高中数学排列组合经典题型全面总结版

1、-高中数学排列与组合（一）典型分类讲解一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有 c31然后排首位共有 c14最后排其它位置共有 a43131c4a 4c3由分步计数原理得 c1c1 a3288434练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排, 其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看

2、成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有a55 a22 a22 480种不同的排法甲 乙丙 丁要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列 ,同时要注意合并元素内部也必须排列 .练习题 : 某人射击 8 枪，命中4 枪， 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20三. 不相邻问题插空策略例 3. 一个晚会的节目有4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场 , 则节目的出场顺序有多少种？解: 分两步进行第一步排2 个相

3、声和 3 个独唱共有 a55种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 a64 不同的方法 , 由分步计数原理 , 节目的不同顺序共有a55 a64种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端练习题：某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30四. 定序问题倍缩空位插入策略例 4. 7 人排队 , 其中甲乙丙3 人顺序一定共有多少不同的排法解:( 倍缩法 ) 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起

4、进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数 , 则共有不同排法种数是：a77 / a33( 空位法 ) 设想有 7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有a74 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有a74 种方法。思考 : 可以先让甲乙丙就坐吗 ?（插入法 ) 先排甲乙丙三个人 , 共有 1 种排法 , 再把其余 4四人依次插入共有方法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理练习题 :10 人身高各不相等 , 排成前后排，每排5 人 , 要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？c105五. 重排问题求幂策略例 5. 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习 , 共有多少

5、种不同的分法解: 完成此事共分六步 : 把第一名实习生分配到车间有7 种分法 . 把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推 , 由分步计数原理共有 76种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为mn 种练习题：1某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目 . 如果将这两个节目插入原节目单中， 那么不同插法的种数为 42-12. 某 8 层大楼一楼电梯上来8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯, 下电梯的方法78六. 环排问题线排策略例 6.

6、8人围桌而坐 , 共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人a44 并从此位置把圆形展成直线其余7 人共有（ 8-1 ）！种排法即7 ！cd beaabcdefghaf hg一般地 ,n 个不同元素作圆形排列 ,共有 (n-1)! 种排法 .如果从 n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1 a nmn练习题： 6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120七. 多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排 , 每排 4 人 , 其中甲乙在前排 , 丙在后排 , 共有多少排法解 :8 人排前后两排 , 相当于 8 人坐 8 把椅子 , 可以把椅子排成

7、一排 . 个特殊元素有 a 24 种, 再排后 4 个位置上的特殊元素丙有a14 种 , 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有a55 种 , 则共有 a 24 a14 a 55 种前 排后 排一般地 , 元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑 ,再分段研究 .练习题：有两排座位，前排11 个座位，后排 12 个座位，现安排2 人就座规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是346八. 排列组合混合问题先选后排策略例 8. 有 5 个不同的小球 , 装入 4个不同的盒内 , 每盒至少装一个球 , 共有多少不同的装法 .解 : 第一步从 5 个球中选出2

8、 个组成复合元共有c52种方法 . 再把 4 个元素 ( 包含一个复合元素 ) 装入 4 个不同的盒内有 a44种方法，根据分步计数原理装球的方法共有c52 a 44解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗 ?练习题：一个班有 6 名战士 , 其中正副班长各1 人现从中选4 人完成四种不同的任务 , 每人完成一种任务 , 且正副班长有且只有1人参加 , 则不同的选法有192种九. 小集团问题先整体后局部策略例 9. 用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 在两个奇数之间 , 这样的五位数有多少个？解：把 , , , 当作一个

9、小集团与排队共有a 22种排法，再排小集团内部共有a 22 a 22种排法，由分步计数原理共有a22 a 22 a 22 种排法.15243练习题：. 计划展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅水彩画 , 幅油画 , 幅国画 , 排成一行陈列 , 要求同一品种的必须连在一起， 并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为a 22 a55 a442. 5 男生和女生站成一排照像, 男生相邻 , 女生也相邻的排法有a 22 a55 a55 种十. 元素相同问题隔板策略例 10. 有 10 个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个 , 有多少种分配方案？解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一

