(word完整版)2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(精校word版,带解析)-历年自主招

1、 1已知函数 f2有最小值，则函数2的零点个数为（）x【答案】c【解析】注意 f /x的三个内角 a b c 所对的边为 a b c 下列条件中，能使得dabc的形状唯一确定的有（）a ab a0cos asin b cosc + cos(b + c) cos b sin c = 0,c = 600cd a【答案】ad3已知函数 f2，下列说法中正确的有（）(x), g(x)在点(1,0 )a fb存在 fc fd f 【解析】注意到 y在 处的切线，如图，因此答案 bd= x -1为函数 g(x) (1,0 ),的焦点 f 作直线交抛物线于 a b 两点， m 为线段 ab 的中点下列说法中

2、正确的有4过抛物线 y2（）3一定相离2d以线段 bm 为直径的圆与 y 轴一定相切【答案】ab11= -1的距离为 (| af | + | bf |) = | ab |，于是以线段 ab 为直径223211= -1一定相切，进而与直线 x = -一定相离；对于选项 b，c，设 a a2 a ，则 b(，的圆与直线 xa1+ 2，最小值为 4也可将| ab |转化为 ab 中点到准线的距离的 2 倍去得到最小值；21对于选项 d，显然 bd 中点的横坐标与| bm |不一定相等，因此命题错误2x2y2=1( 0)a b 的左、右焦点，p 是椭圆c 上一点下列说法中正确的有5已知f12b2（）时

3、，满足 f pfa a1212dpf f 的周长小于4a12a2的面积小于等于212 【答案】abcdf pfdf pf最大的点 p 位于短轴的两个端点；对于选项 c，1212df pf周长为；选项d，的面积1212= a12222212126甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（）a甲b乙c丙d丁 ab coc7已知 ab 为圆o的一条弦（非直径），oc于 ， p 为圆o上任意一点，直线 pa 与直线相）四点共圆四点共圆bd以上三个说法均不对即得答案：ac8是）a充分非必要条件c充分必要条件

4、【答案】bsin b + sinc sin b + sin( - b) = sin b + cos b 1【解析】必要性：由于，2ppd时，不等式成立，但 abc不是锐角三角形249已知 x, y, z 为正整数，且 x y z ，那么方程的解的组数为（）【答案】b【解析】由于(，则 y- 6)(z - 6) = 36(y, z) = (7,42), (8,24), (9,18), (10,15), (12,12)若 x若 x，可得，可得20；(y, z) = (5,20), (6,12), (8,8)；3 1 1 2= + , , = 5,6yy( , , ) = (5,5,10 )，进而解

5、得 x y z ；若 x若 x3= 6，可得i j k n a a a a a a a a a 这三个式子中至1 , + , + , + ，任取12nijjkki少有一个成立，则n 的最大值为（）a6b7c8d9a 1 , b 61 ,g 121=11已知000 ，则下列各式中成立的有（）tana tan b + tan b tan g + tan g tana = 3a tana + tan b + tang= 3tana + tan b + tang= -3tana tan b tangtan b,tang=，则y - z = 3(1+ xy), z - y = 3(1+ yz), x -

6、 z = 3(1+ zx) ，以上三式相加，即有 xy1 1 1 1 1 1+ yz + zx = -3111- = 3( +1), - = 3( +1) , - = 3( +1)类似地，有，以上三式相加，即有1xyz1（）2( )( )【解析】设函数 f，则其导函数4x +12 217113=( )， 以 及 函 数 f x 的 图 象 过 点( , 7)处 的 切 线 y和3342414111y =x +x += -，左侧等号当 x，如图，于是可得或7777334311x = 时取得； 右侧等号当 x = 时取得因此原式的最大值为 21 ，当a = b = c = 时取得；最小值为233

