高中数学：向量法解立体几何总结

1、l ab lab l向量法解立体几何1、直线的方向向量和平面的法向量1 直线的方向向量： 若 a、b 是直线 上的任意两点，则 为直线 的一个方向向量； 与 平行的任意非零向量也是直线 的方向向量.2 平面的法向量： 若向量 n 所在直线垂直于平面 a，则称这个向量垂直于平面a，记作 n a，如果 n a，那么向量 n 叫做平面 a的法向量.3 平面的法向量的求法（待定系数法）：建立适当的坐标系设平面 a的法向量为 n =( x, y , z )求出平面内两个不共线向量的坐标a =( a , a , a ), b =(b , b , b ) 1 2 3 1 2 3根据法向量定义建立方程组 n

2、a=0 n b=0.解方程组，取其中一组解，即得平面a的法向量. 2、用向量方法判定空间中的平行关系线线平行。设直线 a =kb ( k r ).l , l12的方向向量分别是 a 、b ，则要证明 l l ，只需证明 a b ，即1 2线面平行。设直线 l 的方向向量是 a ，平面 a的法向量是 u ，则要证明 l a，只需证明a u ，即 a u=0.面面平行。若平面 a的法向量为 u ，平面 b的法向量为 v ，要证 a b，只需证 u v ，即证u =lv.3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直。设直线l , l12的方向向量分别是 a 、b ，则要证明 l l1 2，只需证明 a

3、b ，即a b=0.线面垂直（法一）设直线l的方向向量是a，平面a的法向量是u，则要证明l a，只需证明au ，即 a =lu.（法二）设直线l的方向向量是a，平面a内的两个相交向量分别为 m 、n，若a m=0 a n=0, 则l a.面面垂直。 若平面 a的法向量为 u ，平面 b 的法向量为 v ，要证 a b，只需证 u v ，即证u v=0.4、利用向量求空间角 求异面直线所成的角已知 a , b为两异面直线，a，c 与 b，d 分别是 a , b上的任意两点， a , b所成的角为q，则 cosq=ac bdac bd.求直线和平面所成的角求法：设直线l的方向向量为a，平面 a的法

4、向量为 u，直线与平面所成的角为q，a与u的夹角为 j，则q为 j的余角或 j的补角的余角.即有： sinq=cosj =a ua u.求二面角二面角的平面角是指在二面角a-l -b的棱上任取一点 o，分别在两个半平面内作射线 ao l, bo l如图：，则 aob 为二面角 a -l -b的平面角.ablooba求法：设二面角a-l -b的两个半平面的法向量分别为 m 、n，再设 m 、n的夹角为j，二面角a-l -b的平面角为q，则二面角 q为 m 、n的夹角j或其补角p-j.根据具体图形确定 q是锐角或是钝角：m n 如果 q 是锐角，则 cosq=cosj =m nm n， 即q=ar

5、ccosm nm n；如果 q 是钝角，则 cosq=-cosj =-m nm n， 即q =arccos - m n .5、利用法向量求空间距离 点 q 到直线l距离若 q 为直线l外的一点,p在直线l上，a为直线l的方向向量，b=pq，则点 q 到直线l距离为h =1| a |(| a | b |) 2 -( a b)2点 a 到平面 a的距离若点 p 为平面 a外一点，点 m 为平面 a内任一点，平面 a的法向量为 n 的距离就等于 mp 在法向量 n 方向上的投影的绝对值.，则 p 到平面a即d = mp cos n, mp= mp n mpn mp=n mpn直线 a 与平面 a之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即 d =n mpn.两平行平面a,b之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即d =n mpn.异面直线间的距