圆锥曲线经典中点弦问题教学文案

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除中点弦问题专题练习一 .选择题（共8小题）2.21 .已知椭圆K+丫一二，以及椭圆内一点36A ._ 1B . 122P （4, 2）,则以P为中点的弦所在直线的斜率为（2.已知A (1, 2)为椭圆A. x+2y+4=03 . AB是椭圆2 2a bB. x+2y - 4=0（a b 0）的任意一条与4 162 2=1内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（C. 2x+y+4=0D. 2x+y - 4=0x轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，e为椭圆的离心率， M为只供学习与交流AB的中点，贝U Kab?KOM的值为（）A . e 1B . 1

2、eC. e2 1D . 1 e22 24椭圆4x2+9y2=144内有一点P （3, 2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A. 3x+2y 12=0B. 2x+3y 12=0C. 4x+9y 144=0D . 9x+4y 144=02 ?5.若椭圆盏吟 的弦中点（4, 2），则此弦所在直线的斜率是（）6.已知椭圆2 2三+丫7二1的一条弦所在直线方程是a2 b2x y+3=0，弦的中点坐标是（-2, 1）,则椭圆的离心率是（2b . V2c . Vs2A .2 2x +2y =4所截得的弦的中点坐标是（7.直线y=x+1被椭圆 A .B .8.2卩-116以椭圆内一点m

3、（1, 1）为中点的弦所在的直线方程为（A . 4x 3y 3=0B. x 4y+3=0C. 4x+y 5=0D. x+4y 5=0二.填空题（共9小题）2 ?9.过椭圆仔+斗二1内一点M （2, 0）引椭圆的动弦 AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是 _10 .已知点（1, 1）是椭圆 -某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_一11. 椭圆4x2+9y2=144内有一点P （3, 2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_一直线方程为.2 212. 椭圆4x +9y =144内有一点P (3, 2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为 2 213. 过椭圆 +-=

4、1内一定点(1，0)作弦，则弦中点的轨迹方程为 .9414.设AB是椭圆 |_.的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点,O为坐标原点，贝U kAB?kOM =2 215.以椭圆内的点M (1 , 1)为中点的弦所在直线方程为2 216. 在椭圆 +L=1内以点P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程为 .16 417. 直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是 .三.解答题(共13小题)18求以坐标轴为对称轴，一焦点为(，5血)且截直线y=3x - 2所得弦的中点的横坐标为 丄的椭圆方程.22 219. 已知M (4, 2)是直线I被椭圆x +4y =36所截的弦AB的中

5、点，其直线I的方程.20. 已知一直线与椭圆 4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为 M (1, 1),求直线AB的方程.2 221. 已知椭圆 亠斗三厂二1，求以点P (2,- 1)为中点的弦AB所在的直线方程.lb 422. 已知椭圆与双曲线 2x2 - 2y2=1共焦点，且过(.)(1) 求椭圆的标准方程.(2) 求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.2 2P (2, - 1). (1 )求 m 的值;(2)23. 直线I: x-2y - 4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为 设椭圆的中心为 0,求厶AOB的面积.2 224. AB是椭圆. -

6、1中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，0是椭圆的中心，求证:25.已知椭圆C:kAB?kOM为定值.),直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当I的倾斜角变化时, 弦中点的轨迹方程.26.已知椭圆.(1) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(2) 过A (2, 1)的直线I与椭圆相交，求I被截得的弦的中点轨迹方程;(3) 过点P (丄.二)且被P点平分的弦所在的直线方程.27已知椭圆 卡+兀1(1) 求过点p (丄，丄)且被点P平分的弦所在直线的方程；2 2(2) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3) 过点A( 2，1 )弓|直线与椭圆交于 B、C两点，求截得的弦 BC中点的轨迹

7、方程.B,且|F1B|+|F2B|=10 ,28. 已知某椭圆的焦点是 F1( - 4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为 椭圆上不同的两点 A (xi, yi)、C ( x2, y)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(I )求该椭圆的方程；2 229. (2010?永春县一模)过椭圆一 内一点M ( 1, 1)的弦AB .Lo 4(1) 若点M恰为弦AB的中点，求直线 AB的方程；(2) 求过点M的弦的中点的轨迹方程.2 230. 已知椭圆C方程为-y-h-：，直线：兰-与椭圆C交于A、B两点，点H I 二(1) 求弦AB中点M的轨迹方程