7、1327= = - , =7 3 ( 144 , 169 )时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为 答案 bc413已知 x222，则下列结论正确的有（）4a xyz 的最大值为0b xyz 的最大值为-27【答案】abd= 6aa n n ，对任意正整数 ，以下说法中正确的有（- ( )14数列aa）*nn12n+2n+1na an+2nnn8a a - 7为完全平方数cdan+3 n+1n+2n+1n+1n+2 n+1，选项a 正确；由于an+2n+2n+1n+2n3a2= -7 ，又对任意正整数恒成立，所以n+2nn+1nnn+1nn22 ，故选项 c、d 正确计算前几个数可判断选项

8、b 错n+1nn+1nn+1nn+1n说明：若数列a 满足a = pa - a，则 a-a a 为定值2n+1nn+2n+1nn+2n1+ = 115若复数 满足 z，则 z 可以取到的值有（）zz 5 -1-22【答案】cd115 +1i z = 5 -1i和 时z =【解析】因为，故，等号分别当z2222）b【答案】c【解析】从 2016 的约数中去掉 1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数设从 2016 个顶点中选出 k 个2016构成正多边形，这样的正多边形有k2016 = 2 3 7，因此所求正多边形的个数为521x2y2,x ，过椭圆上一点 p 作l l 的平行线，17已知椭圆与

9、直线l y1x l y2212,|于 m n 两点若 mn 为定值，则=分别交l（）12235abd1，可得 m x y x11(+ ,+【解析】设点 p242000000001a216,= =4b24a 1，则为定值，则线段 mn 中点q 的轨迹为圆或椭圆+165 = 2的正整数解的组数为（）ya0d3 【答案】b19因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序例如，三个等等不同的次序记n 个实数相乘时不同的次序有 i 种，则（）n= 2= 12a i25【答案】b1【解析】根据卡特兰数的定义，可得innn-1nn20甲乙丙丁4 个人进行网球淘汰赛，规定首先甲

10、乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军4 个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁,abc的距离为 x ，异面直线ab cp 的距21在正三棱锥ppx3【答案】2 3abc垂直，所求极限为dabc中边上的高，为ab211,=22如图，正方体 abcd的体积为的棱长为 1，中心为o bfa a ，则四面体oebf124111111【答案】96111 1= v2 16e-bcc b111=【解析】如图，v296oebfo-ebfe-gbf2p23x p 2 -12nn0x2xn2 -1nn0-px2 y2 ，则

11、x2 y2 的最大值为+24实数 x 满足 x2 y2 3【答案】1(x + y ) = 4x y (x + y )22 3222222213274均为非负实数，满足 x( + ) + ( +1) + ( + ) =2t2z222为【答案】2 13(x, y, z) = (1, ,0)【解析】 由柯西不等式可知，当且仅当时， x y z 取到最大值 根据题意，有221313+ y+ 3(x + y + z)y,解得 x2222于 是442( , ) = (0,0,的最小值当 x yz)时取得，为22lmdabc:= 4 : 3: 2=+内 一 点 ， 满 足 sssabdcoal m【答案】2

12、 4 2【解析】根据奔驰定理，有9 9 3z2= cos+=333213-【答案】22z25p35p 1= -2 23z +2z2 + z + 23z 40,的实部与虚部均为不小于 1 的正数，则在复平面中，z 所对应的向量op 的.+ 100 3 - 300【答案】3xy1, 1,1010=，由于，于是 如图，弓形面积为| z |2z1,1,2y2x22 pp 100p1-1002 (10 3 -10) 10 =100 3 -100，四边形的面积为.abcd6632100p200p333+=29若，则3cosxxxxxxx3【答案】sin 4xsin 2xsin xsin x+【解析】根据题意，有cos 8xcos 4x cos 4xcos 2x cos 2xcos x cos x= (tan 8x - tan 4x) + (tan 4x - tan 2x) + (tan 2x - tan x) + tan x = tan 8x = 330将 16 个数：4 个 1，4 个 2，4 个 3，4 个 4 填入一个4 4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有种填法【答案】