文科一轮学学案53平面向量的数量积

1、学案5.3 平面向量的数量积 1两个向量的夹角 (1) 定义宀 已知两个 向量a, b,作OA= a, OB = b,贝U 称作向量a和向量b的夹角，记 . (2) 范围 向量夹角a, b的范围是0 , n且a, b = b, a . (3) 向量垂直 如果a, b= n则a与b垂直，记作a丄b. 2. 向量在轴上的正射影 已知向量a和轴1(如图)，作OA = a，过点0, A分别作轴I的垂线，垂足分别为 Oi, A,则向量0；入叫做向量a在轴I上的正射影(简称)，该射影在轴I上的 坐标，称作a在轴I上的 或在轴I的方向上的 oA= a在轴I上正射影的坐标记作ai,向量a的方向与轴I的正向所成

2、的角为 0,则由三角函数中的余 弦定义有ai = |a|cos 0 3. 向量的数量积 (1) 平面向量的数量积的定义 |a|b|cos a, b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a b, 即卩a b= |a|b|cos a, b 向量数量积的性质 如果 e是单位向量，则 a e= ea= |a|cos a, e; a丄 b? a b= 0; a a= lai2, |a|= . a a; cos a, b a b =|a| b(副b|#： )； |a b|a|b|. (3)数量积的运算律 交换律：a b= b a. 对 入 R, a b)= (:a) b= a (?b). 分配律：(a+

3、b) c= a c+ b c. (4) 数量积的坐标运算 设 a= (ai, a2), b= (bi, b2)，贝U a b=2; a丄b? |a |=曲1 + a2; cos a, b 【思考辨析】 aibi+ a2b2 ai+ a2 bi + b2 判断下面结论是否正确(请在括号中打“/或“x”) (1) 两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.() (2) 向量在另一个向量方向上的正射影为数量，而不是向量.() 在四边形ABCD中，AB = DC且AC BD = 0，则四边形 ABCD为矩形.() (4)两个向量的夹角的范围是0,() (5) 由 a b= 0

4、 可得 a = 0 或 b= 0.() (6) ( a b)c= a( b c).() 考点探究沁mm：典例煩冷: 考点一平面向量数量积的运算 例1 (1)(2015四川)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|= 6, |AD|= 4,若点M , N满足BM = 3MC , DN =2NC，则 AM NM 等于() A. 20B.15C.9D.6 已知正方形 ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，贝U DE CB的值为； DE DC的最大 值为. 变式训练： AP EBP = 2, (1)如图，在平行四边形 ABCD中，已知AB= 8, AD = 5, Cp= 3PD , 贝 U AB A

5、D = D pC 已知正方形 ABCD的边长为2, E为CD的中点，贝U AE BD = 考点二用数量积求向量的模、夹角 命题点1求向量的模 例2 (1)已知向量a, b均为单位向量，它们的夹角为n，则丘+ b等于() 3 A.1B. ,2 C. .3D.2 (2) (2014湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A( 1,0), B(0, . 3), C(3,0)，动点D满足|CD|= 1,则 |OA+ OB + OD|的最大值是 . 命题点2求向量的夹角 例3 (1)(2015重庆)若非零向量a, b满足|a| =且(a b)丄(3a + 2b)，则a与b的夹角为() 7t n B. n D

6、. n 厂3 n CG 若向量 a = (k,3), b = (1,4), c = (2,1)，已知2a 3b与c的夹角为钝角，贝Uk的取值范围 是. 变式训练: (1)已知单位向量e1与e的夹角为a 1 % 且 cos a=-,向量 a = 3e1 2e2与 b= 3e1 e2 的夹角为贝U cos 3 3 在 ABC中，若A = 120 AB AC = 1，则BC|的最小值是() A. .2B.2 C. .6D.6 例4(2015广东)在平面直角坐标系 xOy中，已知向量m= n = (sin x, cos x), x 0, 考点三： 平面向量与三角函数 (1) 若m n,求tan x的值

7、； 若m与n的夹角为扌，求x的值. 变式训练: 已知O为坐标原点， 向量 OA = (3sin a, cos a , OB = (2sin a, 5sin a 4cos a, a 专；2 n ,且OA丄 OB , 则tan a的值为（ ) 4 代-3 4 B. - 4 4 C.4 3 D.3 当堂达标： 1已知向量a与b的夹角为30 且|a|= 1, |2a- b|= 1,则|b|等于（） A. 6B. 5C. 3 D. 2 2.（2015山东）已知菱形 ABCD的边长为a,/ ABC = 60 则BD CD等于（） 3 2 A. ?a 3 2 B.- 4a c 3 2 C.；a f 3 2

8、Da 3.已知单位向量 e1, e2的夹角为 1 ”一 a, 且 cos a= 3, 若向量 a= 3e1 2e2 ,贝9 |a|= 3 1 - - - 4. 已知A, B, C为圆O上的三点，若AO = （AB+ AC），则AB与AC的夹角为 5. （教材改编）已知|a|= 5, |b|= 4, a与b的夹角0= 120 贝U向量b在向量a方向上的正射影的数量 为. 沁沁W提高沁冷Z总沁沁我 1.若向量 a , b 满足 |a|= |b|= 2, a 与b的夹角为 60 ,贝U |a + b|等于() A.2 . 2+ .3 B.2 .3 C.4 D.12 2.已知向量 a = (1,3)