8、；(2) 设直线PA、PB斜率分别为k1、k2,求证：k1+k2为定值.2014 年 1 月 pa叩an71104的高中数学组卷参考答案与试题解析又 X1+X2=8，y1 +y2=4，2 2二-，两式相减得代入得 +-Q，解得 k= -丄.36 P2故选A.点评：熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、点差法堤解题的关键.2.已知A (1, 2)为椭圆2 2+畚1内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为(A. x+2y+4=0B. x+2y - 4=0C. 2x+y+4=0D. 2x+y - 4=01.已选择题(共8小题)以及椭圆内一点P (4, 2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为()2

9、 2己知椭圆丄斗工一二,36 9 1A ._ 1B . 1C. 2D . - 222考点：椭圆的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：利用中点坐标公式、斜率计算公式、点差法”即可得出.解答：解：设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A (X1, y1) , B (x2, y2),斜率为k .考点：直线的一般式方程.专题：计算题.分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案. 解答：解：设直线的方程为 y - 2=k (x- 1),联立直线与椭圆的方程代入可得：(4+k2) x2+2k ( 2 - k) x+k2 - 4k - 12

10、=0因为A为椭圆的弦的中点，2k (k- 2)所以.二解得k= - 2,4+kz所以直线的方程为 2x+y - 4=0.故选D.点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题.此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除3.2 2AB是椭圆+-12,2丄a b(a b 0)的任意一条与x轴不垂直的弦,O是椭圆的中心,e为椭圆的离心率,AB的中点，贝U Kab?KOM的值为()A . e 1e2- 1D . 1 - e2考点： 专题： 分析：解答:椭圆的简单性质.综合题.设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去y,根据韦达定理求得 X1+X2，的表达

11、式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而根据点 M为AB的中点，表示出 M的横坐标和纵坐标，求得直线0M的斜率,进而代入kAB?k0M中求得结果.解：设直线为：y=kx+c联立椭圆和直线2 2 2b x +a (kX+c)i22斗jI国b2 2, 2 2 2 2、a b =0，即(b +k a )消去y得x2+2a2kcx+a2 (c2 b2) =0只供学习与交流所以：X1+X2=-所以，m点的横坐标为:X1+X2)=又：y1=kx1+cy2=kx2+c所以 y1+y2=k (X1+X2) +2c=所以:A b 2a2k)=一 2akAB?k0M=k x=e21(y1+y2)P为中点，那么

12、这弦所在直线的方程为(A. 3x+2y 12=0B. 2x+3y 12=0C. 4x+9y 144=0D . 9x+4y 144=0点评：本题主要考查了椭圆的应用涉及弦长问题，禾U用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题,利用差分法较为简便.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：利用平方差法：设弦的端点为A (X1, y1), B (X2, y2),代入椭圆方程，两式作差，禾【J用中点坐标公式及此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程.解答：解：设弦的端点为 A ( X1，y1)，

13、B( x2, y2),则 xi+x2=6， yi+y2=4，两式相减得,把A、B坐标代入椭圆方程得，张 2二144 , 4衍gy/*4 ,y2 ) =0，即 4 (xi+x2) (xl - x2) +9 ( yl+y2) (yl - y2) =0 ,J.: :即 kAB=-,&JL (yl + y2)4】3611g，两式相减得=0.代入上式可得备兽押解得kAB= 一:点评:故选D.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题.所以这弦所在直线方程为：y - 2=-二(x - 3),即2x+3y - 12=0.故选B .点评：本题考查直线与圆锥曲线

14、的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握.2 25.若椭圆討牛】的弦中点(4, 26.已知椭圆 七二1的一条弦所在直线方程是 x-y+3=0，弦的中点坐标是(-2, 1),则椭圆的离心率是()，则此弦所在直线的斜率是(考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设此弦所在直线与椭圆相交于点A ( xi, y1), B ( x2 , y2).利用中点坐标公式和点差法”即可得出.解答：解：设此弦所在直线与椭圆相父于点A (xi, yl) , B (X2, y2).2 2B. V2考点：椭圆的简单性质.专题：计算题.分析：设出以M为中点

