平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理

1、文件 sxcbk0078.doc科目 数学关键词 初二/几何/中位线/例题标题 平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理内容平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理【内容综述】1. 三角形中位线性质定理，梯形中位线性质定理，是三角形、梯形的重要性质。特别是三角形中位线，是继三角形的角平分线、中线、高线后的又一条重要线段。因此在研究三角形问题中，三角形中位线是常常需要添加的辅助线。2. 在复杂图形中，通过观察图形，联系已知条件，联想并构造平行线等分线段定理、三角形中位线定理及梯形中位线定理的基本图形。定理与基本图形的对应关系，是我们正确联想，添加辅助线，将复杂问题转化为简

2、单问题，将不熟悉问题转化为熟悉问题，形成思路的关键环节。【例题分析】例1：如图，MN分别是平形四边形ABCD中AB、CD的中点，CM交BD于E，AN交BD于F，求证：BE=EF=FD 思路：观察图形，若要证在同一条直线上的三条线段相等，联想相关的定理，显然是需要构成“平行线等分线段定理的”基本图形，由于M. N分别是AB、CD的中点，因此有AM=MB，DN=NC，若有ANMC，则可构造出一组平行线，从而使问题得证。这样，推证ANMC成为解决问题的关键。由于ABCD是平行四边形，因此有AB/=CD，由于M,N分别是AB、CD的中点，因此NC/=AM，从而可推证出AN/CM。这样我们分别过D，B两

3、点作AN的平行线，则“平行线等分线段定理”的基本图形构成使思路形成。思路二：若我们没有想到“平行线等分线段定理”，而在平行四边形ABCD中，观察到M，N点分别是DEC及AFB的CD、AB边的中点，这时，我们自然联想“平行线等分线段定理推论”的基本图形，只需要推证出F点是DE的中点，E点是FB的中点，显然，不论是联想“平行线等分线段定理”的基本图形，还是“平行线等分线段定理推论”的基本图形，其共性特点，即解决问题的关键，都需要推证出AN/MC，两种思路但根据已知条件，推证AN/MC的方法是一样的。证明一：分别过D、B两点GD/AN，BH/AN 四边形ABCD是平行四边形，CD/=AB.又M、N分

4、别是AB、CD的中点，AM/=NC，四边形AMCN是平行四边形，AN/MC.GD/AN/MC/BH.BE=EF=FD（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，在其它直线上截得的线段边相等。）证明二：四边形ABCD是平行四边形，AB/=CD，又M、N分别是AB、CD的中点，AM/=NC，四边形AMCN是平行四边形。AN/CM。NF/CE，ME/AF。F点是DE的中点，E点是BF的中点。（经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。）FE=FD，BE=FE 即 BE=EF=FD。说明：平行线等分线段定理及推论常需要与平行四边形及特殊平行四边形的性质综合应用。特别需要注意的是运用平行线等分线

5、段定理的推论是说明中点的。因此，在推证中“点X是中点”这一步是绝不可省略不写的。例2：如图，梯形ABCD中，AD/BC，BCAD，E、F分别是AD、BC的中点，C=54，B=36，求证：EF=（BC-AD）思路一：要推证梯形上底，下底中点连线等于两底差的一半，我们不能将AD移到BC上，因此需将梯形通过作平行线转化为平行四边形和三角形，由于BF=FC=BC，AE=ED=AD，因此过E点分别作EM/AB，EN/DC，交BC于M、N.于是可知，MF=BC-AD，FN=BC-AD 显然应该有MF=FN，而结论需推证EF=MF=FN 因而可联想“一边的中线，等于这边一半”的基本图形应该是RT，若MEN是

6、直角三角形，则问题得以解决。因而推证MEN是直角三角形，成为解决问题的关键。由于B=36，C=54，显然，B+C=90，由于EM/AB，EN/CD，因此有1=36， ，从而转化为，从而可推证出，思路形成再利用直角三角形斜边中线，等于斜边的一半，推证出结论。思路二：若我们观察图形，根据已知条件联想图形性质时，从，敏感到互余的性质，会自然联想到直角三角形，因而我们可通过延长梯形两腰转化为直角三角形。由于AD/BC，显然ADM与BCM都是直角三角形。由于E是AD中点，因此ME=AD 又由于F是BC中点，因此，MF=BC，但这样研究问题就出现，M、E、F是否在同一条直线上的问题，显然，若M、E、F在同

7、一条直线上，则MF-ME=EF，可使问题得证。因此推证M、E、F在同一条直线上，是解决问题的关键。假设MF与AD交于E点，由于AD/BC，ME=AE， ，MF=BF， ，因而，因此，从而说明E、E点重合，则可推证M、E、F三点共线，由此可得到EF=（BC-AD）的结论。证明一：过E点分别作EM/AB，EN/DC且分别交BC于M、N点。ABCD是梯形，且AD/BC，四边形ABME、ENCD是平行四边形。AE=ED,AE=BM=ED=NC。又BF=FC，MF=BF-BM，FN=FC-NC，MF=FN 又，。，证明二：分别延长BA、CD交于M，连结ME。连结MF且设MF交AD于E 。在RTBMC中，