10、排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有c96种分法。2一二三四五六七班班班班班班班将 n 个相同的元素分成 m 份（ n， m 为正整数） ,每份至少一个元素 ,可以用 m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的 n-1个空隙中，所有分法数为 cnm11练习题：1 10 个相同的球装5 个盒中 , 每盒至少一有多少装法？c942 . xy z w100 求这个方程组的自然数解的组数c1033十一 . 正难则反总体淘汰策略例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10 的

11、偶数 , 不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10 的偶数很困难 , 可用总体淘汰法。 这十个数字中有5 个偶数 5 个奇数 , 所取的三个数含有3 个偶数的取法有 c53, 只含有 1个偶数的取法有 c51c52 , 和为偶数的取法共有 c51c52c53 。再淘汰和小于 10 的偶数共 9种，符合条件的取法共有c51c52c539有些排列组合问题 ,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰 .练习题：我们班里有43 位同学 , 从中任抽 5 人 , 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 ?十二 . 平均分组问题除法策略例 1

12、2. 6 本不同的书平均分成3 堆, 每堆 2 本共有多少分法？解:分三步取书得 c62c42c22种方法 , 但这里出现重复计数的现象 , 不妨记 6 本书为 abcdef，若第一步取 ab,第二步取 cd,第三步取 ef 该分法记为 (ab,cd,ef), 则 c62c42c22 中还有 (ab,ef,cd),(cd,ab,ef),(cd,ef,ab)(ef,cd,ab),(ef,ab,cd)共有a33 种取法 ,而这些分法仅是 (ab,cd,ef) 一种分法 , 故共有 c62 c42 c22 / a33种分法。平均分成的组 ,不管它们的顺序如何,都是一种情况 ,所以分组后要一定要除以a

13、 nn ( n 为均分的组数 )避免重复计数。练习题：1 将 13 个球队分成3 组, 一组 5 个队 , 其它两组 4 个队 ,有多少分法？（ c135c84c44 / a 22）2.10 名学生分成 3 组, 其中一组4 人,另两组 3 人但正副班长不能分在同一组 , 有多少种不同的分组方法（ 1540）3. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2 名，则不同的安排方案种数为_（ c42c22 a 62/ a2290 ）十三 .合理分类与分步策略例 13.在一次演唱会上共 10 名演员 , 其中 8 人能能唱歌 ,5人会跳舞 , 现要演出一

14、个2 人唱歌 2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法解： 10 演员中有5 人只会唱歌， 2人只会跳舞3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5 人中没有人选上唱歌人员共有 c32c32种 , 只会唱的5 人中只有 1 人选上唱歌人员 c51c31c42种, 只会唱的5 人中只有 2 人选上唱歌人员有c52c52 种，由分类计数原理共有c32 c32c51c31c42c52c52 种。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。练习题：1.从 4 名男生和3 名女生中选出

15、 4 人参加某个座谈会，若这 4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有342.3 成人 2小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘3 人 , 2号船最多乘 2 人 ,3号船只能乘 1 人 , 他们任选 2 只船或 3 只船 , 但小孩不能单独乘一只船 ,这 3人共有多少乘船方法 .（27）本题还有如下分类标准：* 以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准* 以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准* 以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果3十四 .构造模型策略例 14.马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯 , 现要关掉其中的 3 盏 , 但不能关掉相邻的

16、2 盏或 3 盏 , 也不能关掉两端的 2盏, 求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6 盏亮灯的5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 c53种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习题：某排共有 10 个座位，若4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）十五 . 实际操作穷举策略例 15. 设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号1,2,3,4,5 的五个盒子 , 现将 5 个球投入这五个盒子内, 要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法解

17、：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有c52种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5 号球 , 3,4,5号盒 3 号球装 4 号盒时，则 4,5 号球有只有 1 种装法，同理 3 号球装 5 号盒时 ,4,5 号球有也只有1 种装法 , 由分步计数原理有 2c52 种5343 号盒4号盒5号盒对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题：1. 同一寝室 4人, 每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)2. 给图中区域涂色 , 要求相邻区 域