15、的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a, b的关系式，从而求得椭圆的离心率.解答：解：显然M (- 2, 1 )在椭圆内，设直线与椭圆的交点A (xi, y1) , B (X2, y2),又弦的中点坐标是（-2, 1）,s严于_4 y i+y 2=2则椭圆的离心率是故选B .点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题.本题解 题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法, 研究弦中点问题时经常采用此方法2 27.直线y=x+1被椭圆x +2y =4所截得的弦的中点

16、坐标是（A .（丄，B .（平，丄）C.333 3)考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论. 解答：解：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，得x2+2 （x+1 ） 2=4/ 3x2+4x - 2=0弦的中点横坐标是代入直线方程中，得弦的中点是（-故选B .点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题.x=二:,y=4，三）2 ?8以椭圆 秸+令二1内一点M （1,1）为中点的弦所在的直线方程为（）A . 4x - 3y - 3=0B . x

17、 - 4y+3=0C. 4x+y - 5=0D . x+4y - 5=0考点：直线与圆锥曲线的关系. 专题：计算题.分析：二 2设直线方程为 y-仁k （ x- 1）,代入椭圆务+召-二1化简，根据16 4 _-8 (k - k2)X1 +x2=?4kSl=2，求出斜此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 率k的值，即得所求的直线方程.解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y -仁k ( x - 1),2 2代入椭圆7-化简可得16 4(4k2+i) x2+8 ( k - k2 ) x+4k2 8k - 12.由题意可得xi+x2=-_-=2, /. k=-丄，4k2+l4故

18、直线方程为y-仁-丄(x- 1),即卩x+4y - 5=0,4故选D.点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率, 是解题的关键.填空题(共9小题)2 29.过椭圆-,内一点M (2, 0)引椭圆的动弦AB ,则弦AB的中点N的轨迹方程是 _丨.94考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.专题：综合题.分析：设出N , A , B的坐标，将A , B的坐标代入椭圆方程，结合 N为AB的中点，求出 AB的斜率，再利用动 弦AB过点M (2, 0),弦AB的中点N,求出AB的斜率，从而可得方程，化简即可.解答： 解：设 N (x, y) ,

19、 A (xi, yi) , B (x2 , y2),贝.2 2 2 2x y i衍 y 2，一 一(斗-in) x (y. y-，可得：.-h V2_ 4k动弦AB过点M(2, 0),弦AB的中点只供学习与交流当M、N不重合时，有k9y-|y2=-s 2)2一一 (m 老)(x-n ?当M、N重合时，即M是A、B中点，M(2, 0)适合方程(畐- 1)-匕二则N的轨迹方程为故答案为:此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法.2 210.已知点(1，1)是椭圆x+2y 3=0某条弦的中点，则此弦所在的直线方程

20、为:42 考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设以A (1,1)为中点椭圆的弦与椭圆交于E (xi, yi) , F (X2, y2), A (1, 1)为EF中点，xi+x2=2, yi+y2=2,利用点差法能够求出以 A (1, 1)为中点椭圆的弦所在的直线方程.解答：解：设以A ( 1, 1 )为中点椭圆的弦与椭圆交于E ( X1, y1 ), F (x2, y2), A (1, 1 )为 EF 中点，x1+x2=2 , y1+y2=2,2 2把E (X1 , y1), F (x2 , y2)分别代入椭圆 丄+竺二1 ,422 2可得.4丄两式相减,可得(

21、X1+x2) (x1 - x2) +2 (y1+y2) (y1 - y2) =0 ,.2 (x1 - x2) +4 (y1 - y2) =0 ,以A (1, 1)为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y- 1=-吉(x- 1),整理，得 x+2y - 3=0. 故答案为：x+2y - 3=0.所以点评：本题考查以A (1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题.此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除所以弦所在直线方程为：y - 2=-卫(x - 3),即2x+3y - 12=0.故答案为：-二；2x+3y - 12=0 .3点评：本题

22、考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握.2 212. 椭圆4x +9y =144内有一点P( 3,2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为2x+3y二12=0 .考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设以P( 3,2)为中点椭圆的弦与椭圆交于E( X1,y1),F( x2,y2),P( 3,2)为EF中点，x1+x2=6,y1+y2=4,利用点差法能够求出这弦所在直线的方程.解答：解：设以P (3, 2)为中点椭圆的弦与椭圆交于 E (X1, y1), F (X2, y2), P (3, 2)为

