰矩阵元为出2 H21 a，HnH22b ； a、b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得E(1)1 nH（H mnE(o)E nE(0)EmE01)H11E02)H22 bE012)H m1E01E0m2aE01 E02E1 E01E2E2F（2）Hm,22 a

11、02mE02E0mE02 E01能量的二级修正值为2bE01 E022b E02 E015.7计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。解:J 2 p 1s N 2 p A2 p 1s21N2pN2p 1097.1.证明:证:由对易关系？x ?yN2p 362810es34esp 3736c82252 14es368 3 c2510es342a。N2N2p93.1 10 W则J 213.1W2110.2eV2i ?z反对易关系?x?X ?yi ?z上式两边乘?z，得? ? ?x y zi ?；?2 ix y z7.5设氢的状态是1-R2i(r)Yn(,)2 3R2i(r)Yio(,)2求轨道角动量z分量?z和自旋角动量z分量Sz的平均值;? e ? e ?求总磁矩M 旦L2的z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）解：可改