9、, b= (3 , m）.若向量a , b的夹角为6 ,则实数m等于（） A.2 一3 B. .3 C.0 D. - . 3 3设向量ei, e2是夹角为 红勺单位向量，若 a= 3ei, b=勺，则向量b在a方向上的正射影的数量 3 为（） 311 a.2b*2c.2D.i 4若0ABC所在平面内任一点，且满足 (OB OC) (OB + 0C 20A）= 0，则 ABC的形状为（ A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 5.A ABC的外接圆圆心为 0,半径为2, 0A + AB+ AC = 0，且|0A|= |AB|,则CA在CB方向上的正射影 的数量为（） A

10、.1B.2 C. ,3D.3 6在 ABC中，M是BC的中点，AM = 3,点P在AM 上,且满足AP = 2PM ,则PA （PB + PC）的值为 7如图，在 ABC 中，0 为 BC 中点，若 AB = 1, AC = 3, = 60 则 u |0A|= 8.在 ABC中，若0A OB = 0B 0C= 0C 0A,则点0是厶ABC的（填重心”、垂心”、内 心”、“外心” ） 9已知 |a|=4, |b|= 3, (2a 3b) (2a+ b) = 61. (1)求a与b的夹角0; 求|a+ b|; （3）若AB = a, BC =匕，求厶ABC的面积 10.在厶ABC中，角A, B,

11、C的对边分别为 a, b, c,向量 m= (cos(A B), sin(A B), n= (cos B, sin B)，且 m n = 3 5. BA在 BC方向上的正射影的数量 (1)求sin A的值; 若a = 4 .2, b = 5,求角B的大小及向量 学案5.3 平面向量的数量积 【双基梳理】 1两个向量的夹角 (1) 定义!、 已知两个非零向量 a，b,作OA= a, OB = b,则/ AOB称作向量a和向量b的夹角， “ “a A 记作a, b . (2) 范围 向量夹角a, b的范围是0 , n且a, b = b, a . (3) 向量垂直 如果a, b= n则a与b垂直，记

12、作a丄b. 2. 向量在轴上的正射影 已知向量a和轴1(如图)，作OA = a，过点0, A分别作轴I的垂线，垂足分别为八 0i, A,则向量0壮1叫做向量a在轴I上的正射影(简称射影)，该射影在轴I上的 血心 6I 坐标，称作a在轴I上的数量或在轴I的方向上的数量. 0A= a在轴I上正射影的坐标记作ai,向量a的方向与轴I的正向所成的角为 0,则由三角函数中的余 弦定义有aI = |a|cos 0 3. 向量的数量积 (1)平面向量的数量积的定义 |a|b|cos a,b叫做向量 a和b的数量积(或内积)，记作ab,即卩a b= |a|b|cos a,b. 向量数量积的性质 如果 e是单位

13、向量，则 a e= ea= |a|cos a, e; a丄 b? a b= 0; a a= af, |a|= a a; a b cosa，b=丽(|a|b|z 0)； |a b| 【思考辨析】 aibi+ a2b2 .ai+ af . bi+ bf 判断下面结论是否正确(请在括号中打“/或“x”) (1) 两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量 (2) 向量在另一个向量方向上的正射影为数量，而不是向量.(X ) (3) 在四边形ABCD中，AB = DC且AC BD = 0，则四边形 ABCD为矩形.(X ) (4) 两个向量的夹角的范围是0,( X ) 由a b=

14、 0可得a = 0或b= 0.( x ) (6)( a b)c= a( b c).(x ) -考点探究紀沁农沁沁典例剖析沁破: 考点一平面向量数量积的运算 例i (i)(20i5四川)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|= 6, |AD|= 4,若点M , N满足BM = 3MC , DN =2NC，则 AM NM 等于() A.20B.15C.9D.6 已知正方形 ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，贝U DE CB的值为； DE DC的最大 值为. 答案(1)C(2)11 解析 AM = AB + 4aD , NM = CM CN = 一 ：AD + 4 1 t 1AB， Am t

15、 1 tt NM = 4(4AB + 3AD) 1 - 2(4AB 3AD) =48(16AB2 9Ad2) = 48(16X 62 9X42)= 9, 故选C. (2)方法一 以射线AB, AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0, 0), B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(t,O), t 0,1，则 DE = (t, 1), CB = (0, 1)，所以 DE CB= (t, 1)(0， 1)= 1. 因为 DC = (1,0)，所以 DE DC = (t, 1) (1,0) = t =0, 即 3|a|2 |a| |b| cos 0- 2|b|2 = 0, 8