18、不同色 , 现有 4种可选颜色 , 则不同的着色方法有 72 种13245十六 . 分解与合成策略例 16. 30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把 30030 分解成质因数的乘积形式30030=2 35 7 11 13，依题意可知偶因数必先取2, 再从其余5 个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：c51c52c53c54c55练习 : 正方体的8 个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共c841258 , 每个四面体有 3 对异面直线 , 正方体中的8 个顶点可连成 3 58 174 对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解

19、题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构 ,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略十七 . 化归策略例 17. 25 人排成 55 方阵 , 现从中选 3 人 , 要求 3 人不在同一行也不在同一列, 不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成 9 人排成 3 3 方阵 , 现从中选3 人 , 要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 有多少选法 . 这样每行必有1 人从其中的一行中选取 1 人后 , 把这人所在的行列都划掉，如此继续下去. 从 3 3 方队中选 3人的方法有 c31c21c11种。再从 5

20、5 方阵选出 3 3 方阵便可解决问题 . 从 55 方队中选取 3行 3列有 c53 c53 选法所以从 55方阵选不在同一行也不在同一列的3 人有c53c53c31c21c11 选法。处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题练习题 : 某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从a 走到 b 的最短路径有多少种？( c7335 )ba十八 . 数字排序问题查字典策略例 18由 0， 1， 2，3，4， 5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105 大的数？4解 : n2 a552

21、a44a33a22a11297数字排序问题可用查字典法, 查字典的法应从高位向低位查, 依次求出其符合要求的个数, 根据分类计数原理求出其总数。练习 : 用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些数字从小到大排列起来, 第 71 个数是 3140十九 . 树图策略例 19 3 人相互传球, 由甲开始发球, 并作为第一次传球, 经过 5 次传求后 , 球仍回到甲的手中 , 则不同的传球方式有 _n10对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用练习 :分别编有 1， 2， 3，4，5 号码的人与椅，其中i 号人不坐 i 号椅（ i1,2,3,4,5 ）的不同坐法有多少种？n4

22、4二十 . 复杂分类问题表格策略例 20有红、黄、兰色的球各 5 只, 分别标有 a、b、c、d、e 五个字母 , 现从中取 5 只, 要求各字母均有且三色齐备 , 则共有多少种不同的取法解 :111223红黄123121兰321211取法c51c41c51c42c51c43c52c31c52 c32c53 c21一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手 ,经常出现重复遗漏的情况, 用表格法 ,则分类明确 ,能保证题中须满足的条件 ,能达到好的效果 .二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的

23、元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例 21. 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.分析：因同一学生可以同时夺得 n 项冠军，故学生可重复排列， 将七名学生看作 7 家“店”，五项冠军看作 5 名“客”，每个“客”有 7 种住宿法，由乘法原理得 7 5 种.排列组合易错题正误解析1 没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例 1从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取5台 , 其中至少有原装与组装计算机各两台, 则不同的取法有种.误解：因为可以取2 台原

24、装与 3 台组装计算机或是3 台原装与 2台组装计算机，所以只有2 种取法 .错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2 台原装与 3 台组装计算机或是3 台原装与2 台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解： 由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2 台，有 c62 种方法；第二步是在组装计算机任意选取 3 台，有 c53 种方法，据乘法原理共有c62c53 种方法 . 同理，完成第二类办法中有c63 c52 种方法 . 据加法原理完成全部的选取过程共有c62 c53c63 c52350 种方法 .例 2在一次运动会上有四项比赛的冠

25、军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种 .（a ） a 43（b ） 43（ c） 34（d ） c43误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选a .正解： 四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3 种选取方法，由乘法原理共有 3 3 33 34 种.说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得43 .这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4 种夺冠可能 .2 判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例 3 有大小形状相同的 3 个红

26、色小球和 5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是 8 个小球的全排列，所以共有a88种方法 .错因分析：误解中没有考虑3 个红色小球是完全相同的， 5 个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解： 8 个小球排好后对应着8 个位置，题中的排法相当于在8 个位置中选出 3 个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这53 个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有： c8356 排法 .3 重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。例 4 5本不同的书全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不