23、EF 中点，x1 +x2=6, y1+y2=4,把 E (X1 , y1), F (X2, y2)分别代入椭圆 4x2+9y2=144 ,.4 (x1+x2) ( x1 - x2) +9 (y1+y2) (y1 - y2) =0,.24 (x1 - x2) +36 (y1 - y2) =0 ,Z1 以P (3 , 2 )为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y- 2=-舟(x-3),整理,得 2x+3y - 12=0 . 故答案为：2x+3y - 12=0 .点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理 运用.2 213. 过椭圆I =1内一定点

24、(1, 0)作弦，则弦中点的轨迹方程为4x2+9y2 - 4x=0 .94考点：椭圆的应用；轨迹方程.专题：计算题.分析：设弦两端点坐标为(X1,y1),(x2.y2),诸弦中点坐标为(x,y).弦所在直线斜率为k,把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程.解答：解：设弦两端点坐标为(X1,y1)(x2.y2),诸弦中点坐标为(x,y).弦所在直线斜率为k两式相减得;(X1+X2) (x1 -X2) L (y1+y2) (y1-y2) =0此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除又 k=，代入上式得K-12x/9+2yA2/4 ( x - 1) =0

25、整理得诸弦中点的轨迹方程：4x2+9y2-4x=0故答案为4x2+9y 2 - 4x=0点评：本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握.14.设AB是椭圆 丄+/二1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，0为坐标原点，则kAB?kOM=_ -考点： 专题： 分析：椭圆的应用. 计算题.设M( a,b),A(X1,y1) ,B(x2 ,y2),易知kOM，再由点差法可知kAB =由此可求出 kAB?kOM =zb解答:-丄.2解：设 M (a, b), A(X1,y1),B(x2,y2),/M 为 AB 的中点， x1+x2=2a,y1+y2=2b.2门把A、

26、B代入椭圆_ |得(x1 +x2) ( x1 - x2)亍斗2卩/二2x22+2y22=2 +2 (y1+y2) (y1 - y2) =0,/ 2a (x1 - x2) +4b (y1 - y1)kAE_点评:or a, kAB?kOM=-21.本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用.答案:15.以椭圆2 2I -内的点 M (1, 1)为中点的弦所在直线方程为 _x+4y - 5=016 Q考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设点M (1 , 1)为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 线的斜率，再利用点斜式即可得出.A (X1,

27、y1) , B (x2, y2).利用 点差法”即可得出直解答：解：设点M (1 , 1)为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A (x1, y1), B (x2, y2).相减得16=0,只供学习与交流16解得kA.故所求的直线方程为，化为x+4y - 5=0.故答案为x+4y - 5=0.点评：本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和点差法”等基础知识与基本方法，属于中档题.2 216.在椭圆 1 + =1内以点P (- 2, 1)为中点的弦所在的直线方程为x- 2y+4=016 4考点：直线与圆锥曲线的综合问题. 专题：计算题.B (x2, y2),由点 P (- 2,分析：设以点P (- 2,

28、 1)为中点的弦所在的直线与椭圆引+忙4221)是线段AB的中点，知，把A (x1, y1), B (x2, y2)代入椭圆x +4y =16，由点差法得也十乜二2到k= =二，由此能求出以点 P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程._ 買22解答:解：设以点P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线与椭圆点P (- 2, 1)是线段AB的中点,.冋把 A (X1, y1) , B (x2, y2)代入椭圆 x2+4y2=16, K12+4712=l&x十4匕二16- 得(x1+x2) (x1- x2) +4 (y1+y2) (y1-y2) =0,/ - 4 (x1 - x2) +8

29、(y1 - y2) =0,.亍乎2以点P (- 2 , 1)为中点的弦所在的直线方程为 匸 卄；,整理,得 x - 2y+4=0 . 故答案为：x - 2y+4=0 .点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系. 考查运算求解能力，推理论证能力.解题时要认真审题，注意点差法的合理运用.17.直线y=x+2被椭圆x 219已知M （4, 2）是直线I被椭圆x +4y =36所截的弦AB的中点，其直线I的方程.+2y2=4截得的线段的中点坐标是（-主* ）.十 d 3考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系.专题：计算题.分析：直线方程与椭圆方程联立，可得交点横坐标，