16、22、-222-: 2 二 |b| 厂b| cos 0 2|b| = 0，二 cos 0=亍 又T 0 0 BC|2= |AC AB|2= AC2 2AB AC+ AB 2|AB| |AC| 2AB AC= 6, |BC|min = .6 考点三：平面向量与三角函数 例4 (2015广东)在平面直角坐标系 xOy中，已知向量 m= 今，一中,n = (sin x, cos x), x 0, (1)若m丄n,求tan x的值; 若m与n的夹角为扌，求x的值. n = (sin x, cos x), m n. 解(1)因为m=今，一 所以 m n = 0，即 sin xcos x= 0, 所以 s

17、in x= cos x，所以 tan x= 1. n 1 2 因为 |m|= |n|= 1,所以 m n= cos - sin x子cosx=2 所以 sin x 4 = 2, nn冗 n 因为 oxn 所以4x 4 .BD CD =|BD|CD|cos 30 =.3a22 =务2 BC= a, CD = a,Z BCD = 120 答案 3 2 解析 t |a| = a = (3ei 2)(.3ei 2e2) =9囘|2 12ei e2+ 4|e2|2= 9 12 x 1 x 1 x g + 4 = 9. |a| = 3. 3 4已知A, B, C为圆O上的三点，若AO = |(AB+ AC

18、),贝U AB与AC的夹角为 . 答案 90 解析 由AO = 2(ab + AC)可知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为 直角，所以/ BAC = 90,所以AB与AC的夹角为90 5. (教材改编)已知|a|= 5, |b|= 4, a与b的夹角0= 120 ,贝U向量b在向量a方向上的正射影的数量 为. 答案 2 解析 由数量积的定义知，b在a方向上的正射影的数量为|b|cos 0= 4x cos 120= 2. 巩酿高案*日积迸嵌我: 1. 若向量a, b满足|a|= |b|= 2, a与b的夹角为60。，则|a + b|等于() A.2 . 2+ ,3B.

19、2 .3 C.4D.12 答案 B 解析|a + b|2= |a|2 + |b|2 + 2|a|b|cos 60 =4+ 4 + 2 x 2x 2 x 2 = 12, |a + b|= 2書. 2. 已知向量a = (1，书),b= (3, m)若向量a, b的夹角为n贝卩实数m等于() A.2 3B. .3 C.0D. .3 答案 B 解析/a b= (1,3) (3, m)= 3+ _ 3m, ab= 12+ .3 2 x 32+m2x cos n， 3+ . 3m= 12+ ,3 2 x 32 + m2x cos f, m= . 3. 3. 设向量e1, e2是夹角为 幼勺单位向量，若

20、a= 3e1, b= e1勺，则向量b在a方向上的正射影的数量 3 为( ) 3 1 1 A.2 % C. 1 D.1 答案 A 解析 t向量ei, e2是夹角为务勺单位向量，心|= |= 1, ei e2= 1 x 仃 cos 牛一三又|a|= |3ei|= 3, 332 2 a b= 3ei (ei e2)= 3ei 3ei e2= 3 3x 9 向量b在a方向上的正射影的数量为= 2= 3.故选A. |a|3 2 4若OABC所在平面内任一点，且满足 (OB OC) (OB + OC 2OA)= 0，则 ABC的形状为( A.正三角形 A B. 直角三角形 D.等腰直角三角形 C. 等腰

21、三角形 答案 C 解析 因为(OB Oc)(OB + OC2OA)= o, 即 CB(Ab+ Ac)= o,t Ab Ac= Cb, 所以(Ab AC)(Ab + AC) = o，即 |Ab|= |Ac|, 所以 ABC是等腰三角形，故选 C. 5. A ABC的外接圆圆心为 0,半径为2, OA + AB+ Ac = 0，且|OA|= |AB|,则CA在CB方向上的正射影 的数量为() A.iB.2C/,3D.3 答案 C 解析如图，设d为bc的中点，由OA+Ab+ Ac = o, 得 Ao= 2 Ad , 点 A、O、D 共线且 |AO|= 2|AD|, 又O ABC的外心， AO为BC的

22、中垂线， - |AC|= |AB|= |OA|= 2, |AD|= i, CA与CB的夹角为30 - |CD|= |CA|cos 30 = . 3, CA在CB方向上的正射影的数量为. 3. 6. 在 ABC中，M是BC的中点，AM = 3,点P在AM 上,且满足AP = 2PM，则PA (PB + PC)的值为 答案 4 解析 由题意得，AP = 2, PM = 1, 所以 PA (PB + PC)= PA 2PM =2X 2 x 1 x cos 180= 4. 7如图，在 ABC 中，0 为 BC 中点，若 AB = 1, AC = 3,AB , AC= 60 则 |0A|= H 答案弓3 解析 因为Ab, AC= 60 所以 Ab ac = |AB| |aC|cos60 =ix 3x2=3,又A0=1(Ab+ AC),所以 a02 = 4(AB+Ac)2= 4(ab2+2Ab aC+Ac2)，所以 a02= 4(i + 3+ 9)=乎，所以 |0A|y. 8.在 ABC中，若OA OB = OB 0C= OC OA,则点O是厶ABC的(填重心”、垂心”、内 心”、“外心”). 答案垂心 解析 Oa Ob = Ob oc , Ob(Oa - 0C)= 0, 二 O