简单二元二次方程组

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持 二元二次方程组 【教学内容】 简单的二元二次方程组 【教学目标】 1 、了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的 解法，会用代入法求方程组的解。 *2、掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。 3、通过解简单的二元二次方程组，使学生进一步理解“消元”“降次”的数学方法，获得对事物可以转化的进一 步认识。 【知识讲解】 2 2 2 2 2 2 2 1 、形如x +y=2, x +y =0,3x +2y+1=0, 4x - 4xy+y +2x -

2、 y - 12=0这些整式方程，每个方程都含有两个未知数， 并且含未知数的项的最高次都是2,像这样的含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次是2的整式方程，称为二元二 2 2 2 2 次方程。关于 x、y的二元二次方程式的一般形式是ax +bxy+cy +dx+ey+f=0 (a、b、c不全为零)其中 ax、bxy、cy叫 做方程的二次项，dx、ey叫做方程的一次项，f叫做常数项。 2、我们所研究的二元二次方程组一般由两个方程联立而成，其中一个是二元二次方程，另一个可能是二元二次 方程、二元一次方程、一元二次方程或一元一次方程。 二元二次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元二次方程组的解。求解

3、二元二次方程组的基本思想是消元或降次， 消元就是把二元化为一元，降次就是把二次降为一次，因此，通过消元或降次可以将其转化为二元一次方程组或一元二 次方程甚至一元一次方程，以便求解。例如在解方程组x - 2y - 1=0(1)时，注意到(1)可以转化为x=2y+1(3)，将 式 代入(2) - 2 2 x - y - 4x y+仁0(2) 即可消去(2)中的未知数x,得到一个关于y的一元二次方程。我们把这种解方程组的方法叫代入消元法。而在解方 程组 2 x 2 x 2 y 20(1) 5xy 6y2 时，显然无法直接使用代入法求解, 0(2) 但由于方程(2)可分解为(x - 2y)(x - 3

4、y)=0即x - 2y=0 7 1 或x- 3y=0,这样一来，原来的二元二次方程立即转化为两个二元一次方程，通过因式分解降低了方程的次数。原方程组 随之转化为 2 2 x y x 2y 20和 x2 x 3y 20这样两个二元二次方程组，而后可用代入法求解，我们把这种解方程组的方 0 法叫分解降次法。 【例题讲解】 例1、解方程组 3x2 2xy 5(1) x y 2(2) 解：由得x=y+2(3) 把 代入(1)得，3(y+2) - 2(y+2) y=5 整理得 y2+8y+7=0 解得 y1= - 1，y2= - 7 扌巴 y1= - 1 代入(3)，得 X1=1 扌巴 y2= - 7

5、代入(3)，得 X2= - 5 原方程组的解为 y2 说明：有一个方程是二元一次方程的二元二次方程组，其解法通常用代入法。 文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持 例2、解方程组 x y 1(1) xy 12(2) 解法一：用代入法 由(1)得 x= y- 1 (3) 把(3)代入(2)得(-y- 1)y= - 12 2 即 y +y - 12=0 (y+4)(y- 3)=0 y 1= - 4, y2=3 扌巴y1= 4代入(3)得X1=3 扌巴y2=3代入(3)得X2= 4 疋 3 X2 4 y14 y2 3 原方程组的解为 解法二：根据一元二次方程的根与系数间的关系，可

6、以把x、y看成是t2+t - 12=0的两个实数根，解这个方程得t1=3. x13x24 t2=-4由于原方程组中的两个未知数x和y可以轮换，所以原方程组有两组解， y24y2 3 说明：解形如 x y b型的方程组，除了用代入法可解外，由于已知x与y这两个数的和与积，所以还可以利用 xy c 一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看作是一元二次方程 t2- bt+c=0的根，去解这个关于t的一元二次方程即可求 得原方程组的解，但要注意到原方程组中的x、y可以轮换，所以原方程组一般有两组解。 1 1 8 例3、解方程组： x y 1 7 xy 1 1 分析：这个方程组不是二元二次方程组，而是分

7、式方程组，但如果把 ,看作未知数，则 8是两数之和，7是两 x y 数之积，这样就可归积为 x y b型的方程组了，可以仿照例 2用代入法或利用一元二次方程的根与系数关系求解。 xy c 1 1 解：8 , x y 丄7 xy 1 1 2 是方程z-8z+7=0的两个根 x y 解得：Z1=1, Z2=7 3 1 x 1 y 经检验，它们都是原方程的解。 例4、若方程组 y 4X 2y 1 有两个不相等的实数解，试求 y mx 2(2) m的取值范围 2 解：把(2)代入(1)得，(mx+2) 4x 2(mx+2)+1=0 2 2 整理得 m x+(2m-4)x+仁 原方程组有两个不相等的实数