30、从而可得线段的中点坐标.解答：解：将直线y=x+2代入椭圆x2+2y2=4，消元可得3x2+8x+4=0/ x= - 2 或 x=-3-2 -中点横坐标是 =-二，代入直线方程可得中点纵坐标为-丄+2丄,2333直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是（上）3 3故答案为：:33点评：本题考查中点坐标的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点横坐标.三.解答题（共13小题）18求以坐标轴为对称轴，一焦点为（匕5血）且截直线y=3x - 2所得弦的中点的横坐标为 g的椭圆方程.考点：椭圆的标准方程.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题.分析

31、：2 2由题意，设椭圆方程为 F +號二1，与直线y 3x - 2消去y得关于x的一元二次方程禾U用根与系数的关 a ? b-i n i 2系纟口合中点坐标公式，得X1+X2-=1,再由椭圆的,得a b =50 ,两式联解得a =75, b =25 ,从而得到所求椭圆的方程.解答：解：椭圆一个焦点为（，$伍）,2 2 椭圆是焦点在y轴的椭圆，设方程为g+ =1 （ab 0）ab将椭圆方程与直线 y=3x - 2 消去 丫，得（a2+9b2） x2- 12b2x+4b2- a2b2=0 设直线y=3x - 2与椭圆交点为 A （X1, y1）, B （x2, y2） 12b2-X1+X2- 厲厂

32、1aZ+-9b又 a2 - b2= J2） 2=502 2联解，得a =75 , b =252 2因此，所求椭圆的方程为：匚亠二L75 25 1点评：本题给出焦点在 y轴上的一个椭圆，在已知椭圆被直线截得弦的中点横坐标的情况下，求椭圆的方程，着 重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题.考点：直线与圆相交的性质.专题：计算题.分析：2设直线l的方程为y-2=k (x - 4)，代入椭圆的方程化简，由X1+x2-k 一止k_8解得k值，即得直线|1+新的方程.解答：解：由题意得，斜率存在，设为k,则直线l的方程为y- 2=k (x - 4),即kx - y+2

33、- 4k=0,代入椭圆的方程化简得：(1+4k2) x2+ (16k - 32k2) x+64k 2 - 64k - 20=0,32k2-L6k冃1X1+X2-=8，解得：k= ,l+4k23则直线l的方程为x+2y - 8=0 .点评：本题考查了直线与圆相交的性质，一兀二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到(1+4k2) x2+ (16k22-32k2) x+64k2- 64k - 20=0，是解题的关键.2 220.已知一直线与椭圆 4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为 M (1, 1),求直线AB的方程.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.专题：综合题.分析：设出直

34、线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为 M (1 , 1),求出斜率，即可求得直线AB的方程.解答：解：设通过点 M (1,1)的直线方程为y=k (x - 1) +1，代入椭圆方程，整理得(9k2+4) x2+18k (1 - k) x+9 (1 - k) 2 - 36=0设A、B的横坐标分别为X1、x2，则I，22 (9以+4)解之得k二-里9故AB方程为 0，合题意.所以弦AB所在直线的方程为-2.即x-2y-4=O.点评:本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系在解决弦长的中点问题，联立直线方程和椭圆方程, 利用韦达定理，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互

35、转化，达到解决问题的目的.22. 已知椭圆与双曲线 2x2- 2y2=l共焦点，且过(.：)(1) 求椭圆的标准方程.(2) 求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.考点：椭圆的标准方程；轨迹方程. 专题：计算题.分析：(1)求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点(.：，0)代入椭圆方程，求出待定系数即得所求的椭圆方程.(2)设斜率为2的弦所在直线的方程为 y=2x+b，弦的中点坐标为(x, y),把y=2x+b代入椭圆的方程,利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为y=-二x，求出直线y=2x+b和椭圆相切时的b值，即4得轨迹方程中自变量 x的范围.解答:解：(1 )依题意得，将双曲线

36、方程标准化为/椭圆与双曲线共焦点，设椭圆方程为0),为古1,艮卩宀,椭圆方程为=1.8b2b丨9 ”萨| +2- gy=2x+b，弦的中点坐标为(x,y),则X1+x2=(2)依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为2门2 2y=2x+b 且=1 得，9x2+8xb+2b2-2=0,即x=-地，尸上两式消掉b得y=-丄x.g 丫 g4令厶=0, 64b2- 36 (2b2- 2) =0,即b=出，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x出即当x= 时斜率为2的直线与椭圆相切.T3所以平行弦得中点轨迹方程为：y= -x (-.5点评:本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求