27、同的分法种数为（）（a ）480 种（ b）240 种（ c）120 种（ d）96种误解：先从 5本书中取 4 本分给 4个人，有 a54 种方法，剩下的1 本书可以给任意一个人有4 种分法，共有 4 a54480 种不同的分法，选 a .错因分析：设5 本书为 a 、 b 、 c 、 d 、 e ，四个人为甲、乙、丙、丁 .按照上述分法可能如下的表1 和表 2：甲乙丙丁甲乙丙丁abcdebcdea表 1 是甲首先分得a表cd表e给甲的情况； 表 2ebc、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本书是甲首先分得、乙分得、丙分得、b 12丁分得 d ，最后一本书 a 给甲的情况 .这两种情况是完全相同

28、的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次.正解： 首先把 5本书转化成4 本书，然后分给 4 个人 .第一步：从5 本书中任意取出2 本捆绑成一本书，有 c52 种方法；第二步：再把 4 本书分给4 个学生，有4c244.5a4240种方法，故选b .a种方法 由乘法原理，共有例 5某交通岗共有 3 人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2 天，其不同的排法共有（）种 .（a ）5040（b ） 1260（c） 210（d ）630误解：第一个人先挑选2 天，第二个人再挑选2 天，剩下的3 天给第三个人，这三个人再进行全排列.共有： c72 c52 a331260 ，选

29、 b .错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周223三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了.正解： c7 c5 a3630 种.24 遗漏计算出错在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。01，3例 6 用数字 0，1，2，3， 4 组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（）（a ）36 个（ b）48 个（c） 66 个（ d ）72 个误解：如右图，最后一位只能是1 或 3 有两种取法，又因为第1 位不能是 0，在最后一位取定后只有3 种取法，剩下 3 个

30、数排中间两个位置有a32 种排法，共有 23 a3236 个.错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比1000 大的奇数还可能是五位数 .正解： 任一个五位的奇数都符合要求，共有2 3 a3336 个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72 个，选 d .5 忽视题设条件出错在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.例 7 如图，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种 .（以数字作答）25误解：先着色第一区域，有4 种方法，剩下3 种颜色涂四个区域，即有一种颜色

31、涂相对的31两块区域，有 c31 2 a22412 种，由乘法原理共有：412 48种 .错因分析：没有看清题设“有4种颜色可供选择 ”，不一定需要 4 种颜色全部使用，用3 种也可以完成任务 .正解： 当使用四种颜色时，由前面的误解知有48 种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4 种颜色中选取3 种有 c43 种方法，先着色第一区域，有3 种方法，剩下2 种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、 4 区域，另一种颜色涂第3、 5 区域，有2 种着色方法，由乘法原理有 c 43 3 224种 .综上共有：4824 72 种 .例 8 已知 ax2b 0 是关于 x 的一元二次方程，其中a 、 b

32、 1,2,3,4，求解集不同的一元二次方程的个数.误解：从集合 1,2,3,4 中任意取两个元素作为a 、 b ，方程有 a42 个，当 a 、 b 取同一个数时方程有1 个，共有 a421 13个.错因分析： 误解中没有注意到题设中： “求解集不同 的, ” 所以在上述解法中要去掉同解情况，由于 a1和 a2同解、b2 b46a2a4和同解，故要减去2 个。正解： 由分析，共有13211个解集不同的一元二次方程.b1b26 未考虑特殊情况出错在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.例 9 现有 1角、 2角、5角、 1元、 2元、 5元、 10元、 50元人民币各一张， 100

33、元人民币 2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（）(a)1024 种 (b)1023 种 (c)1536种 (d)1535 种误：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有21011023 种 .错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况 .正解： 除 100元人民币以外每张均有取和不取2种情况， 100 元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有2 9311535 种 .7 题意的理解偏差出错例 10 现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法

34、有（）种 .（a ） a63 a55（ b ） a88a66 a33（ c） a53 a33（ d） a88a64误解：除了甲、乙、丙三人以外的5 人先排，有 a55 种排法， 5 人排好后产生6 个空档，插入甲、乙、丙三人有a63 种方法，这样共有 a3a5 种排法，选 a .65错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻 ”的情况 . “甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.正解：在 8 个人全排列的方法数中减去甲、 乙、丙全相邻的方法数， 就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数， 即 a8a6a3，8

