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文档简介

1、费马点的证明方法费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶 点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三 顶点的连线两两夹角为120度的点。1、费马点不在三角形外，这个就不用证了，很显然。但为了严谨，还是说一下2、当有一个内角大于等于120度时候对三角形内任一点P延长 BA 至 C使得 AC=AC，做/ CAP= / CAP，并且使得 AP=AP, PC=PC，（说了这么多，其实就是把三角形 APC以A为中心做了个旋转）则厶 APC APCvZ BAC 120 / PAP=180 - Z BA

2、P- Z CAP=180 - Z BAP- Z CAP=180 - Z BAC PP PA+PB+PC PP+PB+PCBC=AB+AC所以A是费马点3、当所有内角都小于120。时FD做出 ABC 内一点 P,使得/ APC= / BPC= / CPA=120 ,分别作 PA,PB,PC的垂线，交于D,E,F三点，如图，再作任一异于 P的点P,连结PA,PB,PC ,过P作PH垂直EF于H易知/ D= / E= / F=60。，即 DEF为等边三角形，计边长为d，面积为S则有 2S=d(PA+PB+PC) PA PH所以 2S EPF PA*d同理有2S DPF PB*d2S EPD PC*d相加得 2S d(PA+PB+PC)即PA+PB+PC PA+PC+PC ，与假设矛盾，所以圆与椭圆必相切(不可能没 有公共点吧，因为都过P)做他们的公切线，并作直线 BP，显然BP与公切线垂直由椭圆的几何性质易知，BP平分角APC，所以/ APB= / CPB 同理有/ APC

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