37、点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中 自变量x的范围，是解题的易错点.23. 直线I: x-2y - 4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P (2, - 1). (1 )求m的值；(2) 设椭圆的中心为 0,求厶AOB的面积.考点：椭圆的应用；中点坐标公式；点到直线的距离公式.专题：计算题；压轴题.分析：(1)先把直线方程与椭圆方程联立消去y,根据韦达定理求得 X1+X2的表达式，进而根据其中点的坐标求得m.(2)把(1)中求得椭圆方程与直线方程联立消去y,进而根据韦达定理求得 xix2的值，进而求得出|AB|的距离和坐标原点到直线的距离，进而根据三角形面积公式求得答案.

38、解答:解:(1 )：消去y,整理得(y 2+rry 冬16+1) x2- 2mx+4m - 16=04X1+X2=4，贝U m=4i: - 2y- 4-0(2)由(1)知，消去y,/ X1X2=OlABF.J冷：. ！ J 亠2坐标原点O到直线x - 2y- 4=0的距离为d= J =丨5三角形ABC的面积为yABI Xd=4点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，点到直线的距离公式等，考查了学生综合分析问题和推 理的能力.2 224. AB是椭圆. -中不平行于对称轴的一条弦， M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证:,I/kAB?kOM为定值.考点：椭圆的应用.专题：证明题.分析：

39、设出直线方程，与椭圆方程联立消去 y，根据韦达定理求得 X1+X2，的表达式，根据直线方程求得 y1+y2的 表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入kAB ?kOM 中求得结果为定值，原式得证.解答：证明：设直线为：y=kx+cjfr联立椭圆和直线 x2 / 消去y得1目 bb2x2+a2 (kx+c) 2- a2b2=0，即(b2+k2a2) x2+2a2kcx+a2 (c2 - b2) =0rty- p I3ak c所以：X1+X2=0bSk a2此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除所以，M点的横坐标为:a 3kcMx ( X1+X

40、2)2又：yi= kxi +cy2=kx2+c所以 yi+y2=k (xi+x2) +2c=(y1+y2)=0 .只供学习与交流b_ 2/b. ? = fkkAB?kOM=k 点评:25.已知椭圆C:本题主要考查了椭圆的应用涉及弦长问题，禾u用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题, 利用差分法较为简便.),直线I经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当I的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程.(y2 - yi) (x - 1) = (X2- xi) (y- 2).再由点差法知(x 1 -疋 2)2y- y2)16|9,由此可得:考点：轨迹方程.专题：综合题.分析：设弦中点为 M ( x,

41、y),父点为A (xi, yi) , B ( x2, y2).当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线.故2 29x +16y - 9x- 32y=0 .解答:解：设弦中点为 M (x, y),交点为A (xi, yi), B (x2, y2).当M与P不重合时，A、B、M、P四点共 线. (y2 - yi) ( x- 1) = (x2 - xi) (y - 2),2 2 2 2由-=i，: + =i两式相减得16169% -辺)【2)(珥-y?( y十比)又 xi+x2=2x,16yi+y2=2y,|g2x a i -切)2y ( yL - yj: r由 可得：9x2+i6y2- 9x -

42、32y=0 ,此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除当点M与点P重合时，点M坐标为(1, 2)适合方程，2 2弦中点的轨迹方程为：9x +16y - 9x - 32y=0 .点评：本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用.26已知椭圆 号(1) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(2) 过A (2, 1)的直线I与椭圆相交，求I被截得的弦的中点轨迹方程;考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题.专题：综合题.分析:(3) 过点P (丄，二)且被P点平分的弦所在的直线方程.(门设弦的两端点分别为M(X1,yi), N(X2,y2),中点为R(x,y)，则JJ二2，乜/

43、二2，两式相减得由此能求出斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.(2)设直线方程为y -仁k ( x- 2),设两交点分别为两式相减得22 J l(X3 , y3), (X4 , y4),贝则 +打二 12门F2=0 ,由此能求出I被截只供学习与交流吉，由此能求出过解答:1 丄0 2解：(1)设弦的两端点分别为 M (X1, y1 ) , N (x2 , y2)的中点为R且被P点平分的弦所在的直线方程.(X, y),2(3)设过点P (土2 2二)的直线与 .交于E (X5 , y5) , F (X6 , y6),由P (丄.丄)是EF的中点,詳 2知 X5+x6=1 , y5+y6=1 ,把 E