35、63故选 b .8 解题策略的选择不当出错例 10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）.（a ）16 种（b ） 18 种（ c）37 种（d）48 种误解：甲工厂先派一个班去，有3 种选派方法，剩下的 2 个班均有 4 种选择，这样共有 34448种方案 .错因分析：显然这里有重复计算.如： a 班先派去了甲工厂， b 班选择时也去了甲工厂，这与b 班先派去了甲工厂，a 班选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复很难排除.正解： 用间接法 .先计算 3 个班自由选择

36、去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：4443 3 3 37 种方案 .（二）典型例题讲解例 1用 0 到 9 这 10 个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？分析： 这一问题的限制条件是：没有重复数字；数字“0”不能排在千位数上；个位数字只能是0、2、 4、 6、 8、，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是2、 4、 6、8 的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）由此解法一与二如果从千位数入手四位偶数可分为：千位数是1、3、 5、7、9 和千位数是 2、4、6、8 两类，由此得解法三如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两

37、类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四解法 1：当个位数上排 “ 0”时，千位， 百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3 个来排列， 故有 a93 个；当个位上在“ 2、4、 6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有a41a81a82（个） 没有重复数字的四位偶数有3112个a9a4a8a8504 1 7 9 2 2 2 9 6解法 2：当个位数上排“0”时，同解一有 a93 个；当个位数上排 2、4、6、8 中之一时，千位，百位，十位上可从余下 9 个数字中任选3 个的排列数中减去千位数是“0”排列数得

38、： a41 ( a93a82 ) 个没有重复数字的四位偶数有3132个a9a4( a9a8) 5 0 4 1 7 9 2 2 2 9 67解法 3：千位数上从 1、 3、 5、 7、 9 中任选一个，个位数上从0、2、 4、 6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有a51 a51a82 个干位上从2、 4、6、 8 中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0 在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有a41 a41a82 个 没有重复数字的四位偶数有a51 a51 a82a41 a41 a822 2 9 个6解法 4：将没有重复数字的四位数字

39、划分为两类：四位奇数和四位偶数没有重复数字的四位数有a104a93 个132其中四位奇数有a5 ( a9a8 ) 个a104a93a51 ( a93a82 )10a93a935a935 a824 a935a8236a825 a8241a822296 个说明： 这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用典型例题二例 2 三个女生和五个男生排成一排（ 1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（ 2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（ 3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（ 4）如果两端

40、不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（ 1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有a66种不同排法对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有a33对种不同的排法，因此共有 a66 a334320 种不同的排法（ 2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档这样共有 4 个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于五个男生排成一排有a55 种不同排法，对于 其 中 任 意 一 种

41、 排 法 ， 从 上 述 六 个 位 置 中 选 出 三 个 来 让 三 个 女 生 插 入 都 有 a63 种 方 法 ， 因 此 共 有a55 a6314400种不同的排法（ 3）解法 1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5 个男生中的 2 个，有 a2 种不同的5排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有a66 种排法，所以共有a52 a6614400种不同的排法解法 2：（间接法） 3 个女生和5 个男生排成一排共有 a88 种不同的排法， 从中扣除女生排在首位的a31 a77 种排法和女生排在末位的 a31a77 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的

42、情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有a32 a66 种不同的排法，所以共有 a882 a31 a77a32 a6614400种不同的排法解法 3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出 3 个来让 3 个女生排入，有a63 种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余 5 个位置又都有a55种不同的排法，所以共有a63 a5514400种不同的排法，（ 4）解法 1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有 a51 a77 种不同的排法；如果首位排女生，有a31 种排法，这时末位就只能排男生，有a51 种排法，首末两端任8意排 定 一 种情 况 后， 其余6 位 都有a66 种 不同 的排 法， 这 样可 有 a13 a51 a66 种 不 同排 法 因 此共 有a51 a77a31 a51 a6636000 种不同的排法解法 2： 3 个女生和5 个男生排成一排有a88 种排法，从中扣去两端都是女生排法a32 a66 种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有 a88a32 a66 36000 种不同的排法说明： 解决排列、组合（下面将学到，由于规律