8、F是BC中点，。 。在RTAMD中，E是AD中点，ME=，。 与E重合，M、E、F点在同一条直线上。EF=MF-ME=即EF=（BC-AD）说明：此题是利用梯形常添加的辅助线，平移腰或延长两腰交于一点，将梯形转化为平行四边形和直角三角形。梯形两腰中点的连线等于两底和的一半。而此题是两底中点连线等于两底差的一半。无论是哪种思路，都需要用直角三角形斜边中线的性质得以实现结论。例3：等腰梯形的对角线互相垂直，求证：梯形的中位线与梯形的高相等。已知：如图，等腰梯形AB/CD，且AD=BC，对角线AC、BD交于O点且BD垂直AC于O， CE是梯形的高，MN是梯形中位线，求证：MN=CE。思路：由于梯形的

9、中位线等于两底和的一半，因此若要证梯形的高CE等于中位线MN，只需要证CE等于两底和的一半。由于BD垂直于AC，且BD=AC，因此联想把等腰梯形的两条对角线集中到一个三角形中，从C点作BD的平行线交AB的延长线于F，这样构成一个等腰直角三角形。且同时将DC平移到AB所在的直线上，使得AF=AB+DC，由此，可利用等腰直角三角形斜边的高是斜边中线的性质，推证出CE=，从而推证出MN=CE，使问题得以解决。证明：过C点作CF/BD交AB的延长线于F。梯形ABCD是等腰梯形，AB/CD，CF/BD 四边形DBFC是平行四边形。DC=BF BD=AC AC=CF。 BDAC，CFAC。ACF是等腰直角

10、三角形。 AB+BF=AB+DC CE=（AB+DC） 又MN是梯形ABCD的中位线，MN=（AB+DC） MN=CE说明：此题利用梯形常添加的辅助线，作对角线的平行线，由等腰梯形对角线相等且互相垂直的条件，将梯形转化为平行四边形和等腰直角三角形。利用两底和的一半作为等线段的代换，将梯形的高与中位线的等量关系勾通。【能力训练】1. 等腰梯形中，上底等于一腰，下底等于另一腰的2倍，若梯形的周长为45cm，那么它的中位线长为 。2. 如图一，已知梯形ABCD中，AD/BC，AD=AB=DC，BDCD，则C= 度。3. 已知，如图二，梯形ABCD中，AD/BC，EF是中位线，BD交EF于P，已知EP

11、：PF=1：2，AD=7cm，则BC= cm。4. 已知：如图三，ABC中，过C点作A的平分线的垂线，垂足为E，过E点作AB的平行线交BC于F。求证：F为BC的中点。5. 已知：如图四，过ABC的BC边的中点M作直线平行于A的平行线AT而交直线AB、AC于EF 求证：BE=CF=（AB+AC）6. 已知，如图五，在ABC中，D是BC边上的中点，E是AD边上的中点，BE延长线交AC于F，且AD=BC，FBC=DAC。 求证：BF=4AF7. 如图，P、Q、R、S分别是四边形ABCD中AB、BC、CD、DA边中点，求答案与提示：1.提示：如图，设AD=X，AB=AD=DC=X BC=2AD=2X

12、5X=45，X=9。 故AD=9，BC=18EF=（AD+BC）=。260提示：在等腰梯形ABCD中，AD/BC， AB=AD，又 314cm.提示：EF是梯形ABCD的中位线，EF/AD/BC P是BD的中点.EP= EP：PF=1：2 4证明一：延长CE交AB于GAD是BAC的平分线， 又AE=AE，CEAD， AEGAEC，GE=CE。又EF/BG。F是BC中点。证明二：延长FE交AC于G， FG/AB，则 AG=EG AG=CG F是BC中点。5证明：过M点分别作MD/AC，MN/AB，交AB于D，交AC于N, M是BC中点，D、N分别为AB、AC中点。DM/=AN/=NC， MN/=AD/=DB AT/MF， ， 又 BE=DE+ CF=2AN+AF=2DE+AE 即 CF=DE+ 又 BE=CF=6证明：取CF的中点M，连结DM。D、E分别是BC、AD的中点， DE= BC=AD BD=DE 又 DM是BCF的中位线， DM/= EF/DM F点是AM的中点，EF是ADM的中位线。DM=2EF=2AF BF=2DM=4AF7证明：连结AC、BD分别交PS、QR、SR、PQ于E、F、G、H点分别过AC、BD