44、(X5 , y5) , F ( X6 , y6)代入与 |.2 24-2y2 二2,两式相减并整理可得2 代入式，得所求的轨迹方程为 x+4y=0 (椭圆内部分).(2)可设直线方程为 y-仁k (x - 2) (k用，否则与椭圆相切)， 设两交点分别为(X3, y3), ( x4, y4),2T，两式相减得7+ (七+叩显然X3孜4 （两点不重合），%+%）（疙一獅）二口2 l|x3-令中点坐标为（x, y）,则 x+2y?又（x，y）在直线上，所以(X5, y5)，F(X6, y6).是EF的中点,- p(i4:2 - 2x - 2y=0 （夹在椭圆内的部分）/ X5+X6=1 , y5+

45、y6=1 ,把 E (X5, y5), F (x6, y6)代入与2心1， I ( X5+X6) (x5 - x6) +2 ( y5+y6) ( y5 - y6) =0 , / (X5 - X6) +2 (y5 - y6) =0,k=1:,过点P （吉，2）且被P点平分的弦所在的直线方程：y-j=-g (2 2222即 2x+4y - 3=0 .点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题解题时要认真审题，注意点差法的合理运用.27. 已知椭圆-y+y2=l .（1）求过点P （舟，右）且被点P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3） 过点A （2, 1 ）

46、弓|直线与椭圆交于 B、C两点，求截得的弦 BC中点的轨迹方程.考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题.此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除专题：综合题.分析：(1)设出两个交点坐标，禾U用两点在椭圆上，代入椭圆方程，禾U用点差法，求斜率，再代入直线的点斜式 方程即可.(2) 同(1)类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，禾U用点差法，求斜率，再让斜 率等于2，化简，即可得斜率为 2的平行弦的中点轨迹方程.(3) 设出直线BC方程，用参数k表示.，丄二，再利用中点坐标公式，消去k，即可得弦BC中|2 2点的轨迹方程.解答：解：(1)设过点P(4丄)且被点P平

47、分的弦与椭圆交与 A (XI, yl), B (x2, y2)点，(2izLi则况严匚1 yl+yg=l2 2 2 2 A , B在椭圆上,昭亠(川J2-4 Cy2)J 2 _ 12 +_y1) =012(分卩1)1-得,只供学习与交流即，弦AB的斜率为込方程为y-*七(x-(2)设斜率为2的平行弦的中点坐标为(x, y),则根据中点弦的斜率公式，有-二=2(3)当过点A (2, 1)弓I的直线斜率存在时，设方程为y-仁k (x - 2),代入椭圆方程，消 yZk (2k- 1)二 X1+X2=，得(2+k2) x2+2 (1 - 2k) kx+4k 2 - 4k=0-2k+l,y1+y2=.

48、设弦BC中点坐标为(x,V- 1. s：_2 (y-1)x-2卜Jx-2，整理得 X2- 2x+2y2- 2y=0又/ k=当过点A (2,所求弦BC中点的轨迹方程为1)引的直线斜率不存在时，方程为x=2，与椭圆无交点2 2x - 2x+2y - 2y=0 .此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除点评：本题主要考查了点差法求中点弦的斜率，属于圆锥曲线的常规题.28. 已知某椭圆的焦点是 F1( - 4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|FlB|+|F2B|=10 ,椭圆上不同的两点A(X1, yi)、c( x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B

49、|、|F2C|成等差数列.(I )求该椭圆的方程；(n )求弦AC中点的横坐标.考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(1) 根据椭圆定义结合已知条件，得|FiB|+|F2B|=10=2a可得a=5.由c=4算出b=3，即可得出该椭圆的方 程；(2) 由点B (4, yB)在椭圆上，禾U用椭圆方程算出yB.再根据圆锥曲线统一定义，算出|F2A|、|F2C|5关于它们的横坐标 XI、X2的式子，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列建立关系式算出xi+x2=8，最后利用中点坐标公式，即可算出弦AC中点的横坐标.解答：解：(1)由椭圆定义及条件，可得2a=|FiB|+|F2B|=10，得 a=5.又 c=4, b=I，J