8、解 此一元二次方程必有两个不相等的实数根 (2m 4)2 4m2 m1 且 m 说明：有关方程组的解的情况的讨论通常都是用代入法转化为 元二次方程的解的情况的讨论。 2 2 6x 5xy y (1) 例5、解万程组 2 2 x y 11x y 2 0(2) 解：由(1)得(2x - y)(3x - y)= 所以(1)可以转化为 2x - y=或3x - y= 原方程组可化为2； y2 x y 11x y 2 3x 2 x 11x y 2 用代入法解这两个方程组, 得原方程组的解为: y1 1 5 . ; 2 X2 y2 例6、解方程组 x2 xy X3 y3 2 y 12 25 X 2 得(x

9、+y) (1) - (2)X 2 得(x-y) 原方程组可化为 分别解这四个方程组, 解法二：(1) + (2 )X 2 得(x+y) 原方程组可化为： 以下仿例2求解。 解法一：(1) + (2) X4 y4 (1) 2 =49, x+y= 7 2=1, x-y= 1 可得原方程组的解为: 2=49, x+y= 7 1 )化简得: 12 解法三：由(2)得：x= 代入( y 文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持 2 y (y 4-25y 2+144=0 2 2 -9）（y -16）=0 求出y后再分别代回（2）求解。 解法四： 2 2 2 2 由（2）得 （x ） （y

10、 ）=144，令 u=x , v=y 得：八25 uv 144 以下仿例2求出u和v，最后再求出原方程组的解。 例7、解方程组X 1 y 1 5 x y 13（2） 分析：若将（2）化为x=13 - y，而后代入（1）得14 y y 15利用平方法可以解出 y，但求解y的过程比较 复杂，这种解法不太好。如果我们将 -x 1设为a, . y 1设为b,利用换元法可得 b2 这样一个简单的二元 13 9 二次方程组，求出a, b后再代回求x, y,可以比较迅速且准确地解出原方程组。建议同学们用上述两种方法解这个方程 组，比较和体会一下不同解法的优劣。 【一周一练】 一、填空题：（每小题4分，计16

11、分） 一22x 1 1、关于x、y的二兀一次方程 ax -2y =-7的一个解为，那么a= y 2 x y 11 2、方程组的解为。 xy 12 3、若(2x2-3y 2-10y+5) 2+. X 2y =0,贝U x=, y= 2 4、若方程组 y x有两组相同的解，则 k=。 3y k x 二、选择题：（每小题4分，计24分） 1、下列方程中，二元二次方程是（） 2 1222x y 5 A、x + =1B、x - y =1C、x +3x - 4=0D、 yy x 2 2、利用代入法解方程组 x2 y 17 y2169 ，消去 x可得方程（ 2 A y +17y+60=0 2 B、y -17

12、y+60=0 2 C、 2y +17y+120=0 D 2 、2y -17y+120=0 3、如果方程组 X y a无实数解，则a、b应满足的条件是（ xy b 2 A b 4 2 C、b= 2 D、b 4 4、当2m=n时，方程组 4x 2x 的解的情况是( m A 、有一个实数解 C 、没有实数解 B、有两个实数解 D、不能确定 5、如果 1、 3、 5、 6、 是方程组 如果方程组 3x2 xy a的一个解，那么这个方程组的另一个解是 29 的两个实数解是 x1 X2 2 那么 y2 2 1的值是() 、2 B 3 、解下列方程组: 53 c 3 (每小题 x x2 x2 xy 2y y2 25 2xy 12 xy 6 y2 19 10 3 8分, 48分) 2、 4、 2 x 2 x 4xy 10 3y2 x 1. y 1 x y 37 x(x y(x z(x z) z) z) 15 18 四、当m取何值时, 方程组 6x mx 4y 3 (1) (2) (3) 只有一个解，并求出此解; 有两个不同的解； 无解。 练答案 一、1、a=12 x1 12 X2 y11 y2 12 x=2， y=1 9 、k= 4 、1、X1 i x2 2i 3 2 、 Xi 3 X2 3 X3 ,5 X4 、5 yi 2 y2 i i- 3 yi i y2 i y